高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用第4节定积分与微积分基本定理教师用书教案理新人教版03081214

PAGE定积分与微积分根本定理[考试要求]1.了解定积分的实际背景，了解定积分的根本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分根本定理的含义．1．定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝．在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义图形阴影局部面积S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dxS＝－eq\i\in(a,b,)f(x)dxS＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx－eq\i\in(c,b,)f(x)dxS＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx2.定积分的性质(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)；(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx；(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．提醒：求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进展计算．3．微积分根本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分根本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|eq\o\al(b,a)，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．[常用结论]一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积．()(3)假设eq\i\in(a,b,)f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图象，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方． ()[答案](1)√(2)×(3)×二、教材习题衍生1．已知质点的速率v＝10t，那么从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A．10teq\o\al(2,0)B．5teq\o\al(2,0)C.eq\f(10,3)teq\o\al(2,0)D.eq\f(5,3)teq\o\al(2,0)2．＝________.1＝________.3．eq\f(π,4)表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝eq\r(1－x2)所围成的图形的面积，,∴eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,4).]4.曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．eq\f(1,6)[如图，阴影局部的面积即为所求．考点一定积分的计算计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分根本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．1．计算eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)＋ln2C.eq\f(5,2)＋ln2 D．3＋ln22．3．点评：运用微积分根本定理求定积分时的四个关键点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．考点二定积分的几何意义(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和．(4)计算定积分，写出答案．利用定积分的几何意义计算定积分[典例1－1](1)计算：eq\i\in(1,3,)eq\r(3＋2x－x2)dx＝________.(2)假设eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，那么m＝________.(1)π(2)－1[(1)由定积分的几何意义知，eq\i\in(1,3,)eq\r(3＋2x－x2)dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积∴eq\i\in(1,3,)eq\r(3＋2x－x2)dx＝eq\f(1,4)×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义eq\r(－x2－2x)dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.]点评：正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．求平面图形的面积[典例1－2]由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．4－ln3[由xy＝1，y＝3，,可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3)).由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，由y＝x，y＝3，得C(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为[逆向问题]已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为eq\f(4,3)，那么k＝________.2[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝kx，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k，,y＝k2，))那么曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为点评：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[跟进训练]曲线y＝－x＋2，y＝eq\r(x)与x轴所围成的面积为________．eq\f(7,6)[如下图，由y＝eq\r(x)及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝eq\r(x)，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为考点三定积分在物理中的应用定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝[典例2](1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停顿．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，那么由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()A.eq\r(3)J B.eq\f(2\r(3),3)JC.eq\f(4\r(3),3)J D．2eq\r(3)J(1)C(2)C[(1)由v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，可得t＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(8,3)舍去))，因此汽车从刹车到停顿一共行驶了4s，在此期间行驶的距离为(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos30°，故F(x)做的功为点评：(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算．(2)如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的