重庆大学机械振动与噪声控制

重庆大学机械振动与噪声控制第一页，共110页。机械振动与噪声控制

第一章单自由度系统的振动振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications2第二页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动第2章单自由度系统的振动3第三页，共110页。关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统

梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的振动4第四页，共110页。天津大学2.1.1自由振动方程2.1.2振幅、初相位和频率

2.1.3等效刚度系数

2.1.4扭转振动

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的振动5第五页，共110页。2.1.1自由振动方程当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为其中取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到无阻尼自由振动微分方程弹簧的静变形固有圆频率返回首页TheoryofVibrationwithApplications第2章单自由度系统的振动6第六页，共110页。其通解为：其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解返回首页2.1.1自由振动方程TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动7第七页，共110页。两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动初相位角

振幅返回首页2.1.1自由振动方程TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动8第八页，共110页。2.1.2振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的频率系统振动的圆频率为圆频率

是物块在自由振动中每2秒内振动的次数。f、

只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量m有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f称为固有频率，圆频率

称为固有圆频率。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动9第九页，共110页。用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式

物块静平衡位置时固有圆频率返回首页2.1.2振幅、初相位和频率TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动10第十页，共110页。2.1.3等效刚度系数单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动11第十一页，共110页。串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。

振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是

系统平衡方程是返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动12第十二页，共110页。如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动13第十三页，共110页。（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即dst=d1st+d2st

由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动14第十四页，共110页。如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动15第十五页，共110页。组合弹簧的等效刚度例质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsC2.1.3等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动16第十六页，共110页。弹性梁的等效刚度例一个质量为m的物块从h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果知道系统的静变形则求出系统的固有频率17第十七页，共110页。由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动18第十八页，共110页。以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有自由振动的振幅为梁的最大挠度

返回首页2.1.3等效刚度系数TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动19第十九页，共110页。2.1.4扭转振动等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。扭振系统称为扭摆。OA为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动20第二十页，共110页。根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。

固有圆频率返回首页2.1.4扭转振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动21第二十一页，共110页。图(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数返回首页2.1.4扭转振动TheoryofVibrationwithApplications2.1无阻尼系统的自由振动22第二十二页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法第2章单自由度系统的振动23第二十三页，共110页。当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒用能量法计算固有频率的公式

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法24第二十四页，共110页。例船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE,求重物P在铅直方向的振动频率。已知弹簧AC的弹簧刚度系数是k。解：这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆BD自水平的平衡位置量起的角来决定。系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程角速度为返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统的最大动能为2.2计算固有频率的能量法25第二十五页，共110页。如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为。此时，弹性力Fst=k,方向向上。该系统的势能返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.2计算固有频率的能量法26第二十六页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.3瑞利法第2章单自由度系统的振动27第二十七页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。等效质量

l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为2.3瑞利法28第二十八页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications例在图示系统中，弹簧长l，其质量ms。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。左端距离为

的截面的位移为，则d

弹簧的动能为l

d

假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解：令x表示弹簧右端的位移，也是质量m的位移。2.3瑞利法29第二十九页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系统的衰减振动第2章单自由度系统的振动30第三十页，共110页。阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系c－粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿·米/秒(N·s/m)。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系统的衰减振动31第三十一页，共110页。运动微分方程图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程特征方程特征根返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4有阻尼系统的衰减振动n衰减系数，单位1/秒(1/s)solutionoftheform

32第三十二页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关强阻尼（n>pn）情形临界阻尼(n=pn

)情形阻尼对自由振动的影响运动微分方程特征根返回首页TheoryofVibrationwithApplications33第三十三页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。34第三十四页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动强阻尼(>1)情形临界阻尼(＝1)情形这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减引入阻尼比＝1>1Otx返回首页TheoryofVibrationwithApplications35第三十五页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动弱阻尼(<1)情形（n<pn）

特征根其中其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解C1=x0

返回首页TheoryofVibrationwithApplications36第三十六页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动另一种形式初相位角

振幅这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为p

d，衰减速度取决于p

n，二者分别为本征值的虚部和实部。返回首页TheoryofVibrationwithApplications37第三十七页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响欠阻尼自由振动的周期Td

