九年级数学下册圆内接正多边形教案

课题：3.8圆内接正多边形

教学目标：

1．了解圆内接正多边形的有关概念．

2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．

3．会用尺规作圆的内接正方形和正六边形．

教学重点与难点：

重点：理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.

难点：能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.

课前准备：教师准备多媒体课件.

教学过程:

一、创设情境，导入新课

活动内容：各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体.回答下列问

题：

问题1：什么叫正多边形？

问题2：正多边形是轴对称图形、•中心对称图形吗？其对称轴有几条，对称中心是哪

一点？

问题3：以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有

何发现？

处理方式：学生自己找到正多边形的对称轴和对称中心，画出符合条件的圆.

设计意图：通过作图的过程，学生很容易发现圆和正多边形的关系：（1）正多边形的顶

点都在圆上；（2）圆经过正多边形的所有顶点.（自然引出课题）.

二、探究学习，获取新知

活动内容一：圆内接正多边形的概念

定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形

的外接圆.

把一个圆n等分（n3），依次连接各分点，我们就可

以作出一个圆内接正多边形.

如图，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O

叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；

AOB是这个正五边形的中心角；OMBC，垂足为M，

OM是这个正五边形的的边心距.

处理方式：学生自学课本97页例题以上内容，对照多媒体上的图形，说出各部分的名

称。

教师强调：正多边形的中心指的是其外接圆的圆心，半径指的是其外接圆的半径，中

心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角.

设计意图：让学生了解有关正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习.

活动内容二：求正多边形的中心角、边长和边心距

例如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径

OC4，OGBC，垂足为G，求这个正六边形的中

心角、边长和边心距.

处理方式：引导学生发现正六边形的中心角的一半、

边长和边心距构成一个直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题.

教师多媒体展示解答过程：

解：连接OD.

∵六边形ABCDEF为正六边形.

360

∴COD60.

6

∴COD为等边三角形.

∴CDOC4.

在RtCOG中，OC4，CG2.

∴OG23.

∴正六边形ABCDEF中心角为60，边长为4，边心距为23.

设计意图：通过例题的学习，巩固有关正多边形的概念，能运用解直角三角形的知识解

决正多边形的有关计算问题.

教师强调：

正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角

形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边

长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.

活动内容三：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形.

2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形.

3、思考：作正多边形有哪些方法？

处理方式：由例题引导学生发现正六边形的边长等于其半径，从而找到六等分圆的方法.

设计意图：使学生理解并掌握可用等分圆心角的方法等分圆周，从而用直尺和圆规可以

作出一些特殊的正多边形.

三、训练反馈，应用提升

活动内容：1.把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个

正六边形DFKKGE，求这个正六边形的面积.

2、分别求出半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距.

处理方式：学生口述思考过程，并说明理由.两位同学黑板板书

做题过程.

设计意图：本组试题主要是巩固正多边形的有关计算，让学生熟练转化为解直角三角形

的知识解决问题.

四、回顾反思，提炼升华

通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给

大家．

处理方式：学生畅谈自己的收获！

设计意图：课堂小结是培养好学生反思、总结习惯的最好环节，只有学生养成良好的

反思总结习惯，才能不断的取得进步，让学生在每堂课中体会小结的意义．

五、达标检测，反馈提高

活动内容：完成达标小卷．（多媒体出示）

1.正三角形的边心距、半径和高的比是()

A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:

2.求出半径为6cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积.

处理方式：学生在8分钟内独立完成后，两生分别说明思考过程，同位互换批改，不明

白的问题利用1分钟时间交流、改正.

设计意图：让学生利用当堂达标检测自己的学习效果，题目既考查基础，给学生学习的

信心和成功的体验，又具有一些挑战性，考查学生综合应用知识的能力.

六、布置作业，课堂延伸

基础作业：课本P99习题3.10，第4题．

拓展作业：课本P99问题解决

板书设计：

3.8圆内接正多边形

有关概念想一想

学生展示区

课题：3.8圆内接正多边形

教学目标：

1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；

2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；

3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；

4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.

学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.

教法与学学指导：

本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和

“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和

探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．

课前准备：

教师：多媒体课件、三角板.

学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出

的问题．

【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．

二、探究新知，尝试发现

活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念

概念：叫做正多边形.

（注：各边相等与各角相等必须同时成立）

提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，

正方形有四条边叫正四边形．

活动二：分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢?

