人教版高中数学总复习知识点整理及重点题型梳理推理与证明、数学归纳法-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐人教版高中数学总复习[知识点整理及重点题型梳理]推理与证明、数学归纳法推理与证实、数学归纳法

编稿：辛文升审稿：孙永钊

【考纲要求】

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等举行容易的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用．

2.了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的基本模式，并能运用它们举行一些容易推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

4.了解直接证实的两种基本办法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思量过程、特点．

5.了解间接证实的一种基本办法——反证法；了解反证法的思量过程、特点．

6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证实一些容易的数学命题．【学问网络】

【考点梳理】

【推理与证实、数学归纳法407426学问要点】

考点一：合情推理与演绎推理

1．推理的概念

按照一个或几个已知事实(或假设)得出一个推断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理普通由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的推断，叫做结论．

2．合情推理

按照已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再举行归纳、类比，然后提出猜测的推理称为合情推理．

合情推理又详细分为归纳推理和类比推理两类：

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这

推理与证明

归纳

推理

证明

合情推理

演绎推理

数学归纳法

综合法分析法直接证实

类比

间接证实

反证法

些特征的推理，或者由个别事实概括出普通结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到普通的推理，归纳推理简称归纳．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特别到特别的推理，类比推理简称类比．

3．演绎推理

从普通性的原理动身，推出某个特别状况下的结论．简言之，演绎推理是由普通到特别的推理．

三段论是演绎推理的普通模式，它包括：(1)大前提——已知的普通原理；(2)小前提——所讨论的特别状况；

(3)结论——按照普通原理，对特别状况作出的推断．要点诠释：

合情推理与演绎推理的区分与联系（1）从推理模式看：

①归纳推理是由特别到普通的推理．②类比推理是由特别到特别的推理．③演绎推理是由普通到特别的推理．（2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证实。②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在熟悉事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容普通是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

考点二：直接证实与间接证实1．综合法

(1)定义：综合法是中学数学证实中最常用的办法，它是从已知到未知，从题设到结论的规律推理办法，即从题设中的已知条件或已证的真切推断动身，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证实办法，又叫顺推法．

(2)综合法的思维框图：

用P表示已知条件，1iQi=（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q表示所要证实的结论，则综合法可用框图表示为：

1PQ?（）→12QQ?（）→23QQ?（）→nQQ?（）

2．分析法

(1)定义：普通地，从要证实的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证实的结论归结为推断一个显然成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证实办法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．

(2)分析法的思维框图：

1QP?（）→12PP?（）→23PP?（）

→得到一个显然成立的条件.3．反证法

(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出冲突，因此说明假设错误，从而证实了原命题成立．这样的证实办法叫反证法．反证法是一种间接证实的办法．

(2)应用反证法证实数学命题的普通步骤：①分清命题的条件和结论．

②做出与命题结论相冲突的假设．

③由假设动身，结合已知条件，应用演绎推理办法，推出冲突的结果．

④断定产生冲突结果的缘由，在于开头所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证实原命题为真．

考点三：数学归纳法

数学归纳法证实命题的步骤：

（1）证实当n取第一个值0n时结论正确；

（2）假设当nk=0(*,)kNkn∈≥时结论正确，证实1nk=+时结论也正确，由（1）（2）确定对0*,nNnn∈≥时结论都正确。

要点诠释：1.在证实过程中证实了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有须要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

证实了其次步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.惟独把第一步和其次步结合在一起，才干获得普遍性的结论；

2.用数学归纳法证实问题时初始值的选取：

初始值0n就是我们要证实的命题对象的最小自然数。按照题目不同，初始值不一定从

01n=开头。如，证实不等式22nn>，初始值应从05n=开头.

必需把要把归纳假设用上一次或者多次：

在由假设nk=时命题成立，证实1nk=+时命题也成立，必需把要把归纳假设用上一

次或者多次。必需把归纳假设“*

0(,)nkknk=≥∈N时命题成立”作为条件来推导出

“1nk=+时命题也成立”是其次步的关键，惟独通过归纳假设的使用，才达到由n=k的状况递推到n=k+1的状况，保证了命题的传递性。此处变形的办法较多，要在不同题型中逐步去体味，如证实整除问题、几何问题等。【典型例题】

类型一：合情推理与演绎推理例1．在数列{}na中，a1=1，且12(*)2n

nn

aanNa+=∈+，计算a2，a3，a4，并猜测na的表达式.

【思路点拨】按照递推关系依次把n的值代入就可以.

【解析】223a=

，324a=，425a=，猜测：2

1

nan=+.

【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的状况都写出来，然后寻觅逻辑，概括出整体的状况，是典型的归纳推理.

举一反三：

【变式1】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形

（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？

（2）判断一个平面图形的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系.【解析】

（2）观看：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.

通过观看发觉，它们的顶点数V、边数E、区域数F之间的关系为：2VFE+-=.【变式2】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成()fn块区域，有(1)2f=，(2)4f=，(3)8f=，……，则()fn的表达式是.

【答案】2

()2fnnn=-+

例2．在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；

(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积1

()2

Sabcr=

++，（abc、、为三角形的三边长，r为三角形的内切圆半径)．

请类比写出四周体的有关性质．

【思路点拨】利用三角形的性质，通过观看四周体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四周体的相像命题，提出猜测．

【解析】

(1)四周体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；

(2)四周体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面；(3)四周体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四周体的内切球的球心；(4)四周体的体积12341

()3

VSSSSr=

+++，(1234SSSS、、、为四周体的四个面的面积，r为四周体的内切球半径).

