高考数学高频考点全解析：解析几何

高考数学高频考点全解析：解析几何

—.专题综述

解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整

个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几

何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是

一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合,

试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行.根据近年来各地

高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或

者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用.

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一-,在高考中一般有1〜2个选择题或者填空

题，一个解答题.选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标

准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难

度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的

位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思

想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干

知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计

2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化.

二.考纲解读

1.直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直

线斜率的计算公式.

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般

式），体会斜截式与一次函数的关系.

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

2.圆与方程

①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.

4.空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角

坐标系刻画点的位置.

②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距

离公式.

5.圆锥曲线

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆（理：椭圆、抛物线）模型的过程，掌握椭圆（理：椭圆、抛

物线）的定义、标准方程及简单几何性质.

（3）了解抛物线、双曲线（理：双曲线）的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线、双曲线（理:

双曲线）的简单几何性质.

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

（5）（文）了解圆锥曲线的简单应用.

（理）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和

实际问题.

（6）（理）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形

结合的基本思想.

三.高考命题趋向

1.直线的方程命题重点是：直线的颐斜角与斜率，两条直线的位置关系，对称及与其它知

识结合考查距离等.

2.圆的方程命题重点是；由所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系.

3.圆锥曲线常通过客观题考查圆锥曲线的基本量（概念、性质），通过大题考查直线与圆锥

曲线的位置关系，求圆锥曲线的方程等.

4.在知识交汇点处命题是解析几何的显著特征.与平面向量、三角函数、不等式、数列、

导数、立体几何等知识结合，考查综合分析与解决问题的能力.如结合三角函数考查夹角、

距离，结合二次函数考查最值，结合向量考查平行、垂直、面积，直线与圆锥曲线的位置关

系与向量结合求参数的取值范围等，与导数结合考查直线与圆锥曲线位置关系将成为新的热

点，有时也与茴易逻辑知识结合命题.命题会紧紧围绕数形结合思想、方程思想、分类讨论

思想、运动变化的观点展开.

四.高频考点解读

考点一直线的相关问题

例1[2011•浙江卷]若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=

【答案】1

【解析】•.•直线x—2y+5=0与直线2x+即-6=0,/.1X2—2Xw=0,即”?=1.

例2[2011・安徽卷]在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x,y）为整点，下列

命题中正确的是_______（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样福冢既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果先与b都是无理数，则直线不经过任何整点；

③直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点；

④直线>=丘+/>经过无穷多个整点的充分必要条件是：A与b都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线.

【答案】①③⑤

【解析】①正确，比如直线y=Wx+小，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一

个无理数，即不经过任何整点；②错，直线卜=小》一切中左与人都是无理数，但直线经过

整点（1,0）;③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k=0,b=

与时，直线不通过任何整点；⑤正确，比如直线了=小、一小只经过一个整点（1,0）.

【解题技巧点睛】在判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜

率或两条直线都无斜率的情况.在不重合的直线/1与12的斜率都存在的情况下才可以应用条

件/1〃/20依=松,/4/2=左次2=-1解决两直线的平行与垂直问题.在判定两直线是否垂直的问

题上,除上述方法外，还可以用两直线I]和/2的方向向量也=（。1力1）和丫2=（。282）来判定，

即1]_1_/2=。1。2+6162=0.

考点二直线与圆的位置关系

例3[2011・湖南卷]已知圆C：直线/：4x+3y=25.

(1)圆C的圆心到直线/的距离为；

(2)圆C上任意一点A到直线/的距离小于2的概率为____

【答案】⑴5(2)|

I—25|

【解析】(1)圆心到直线的距离为：4=击4#=5

(2)当圆C上的点到直线/的距离是2时有两个点为点B与点D,设过这两点的直线方

程为4x+3y+c=0,同时可得到的圆心到直线4x+3y+c=0的距离为OC=3,

又圆的半径为r=2小，可得/8。。=60。，由图1—2可知点/在弧而上移动，弧长

---1C'BD1

IBD=2义c=z，圆周长c,故P(/)=----=7.

0OCO

例4[2011•课标全国卷]在平面直角坐标系中，曲线v=f-6x+l与坐标轴的交点都在

圆C上.

⑴求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x-y+a=0交于/、B两点,且0/1.08,求°的值.