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将

圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢?

师生共同归纳：

顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正

多边形的外接圆.

把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接

正n边形.

活动三：探究等分圆周

A

问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？

E

教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：B

O

如图，

∵ABBCCDDEEACD

∴ABBCCDDEEA

BADCAE3AB

∴CD

同理可证：ABCDE

∴五边形ABCDE是正五边形．

∵A、B、C、D、E在⊙O上，

∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．

教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.

说明：

(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，

即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它

作正多边形．

在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴

具有旋转不变性．

正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图

360

形，且绕中心旋转n，都能和原来的图形重合．

结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．

同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．

A

B中心角半径RE

O

边心距r

CFD

【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨图4.

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正

多边形的性质、相关概念.

活动四：例题探究

例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的

中心角，边长和边心距．

分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，

边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得

AM，又应用垂径定理可求得AB的长．

360

解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于6=60°，△OBC是等边三

角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

ED

因此，所求的正六边形的边长为4．

1O

FC

在Rt△OAM中，OA=4，AM=2AB=2

利用勾股定理，可得边心距AMB

OM=OA2AM2=4222=23

【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正

多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.

活动五：做一做

利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．

分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．

在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．

师生归纳出等分圆周的方法：

1.用量角器等分圆：

依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．

操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；

其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得

到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边

形的边长误差较大．

2.用尺规等分圆.

思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？

【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.

从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学

生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳

总结能力.

活动六：方案设计

某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月

季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相

等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场

面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.

请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）

要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的

学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．

教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．

教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．

【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，

适时进行点拨.

【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过

“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力

品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.

四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?

【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意

的问题，教师对小组总结情况进行评价.

【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而

使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.

五、达标检测，反馈提高

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°B．45°C．30°D．22．5°

2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）

A,1:2:3B,3:2:1C,3:2:1D,1:2:3

3．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．

A．36°B．60°C．72°D．108°

4．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）

A．18°B．36°C．72°D．144°

(1)(2)

5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是

______，它的每一个内角是______．

6．有一个边长为3cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆

形纸片的最小半径为.

7．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2

所示，若AC=6，则AD的长为________．

8．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻

炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的

理解，同时也锻炼学生的发散思维．

六.分层作业，自由拓展

（1）必做题：课本99页习题3.10第1题、2题、3题..

（2）选做题：试一试

如图⑴⑵⑶⑷，M，N分别为⊙O的内接正三角

形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形ABCDE…的边

AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON，

⑴求图⑴中∠MON的度数

⑵图⑵中∠MON的度数是.

⑶请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系为.

E

AD

D

AODO

OOC

MA

C

M

N

MN

B

NCBA

NCM

BB

⑴⑵⑶⑷

【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的

个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．

板书设计：

§3.8圆内接正多边形

一.概念：三.例题探究

圆内接正多边形

外接圆

中心角

边心距

二.新课探究四.达标检测

3.8圆内接正多边形

一、教学目标

1.了解正多边形和圆的有关概念.

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的

有关知识画多边形．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系

四、教学难点

会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

五、教学过程

（一）导入新课

你还能举出更多正多边形的例子吗？

（二）讲授新课

活动内容1：

探究1：正多边形

正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.

正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.

【想一想】

菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？

求证：正五边形的对角线相等

怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？

怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？

怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？

【定理】把圆分成n（n≥3）等份：

依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相

邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.

一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？

【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么

位置关系？

正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？

那么，正n边形呢？

探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对

称图形.

活动2：探究归纳

【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.

正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.

正多边形的半径:外接圆的半径

正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.

以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?

以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。

（三）重难点精讲

【例1】把圆分成5等份，求证：

⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边

形.

证明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，

∴AB=BC=CD=DE=EA，

∵BCE=CDA=3AB，

∴∠1=∠2，

同理∠2=∠3=∠4=∠5，

又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，

∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.

（2）连接OA，OB，OC，则

∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.

∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.

∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.

又∵AB=BC，

∴AB=BC，

∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.

∴∠P=∠Q,PQ=2PA.

同理∠Q=∠R=∠S=∠T，

QR=RS=ST=TP=2PA，

∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，

∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.

【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到

0.1m2).

【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC是等边三角形，从而正六边

形的边长等于它的半径.

因此,亭子地基的周长