【总结升华】

1.把平面几何的问题类比立体几何的问题，经常有如下逻辑：(1)平面中的点类比为空间中的线；(2)平面中的线类比为空间中的面；

(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域；(4)平面中的面积类比成空间中的体积．

2.培养同学面向生疏情景的问题时，能从运用学问点，办法体系的角度去思量分析问题的解题策略.

举一反三：

【变式1】在Rt△ABC中，若∠C=90°，则cos2

A+cos2

B=1，则在立体几何中，给出四周体性质的猜测

.

【解析】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四周体'''PABC-，且三个面与面'''ABC所以成的二面角分离是α，β，γ.

于是，把“在Rt△ABC中，若∠C=90°，则cos2

A+cos2

B=1”类比到四周体'''PABC-，我们猜测：三棱锥'''PABC-中，若三个侧面''PAB、''PBC、''PAC两两相互垂直且分离与底面所成的角为α，β，γ，则2

2

2

coscoscos1αβγ++=.

【变式2】由图1有面积关系：

''''

PABPABSPAPBSPAPB

???=?，则由图2有体积关系：'''

PABCPABC

VV--=

________.

【答案】

'''PAPBPCPAPBPC

??

??

类型二：直接证实与间接证实

例3．已知a,b

≥

【证实一】分析法

≥

≥

即证(ab

+≥

，即证ab

+≥

明显ab

+≥

≥

【证实二】综合法

b

b

+≥

=

（当且仅当a=b时取等号），

≥

举一反三：

【变式1】求证：

532

123

2

log19log19log19

++0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0【证实】假设a≤0

若a0，∴bc0，则b+c>-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0冲突，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0举一反三：

【变式1】在锐角三角形ABC中，求证：sinsinsincoscoscosABCABC++>++【证实】∵在锐角三角形ABC中，2

ABπ+>，

∴

02

2

ABπ

π

>>

->，

∵在(0,

)2

π内正弦函数单调递增，

∴sinsin(

)cos2

ABBπ

>-=,即sincosAB>

同理，sincosBC>，sincosCA>

∴sinsinsincoscoscosABCABC++>++

例5.设二次函数2

()(0)fxaxbxca=++≠中的a、b、c均为奇数，求证：方程()0fx=无整数根.

【思路点拨】因为要证实的结论与条件之间的联系不显然，直接由条件推出结论的线索不够清楚，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.

【证实】假设方程()0fx=有整数根n，则2

0anbnc++=成立，

所以()0nanbc++=.

由于c为奇数，所以()nanb+也为奇数，且n与anb+都必需为奇数.

由于已知a、b为奇数，又n为奇数，

所以anb+为偶数，这与anb+为奇数冲突，所以假设不成立，原命题成立.

【总结升华】反证法相宜证实“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数知识题.

举一反三：

【推理与证实、数学归纳法407426例5】

【变式1】若,,abc都为实数，且2

22

axzπ

=-+，2

23

byxπ

=-+

，2

26

czyπ

=-+

，

求证：,,abc中至少有一个大于0.

【证实】假设,,abc都不大于0，则0a≤，0b≤，0c≤，所以0abc++≤又2

22(2)(2)(2)236

abcxzyxzyπ

ππ

++=-+

+-++-+

222(21)(21)(21)3xxyyzzπ=-++-++-++-222(1)(1)(1)30xyzπ=-+-+-+->.

由于2

(1)0x-≥，2

(1)0y-≥，2

(1)0z-≥，30π->，所以2

2

2

(1)(1)(1)30abcxyzπ++=-+-+-+->，所以0abc++>，这与0abc++≤冲突，

所以假设不成立，原命题成立.类型三：数学归纳法

（2022江苏高考）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*

），设Sn={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；

（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证实．【思路点拨】（1）f（6）=6+2++=13；

（2）按照数学归纳法的证实步骤，分类研究，即可证实结论．【解析】：（1）f（6）=6+2++=13；

（2）当n≥6时，f（n）=．

下面用数学归纳法证实：

①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；

②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增强的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形研究：

1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；

2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）

+2++，结论成立；

3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立；

4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立；

5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立；

6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）

+2++，结论成立．

综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．

【总结升华】本题考查数学归纳法，考查同学分析解决问题的能力，正确归纳是关键

举一反三：

【变式1】(2022赫章县校级模拟)设数列{}na满足2

11,1,2,3,nnnaanan+=-+=???

(1)当12a=时，求432,,aaa并由此猜想na的一个通项公式；(2)当31≥a时，证实对全部的1≥n,有①2+≥nan②

2

1

11111111321<+???++++++naaaa.【解析】(1)由21=a得3112

12=+-=aaa，由32=a得41322

23=+-=aaa由43=a得51332

34=+-=aaa，由此猜测()11≥+=nnan

(2)①数学归纳法证实：

①当n=1时，2131+=≥a，不等式成立.②假设当n=k时不等式成立，即2+≥kak那么

()()()35212211+≥+=+-++≥+-=+kkkkkkaaakkk

也就是说，当1+=kn时，211++≥+kak由①②可知，对于随意正整数n,均有2+≥nan.②由()11+-=+naaannn及①可得：

对2≥k，有()()121121111111+=++-+-≥++-=kkkkkakkakaaa

()112122211111-+=+-+≥∴aaakkkk

112

1

1111-?+≤+∴

kkaa2

12

1121131121212111111

111111121321<-?????-+≤????????++++≤+???++++++∴

-k

kn

aaaaa

【变式2

】已知()2fxx=+，又数列{}na的前n项和nS满足1()nnSfS-=,

12a=.

(1)求数列{}na的前n项和nS及通项na；(2)若12

111

lg(

),lg4nnnnabcSSSn

=+++

=，试比较1b与1c；2b与2c；3b与3c

的大小，猜想nb与nc(*nN∈)的大小关系并加以证实；

【解析】（1）由()2fxx=+,1(