人教版高中数学必修五等比数列的基本性质及其应用优质教案-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐人教版高中数学必修五等比数列的基本性质及其应用优质教案2.4.2

从容说课

这节课师生将进一步探索等比数列的学问，以教材练习中提供的问题作为基本材料，熟悉等比数列的

一些基本性质及内在的联系，理解并把握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探索与解决，渗透重要的数学思想办法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及

普通到特别的思想办法等

教学中以师生合作探索为主要形式，充分调动同学的学习乐观性

教学重点1.探索等比数列更多的性质

2.解决生活实际中的等比数列的问题

教学难点渗透重要的数学思想

教具预备多媒体课件、投影胶片、投影仪等

三维目标

一、学问与技能

1.了解等比数列更多的性质

2.能将学过的学问和思想办法运用于对等比数列性质的进一步思量和有关等比数列的实际问题的解决

中

3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的学问解决相应的实际问题

二、过程与办法

1.继续采纳观看、思量、类比、归纳、探索、得出结论的办法举行教学

2.对生活实际中的问题采纳合作沟通的办法，发挥同学的主体作用，引导同学探索问题的解决办法，

经受解决问题的全过程

3.当好同学学习的合的角色

三、情感态度与价值观

1.通过对等比数列更多性质的探索，培养同学的良好的思维品质和思维习惯，激发同学对学问的探索精神和郑重仔细的科学态度，培养同学的类比、归纳的能力

2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养同学熟悉社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值

教学过程

导入新课

师教材中第59页练习第3题、第4题，请同学课外举行活动探索，现在请学生们把你们的探索结果展示一下

生由学习小组汇报探索结果

师对各组的汇报赋予评价

师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题具体解答：

第3题解答：

(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为ak+1，ak+2,…．令bi=ak+i

则数列ak+1,ak+2,…，可视为b1,b2，

由于qaabbi

kikii1

1(i≥1),

所以，{bn}是等比数列，即ak+1，ak+2,…是等比数列

(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a11,a21，…，则

10

9

101

10

1121111qaaaaaakk所以数列a1,a11,a21,…是以a1为首项，q10

为公比的等比数列

猜测：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为

公比的等比数列

本题可以让同学熟悉到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让同学再探索几种

由原等比数列构成的新等比数列的办法

第4题解答：

(1)设{an}的公比是q，则

a52=(a1q4)2=a12q8

而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8

所以a52=a3·a7

同理,a52=a1·a9

(2)用上面的办法不难证实an2=an-1·an+1(n＞1).由此得出，an是an-1和an+1的等比中项，同理可证an2=an-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞

师和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，假如我们想知道的更多，就要对它作进一步的探

究

推动新课

［合作探索］

师出示投影胶片1

例题1(教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发觉了什么普通逻辑，能把你发觉的逻辑用普通化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问

题.在等比数列中会有怎样的类似结论？

师注重题目中“就任一等差数列{an}”，你决定用一个什么样的等差数列来计算？

生用等差数列1，2，3，

师很好，这个数列最便于计算，那么发觉了什么样的普通逻辑呢？

生在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，则ak+as=ap+aq

师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？

生思量、研究、沟通

师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系

［老师精讲］

师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看出

q

s

aapkaaqspk,按照等式的性质，有1

q

ps

kaaaaqpsk所以ak+as=ap+aq

师在等比数列中会有怎样的类似结论？

生猜测对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*

)，则

ak·as=ap·at

师让同学给出上述猜测的证实

证实：设等比数列{an}公比为q，

则有ak·as=a1qk-1·a1qs-1=a1

2·qk+s-2ap·at=a1qp-1

·a1qt-1

=a12

·qp+t-2

由于

所以有ak·as=ap·at

师指出：经过上述猜测和证实的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质

即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则有ak·as=ap·at

师下面有两个结论：

(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；

(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方

你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？

生思量、列式、合作沟通，得到：

结论(1)就是上述性质中

1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形

师引导同学思量，得出上述联系，并赋予绝对的评价

师上述性质有着广泛的应用

师出示投影胶片

2：例题2

例题

（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a10=100,求a18

（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；

（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.

例题2

三个小题由师生合作沟通完成，充分让同学思量，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程

解答：

(1)在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a18解：∵a1a18=a9a10，∴a18=5

100110

9aaa(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积

解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4

∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32)3×3=3

7

(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8

解：.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-

∴a8=-

另解：a8=a5q3=a5·2545425

aa=-

［合作探索］

师推断一个数列是否成等比数列的办法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法

例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，模仿下表中的例子填写表格

.从中你能得出什么结论？证实你的结论

an

bnan·bn推断{an·bn}是否是等比数列例

n)32(3-5×2n-11)34(10n是

自选1

自选2

师请学生们自己完成上面的表

师按照这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证实？

生得到：假如{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么

{an·bn}也是等比数列证实如下：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分离为a1pn-1b1qn-1与a1pnb1qn

，由于pq

qbpaq

bpababannnnnnnn11111111它是一个与n无关的常数，所以

{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列［老师精讲］

除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证实思路：

证法二：

设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项(n＞1,n∈N*)分离为a1pn-1b1qn-1、a1pn-2b1qn-2与a1pnb1qn

，由于

(anbn)2=(a1pn-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq)2(n-1)

(an-1·bn-1)(an+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1)

即有(anbn)2=(an-1·bn-1)(an+1·bn+1)(n＞1,n∈N*

所以{an·bn}是一个等比数列

师按照对等比数列的熟悉，我们还可以直接对数列的通项公式考察：

证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为anbn=a1pn-1b1qn-1=(a1b1)(pq)n-1