：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期Td仅增加了0.125%。当材料的阻尼比z<<1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications38第三十八页，共110页。设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即两振幅之比为称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z

=0.05为例，算得,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著，它是按几何级数衰减的。

返回首页2.4单自由度系统的衰减振动阻尼对周期的影响TheoryofVibrationwithApplications39第三十九页，共110页。振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d表示例在欠阻尼（z<1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4单自由度系统的衰减振动40第四十页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4.2库伦阻尼系统的自由振动根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为41第四十一页，共110页。2.4单自由度系统的衰减振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.4.2库伦阻尼系统的自由振动根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为42第四十二页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 第2章单自由度系统的振动43第四十三页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.1振动微分方程2.5.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.5.3受迫振动系统力矢量的关系2.5.4受迫振动系统的能量关系2.5.5等效粘性阻尼2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

44第四十四页，共110页。受迫振动激励形式－系统在外界激励下产生的振动。－外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 45第四十五页，共110页。2.5.1振动微分方程简谐激振力F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 46第四十六页，共110页。简谐激励的响应－全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5.1振动微分方程2.5简谐激励作用下的受迫振动 47第四十七页，共110页。有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解返回首页TheoryofVibrationwithApplications

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：2.5.1振动微分方程2.5简谐激励作用下的受迫振动 48第四十八页，共110页。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5.1振动微分方程2.5简谐激励作用下的受迫振动 49第四十九页，共110页。2.5.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论则有若令返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 50第五十页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.5简谐激励作用下的受迫振动 51第五十一页，共110页。幅频特性与相频特性1、＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，，＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。返回首页2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、＝1的附近区域(共振区)，急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝

/2,这也是共振的重要现象。TheoryofVibrationwithApplications2.5.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.5简谐激励作用下的受迫振动 52第五十二页，共110页。例题例质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 53第五十三页，共110页。根据达朗贝尔原理，有=h返回首页例题TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 54第五十四页，共110页。电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。

返回首页例题TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 55第五十五页，共110页。阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。

幅频特性曲线和相频特性曲线返回首页例题TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 56第五十六页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用B、的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力57第五十七页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications（a）力多边形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.3受迫振动系统力矢量的关系58第五十八页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.4受迫振动系统的能量关系59第五十九页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.弹性力做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。

在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.4受迫振动系统的能量关系60第六十页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.5等效粘性阻尼在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即非粘性阻尼在一个周期内做的功粘性阻尼在一周期内消耗的能量相等等效粘性阻尼系数61第六十一页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.5等效粘性阻尼62第六十二页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications库仑阻尼阻尼力表示为一周期内库仑阻尼消耗的能量为

等效粘性阻尼系数

得到稳态振动的振幅表达式求速度平方阻尼等效粘性阻尼系数

相等2.5简谐激励作用下的受迫振动 2.5.5等效粘性阻尼63第六十三页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即64第六十四页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为

2.5简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段65第六十五页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大

2.5简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段图共振时的受迫振动66第六十六页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。

2.5简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段过渡阶段的响应67第六十七页，共110页。在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。伴随激励而产生的自由振动－自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段68第六十八页，共110页。若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是pn和两个不同频率简谐振动的叠加。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.5简谐激励作用下的受迫振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段69第六十九页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.6简谐激励受迫振动理论的应用第2章单自由度系统的振动70第七十页，共110页。天津大学返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.6.1积极隔振2.6.2消极隔振2.6简谐激励受迫振动理论的应用71第七十一页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications回转机械、锻压机械等在运转时会产生较大的振动，影响其周围的环境；有些精密机械、精密仪器又往往需要防止周围环境对它的影响。这两种情形都需要实行振动隔离，简称隔振。