【解答】(1)曲线y=x2-6x+l与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2吸,0),(3—2夜,

0).

故可设C的圆心电(3,/),则有32+(/-1)2=(2^2)2+/2,解得/=1.

则圆C的半径为，32+(Ll)2=3.

所以圆C的方程为(x-3)2+(y—1尸=9.

(2)设2即为),如2,儿)，其坐标满足方程组

(x-y+q=0,

[(X—3)2+0—1)2=9.

消去“得到方程

2x2+(2(J—8)x+a2-2a+1=0.

山已知可得，判别式/=56—16〃-4a2>0.从而

2。+1与

X】+M=4-4,X\X2=2,①

由于可得的切+巾”=0.

又y=修+。，h=应+。，所以

2修必+。(工1+必)+。2=0.②

由①，②得。=—1,满足/>0,故。=-1.

【解题技巧点睛】求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是

三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐

标和圆的半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性.直线被圆所截得的弦长是直线与

圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题.解决的方法，一是根据平面

几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是

r,圆心到直线的距离是"，则圆被直线所截得的弦长/=2;二是根据求一般的直线被二次

曲线所截得的弦长的方法解决.

考点三椭圆方程与几何性质

例5[2011•福建卷]设圆锥曲线厂的两个焦点分别为居，/2.若曲线厂上存在点尸满足|尸夕|：

尸周：|尸尸2尸4：3：2,则曲线厂的离心率等于()

A.；或'B:|或2或2D.1或方

【答案】A

84

【解析】设|尸周=2c(c>0),由已知1PBi：|尸|&|：|P尸1=4：3：2,得|尸司=铲，m=jc,

且1pBi>|明，

C1

若圆锥曲线「为椭圆，则2〃=/K|+|P&|=4c,离心率e=£=g；

4c3

若圆锥曲线「为双曲线，则2o=|PP|一|P&|=§c,离心率e=£=],故选A.

例6[2011•江西卷]若椭圆5+/=1的焦点在x轴上，过点(I,0作圆f+y2=i的切线，切

点分别为8,,直线Z3恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_______.

【答案】(+[=1

【解析】由题可知过点§与圆/+，=1的圆心的直线方程为了=发，由垂径定理可得

自8=-2.显然过点(1，§的一条切线为直线x=l,此时切点记为4(1,0),即为椭圆的右焦点，

故c=l.由点斜式可得，直线48的方程为>=—2(%—1),即ZB：2x+y—2=0.

令x=0得上顶点为(0,2),・,.b=2,・・・42=/+°2=5,故得所求椭圆方程为方+；=]

例7[2011•课标全国卷]在平面直角坐标系xQy中，椭圆C的中心为原点，焦点储,&在x

轴上，离心率为坐.过Q的直线/交C于1,8两点，且△48&的周长为16,那么C的方

【答藕而22

【解析】设椭圆方程为因为离心率为当，所理八「弓,

,21V

解得/=],即a2=2b2.

又AABF2的周长为|4为+|4尸2|+忸尸2|=|/同+|3尸1|+忸尸2|+|/尸2|=(|/尸1|十|4尸2|)+(|3司+

22

\BF2\)—2a+2a—4a,,所以4a=16,。=4,所以6=25，所以椭圆方程为猿+^=1.

【解题技巧点睛】离心率是圆锥曲线重要的几何性质，在圆锥曲线的基础类试题中占有较大

的比重，是高考考查圆锥曲线的几何性质中的重要题目类型.关于椭圆、双曲线的离心率问

题，主要有两类试题.一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围.基本的解题

思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式，求值试题就是建立关于a,b,c的等式，求

取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式.

考点四双曲线方程与几何性质

22

例8[2011・天津卷]己知双曲线，一，=1（必0,6>0）的左顶点与抛物线y=2/g>0）的焦点的

距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲线的焦

距为（）

A.2sB.2小C.4sD.4小

【答案】B

„2,2,

【解析】双曲线夕一方=1的渐近线为y=±3,由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的

交点坐标为（-2,一1）得一§=—2,即p=4.又,.•§+。=4,，a=2,将（一2,-1）代入

得6=1,_____

c—yja2+b2=-^44-1—y[5,2c—2y[5.,

例9[2011•辽宁卷]已知点（2,3）在双曲线C：方一/=13>0,Q0）上，C的焦距为4,则它

的离心率为________.

