高考数学统考一轮复习第11章算法初步推理与证明第3节直接证明与间接证明数学归纳法教师用书教案理新人教版03081189

PAGE直接证明与间接证明、数学归纳法[考试要求]1.了解直接证明的两种根本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种根本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进展：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开场的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立． ()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明． ()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件． ()(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材习题衍生1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq\f(1,2)n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．4C[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.]2．用反证法证明：假设整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，以下假设正确的选项是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数B[“至少有一个”的否认为“都不是”，故B正确．]3．假设P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋8)＋eq\r(a＋5)(a≥0)，那么P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定A[假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2eq\r(a＋6a＋7)>2a＋13＋2eq\r(a＋8a＋5)，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．应选A．]4．已知数列{an}满足an＋1＝aeq\o\al(2,n)－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，那么a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.345n＋1[易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜测an＝n＋1.]考点一综合法的应用掌握综合法证明问题的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．[典例1]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因为a，b，c均为正数，eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，所以eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.[母题变迁]本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).[证明]因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac因为2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).点评：(1)不等式的证明常借助根本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2)应用重要不等式a2＋b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性．eq\o([跟进训练])在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)假设C＝eq\f(2π,3)，求证：5a＝3b.[证明](1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝eq\f(2π,3)，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b考点二分析法的应用分析法证明问题的思路及适用范围利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．[典例2]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[证明]要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．点评：(1)用分析法证明时，要注意书写格式的标准性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的方法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2＋a2＝ac＋b2”eq\o([跟进训练])假设a，b∈(1，＋∞)，证明eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab).[证明]要证eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab)，只需证(eq\r(a＋b))2＜(eq\r(1＋ab))2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．考点三反证法的应用用反证法证明问题的步骤[典例3]设a>0，b>0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由根本不等式及ab＝1，有a＋b≥2eq\r(ab)＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，那么由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．点评：(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否认形式出现时，宜用反证法来证．(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否认是“不都是”“至少一个”的否认是“不存在”等．eq\o([跟进训练])等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))(n∈N*)．(2)证明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2)，假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，那么beq\o\al(2,q)＝bpbr.即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，所以(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0，因为p，q，r∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))eq\s\up12(2)＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．考点四数学归纳法的应用1．应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不容易证，那么可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比拟法、放缩法、构造函数法等证明方法．2．利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其根本模式是“归纳—猜测—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．[典例4](2023·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝eq\r(\f(an,2bn))，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2eq\r(n)，n∈N*.[解](1)设数列{an}的公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝4，,a1＋3d＝3a1＋3d，))解得a1＝0，d＝2，∴an＝2n－2，n∈N*.∴Sn＝n2－n，n∈N*.∵数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，∴(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)，解得bn＝eq\f(1,d)(Seq\o\al(2,n＋1)－SnSn＋2)，即bn＝n2＋n，n∈N*.(2)证明：cn＝eq\r(\f(an,2bn))＝eq\r(\f(2n－2,2nn＋1))＝eq\r(\f(n－1,nn＋1))，n∈N*，用数学归纳法证明：①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck＜2eq\r(k)，那么当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2eq\r(k)＋eq\r(\f(k,k＋1k＋2))＜2eq\r(k)＋eq\r(\f(1,k＋1))＜2eq\r(k)＋eq\f(2,\r(k＋1)＋\r(k))＝2eq\r(k)＋2(eq\r(k＋1)－eq\r(k))＝2eq\r(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式也成立．由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2eq\r(n)，n∈N*.点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比拟法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．eq\o([跟进训练])已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比拟f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜测f(n)