隔振可分为两类:一类是积极隔振，即用隔振器将振动着的机器与地基隔离开；另一类是消极隔振，即将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔离开。这里说的隔振器是由一根弹簧和一个阻尼器组成的模型系统。在实际应用中隔振器通常选用合适的弹性材料及阻尼材料，如木材、橡胶、充气轮胎、沙子等等组成。2.6简谐激励受迫振动理论的应用72第七十二页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.6.1积极隔振振源是机器本身。积极隔振是将振源隔离，防止或减小传递到地基上的动压力，从而抑制振源对周围环境的影响。积极隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值。在采取隔振措施前，机器传递到地基的最大动压力Smax=H。机器与地基之间装上隔振器。系统的受迫振动方程为激振力2.6简谐激励受迫振动理论的应用73第七十三页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.6.1积极隔振此系统的受迫振动方程为此时，机器通过弹簧、阻尼器传到地基上的动压力即F和R是相同频率，在相位上相差的简谐力。根据同频率振动合成的结果，得到传给地基的动压力的最大值2.6简谐激励受迫振动理论的应用74第七十四页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.6.2消极隔振振源来自地基的运动。消极隔振是将需要防振的物体与振源隔离，防止或减小地基运动对物体的影响。消极隔振的效果也用传递率表示，定义为B为隔振后传到物体上的振动幅值b地基运动的振动幅值。地基为简谐运动隔振后系统稳态响应的振幅为2.6简谐激励受迫振动理论的应用75第七十五页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.7周期激励作用下的受迫振动第2章单自由度系统的振动76第七十六页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications

2.7周期激励作用下的受迫振动

先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为周期基频77第七十七页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应

2.7周期激励作用下的受迫振动 78第七十八页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications例弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。(其中)解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数将矩形波分解为固有频率

2.7周期激励作用下的受迫振动

79第七十九页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications可得稳态响应将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。

画出系统的响应频谱图奇数

2.7周期激励作用下的受迫振动

80第八十页，共110页。

返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激励作用下的受迫振动第2章单自由度系统的振动81第八十一页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激励作用下的受迫振动 2.8.1系统对冲量的响应2.8.2系统对单位脉冲力的响应2.8.3单位脉冲响应函数的时-频变换2.8.4系统对任意激振力的响应2.8.5传递函数82第八十二页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications如果取为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果作用在的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.1系统对冲量的响应83第八十三页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications同理，如果在t=0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应如果作用在的时刻，则物块的响应为2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.1系统对冲量的响应84第八十四页，共110页。用(t)函数表示作用在极短时间内冲击力返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.8.2系统对单位脉冲力的响应2.8任意激励作用下的受迫振动表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数1。函数的定义是从积分式可见，如果时间以秒计，(t)函数的单位是1/s。用单位脉冲(unitimpulse)函数(t)表示冲击力冲量表示施加冲量的瞬时85第八十五页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications如果在t=0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力当，即施加单位冲量时，冲击力为F是冲击力,(t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为2.8.2系统对单位脉冲力的响应2.8任意激励作用下的受迫振动86第八十六页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，根据初始条件可确定A和。最后得其响应2.8.2系统对单位脉冲力的响应2.8任意激励作用下的受迫振动87第八十七页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数

2.8.2系统对单位脉冲力的响应2.8任意激励作用下的受迫振动88第八十八页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsh(t)有以下特性不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲冲量的响应，其量纲为[位移/冲量]。2.8.2系统对单位脉冲力的响应2.8任意激励作用下的受迫振动89第八十九页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.3单位脉冲响应函数的时-频变换h(t)的傅里叶变换用H()来表示，称之为频域响应函数，它是系统的动特性在频域的表现形式。运用欧拉公式得90第九十页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加元冲量为得到系统的响应91第九十一页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应92第九十二页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t＞t1即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。以为初始条件的运动2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应93第九十三页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications例无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。积分后得响应为代入在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力F0的方向移动一距离解：取开始加力的瞬时为t=0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且。也是弹簧产生的静变形。2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应94第九十四页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications若阶跃力从t=a开始作用，则系统的响应为t＜a2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应95第九十五页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications解：在阶段，系统的响应显然与上例的相同，即例2-10无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力作用，试求其响应。当t＞t1时，F(t)=0，得2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应96第九十六页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统的响应为t＞t1实际上，在t＞t1阶段，物块是以t=t1的位移x1和速度为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。

将初始条件2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.4系统对任意激振力的响应97第九十七页，共110页。返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.8任意激励作用下的受迫振动2.8.5传递函数作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯(简称拉氏)变换方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数关系。现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程其中f(t)表示任意的激振力。并设t