【答案】22②

【解析】法一：点（2,3）在双曲线C：4-^=1±,则务/=1.又由于2c=4,所以/+/

4—2=1,

=4.解方程组y'得。=1或。=4.由于故。=1.所以离心率为e=£=2.

。2+7=4

法二：・・,双曲线的焦距为4,・・・双曲线的两焦点分别为尸1（-2,0）,a（2,0）,点（2,3）到两焦

点的距离之差的绝对值为2,即2a=2,...a=l,离心率e=?=2.

22

例10[2011•山东卷]已知双曲线，一节=1（心0,6>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y~6x+5

=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）

2

XFf222r2v2

A——1R——'~=1r——=1D——=1

从5415161u-631

【答案】A

【解析】圆方程化为标准方程为。一3尸+丁=4,所以圆心C（3,0）,r=2,所以双曲线焦点

小。），即E,渐近线为始让。，由圆心到渐近线的距离为2得科=2,又小/

22

=9,所以回=2,即/=%/=。2_/=9_4=5,所以所求双曲线方程为方一3=1.

【解题技巧点睛】求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到

圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值.

考点五抛物线方程与几何性质

例•课标全国卷]已知直线/过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，/与C交于

/、B两点,四尸⑵尸为C的准线上一点，则△/8P的面积为（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】C

【解析】设抛物线方程为丁=2/①>0），则焦点哈0），心力，雄，一力，

所以|/8|=2p=12,所以0=6.又点P到边的距离为p=6,

所以SHBP=QX12X6=36.

例12[2011•福建卷]如图1-4,直线/：y=x+b与抛物线C：¥=句相切于点力.

(1)求实数6的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

\y—x+b,,

【解答】(1)由2得4x—46=0.(*)

[x=4y

因为直线/与抛物线C相切，

所以/=(_4)2_4X(_46)=0.

解得b=-l.

2

(2)由(1)可知b=~\,故方程(*)即为X-4X+4=0.

褪得x=2,代入/=4夕，得y=l,

故点4(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆/的半径厂等于圆心4到抛物线的准线y=-l的距离，即/'=11—(—1)|=2.

所以圆A的方程为。-2)2+&-1)2=4.

图1一7

例13[2011•江西卷]已知过抛物线丁=2px(p>0)的焦点，斜率为26的直线交抛物线于4(x”

川),8(x2，及)(*142)两点,旦|Z8|=9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，若无=晶+2加，求力的值.

【解答】⑴直线的方程是尸2也Q一目，与J=2px联立，从而有4f-5px+/=0,

所以：制+》2=乎.

由抛物线定义得：必用=修+处+0=9,

所以0=4,从而抛物线方程是丁=8x.

(2)由p=4,4f—5px+p2=0可简化为5尤+4=0,从而巾=1,检=4,%=—2限,

y2=4y/2,

从而/(I,一26)，5(4,4^2).

设女=(X3,h)=(1，-2艰)+"4,4啦)=(42+1,4@一2柩,

又£=8知即[2/(24-1)]2=8(44+1),即(22-1)2=47+1,

解得2=0或2=2.

考点六直线与曲线的位置关系

例14[2011•江西卷]若曲线G：/+/—2x=0与曲线C2：乂>—s—⑼=0有四个不同的交

点，则实数机的取值范围是()

A.(-率圉B(一当,。)U(0考

。[一坐,阂D.j—8,盟喈,+.

【答案】B

【解析】配方得，曲线C|：。-1)2+，=1,即曲线C1为圆心在点G(l,o),半径为1的圆,

曲线C2则表示两条直线：X轴与直线/：y=m(x+l),

显然x轴与圆G有两个交点，于是知直线/与圆G相交，

...圆心G到直线/的距离(害;叫<,.=1,解得加e(T，甲,

又当机=0时，直线/：y=0与X轴重合，此时只有两个交点，应舍去.

综上所述，，〃的取值范围是(一平，0)U(0,9.故选B.

例15[2011•陕西卷]设椭圆C：5+5=1(O>6>°)过点(°用，离心率为点

(1)求C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为1的直线被。所截线段的中点坐标.

【解答】⑴将(0,4)代入椭圆C的方程得爷=1,.M=4.

c3,a2—b29169._

又e=-=W得a2-=T7,n即ni1—-7=去，..67=5,

a5a25a25

22

xv

C的方程为57+77=1.

10

44

(2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为y=5(x—3),

设直线与C的交点为/(X|,凹)，8(X2,了2)，

将直线方程y=*-3)代入C的方程，得0+8瞪

1,

即f—3x—8=0.

俎3―河3+两

解得修=2，*2=?，

：.AB的中点坐标工=吗&=去

~=%1"及=3乃+X2-6)=-1.

即中点为(I，—I).

例16[2011•辽宁卷]

如图1-9,已知椭圆Ci的中点在原点O,长轴左、右端点A/,N在x轴上，椭圆C2

的短轴为MN,且G，C2的离心率都为e.直线ILMN,I与G交于两点，与C2交于两点，

这四点按纵坐标从大到小依次为4B,C,D.

⑴设e=g,求|BC|与阳)|的比值;

(2)当e变化时，是否存在直线/,使得8O〃/N,并说明理由.

【解答】(1)因为Ci，C2的离心率相同，故依题意可设

22,222

Ci：,+}=1,C2：谭"+?=1,(〃>6>0).

设直线/：x=/(M<。)，分别与G，C2的方程联立，求得

伞触“知2―『)

当时，6=孕，分别用乃，乃表示48的纵坐标，可知

2

ID^I.।..21y|b3

18cl,H。n-2bgl-/一4

(2)/=0时的/不符合题意./70时，80〃4V当且仅当8。的斜率心。与4V的斜率Mv

b[-^2----5ai~2---i

ww

相等，即一；—=———，

tt-a

解得/=一若5=-g”

1—e2\[2

因为，|Va,又OVeVl,所以一^<1,解得^VeVl.

所以当0<eW半时，不存在直线/,使得8O〃ZN；

当坐VeVl时，存在直线/,使得80〃/N.

【解题技巧点睛】当直线与曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计

算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的

直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标

联系起来,相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据,通过相切

构造方程可以求值,通过相交、相离还可构造不等式来求参数的取值范围或检验某一个值是

否有意义.

考点七轨迹问题

例17[2011•陕西卷]

如图1—8,设P是圆/+丁=25上的动点，点。是P在x轴上的投影，M为PD上一点、,

R\MD\^j\PD\.

⑴当尸在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为9的直线被C所截线段的长度.

【解答】(1)设A/的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yP),

Xp=Xi

由已知得｛5

•.•尸在圆上，.•.乂2+6，)2=25,

22

即C的方程为装+£=1.

2DIO

44

(2)过点(3,0)且斜率为§的直线方程为歹=5(工一3),

设直线与。的交点为4(修，%)，8(必，及)，

将直线方程尸*一3)代入C的方程，得点+也萨=1，即d—3x—8=0.

3-3+^/?T

•»X]-2，12=2,

...线段48的长度为

例18[2011•湖南卷]己知平面内一动点尸到点网1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线/”12,设A与轨迹C相交于点4B,，2与轨

迹C相交于点。，E,求益•港的最小值.

【解答】设动点尸的坐标为(x,y),由题意有♦(x—l)2+y2—恸=1.

化筒得，=2》+2恸.

当x>0时，/=4x；当x<0时,y=0.

所以，动点P的轨迹C的方程为丁=4x(工与0)和y=O(x〈O).

(2)由题意知，直线/|的斜率存在且不为0,设为％,

则/i的方程为夕=岚》-1).

\y^k(x-\)

由得

j2=4x

左一(2*+4.+*=0.

4

设4(X[,刈)，8(x29y2)f则勺，检是上述方程的两个实根，于是即+切=2+/,X\X2~1.

因为/1_L/2,所以/2的斜率为一!

设。(不，力)，£{N4，J4)，则同理可得

制+“4=2+4左2,XyX4=1.

故必•旗=(赤+FDy(EF+FB)

=Q,前+成♦而+济针+而•比

=而|两+|两函

=8+1)3+1)+S+1)(M+1)

=X\X2~^~(X\+工2)+1+X3X4+(^3+%4)+1

=1+(2+^2^+1+1+(2+44+1

=8+4仗+日28+4X2"\^^=16.

当且仅当好=/，即仁±1时，亦逾取最小值16.

例！9[2Q11•天津卷]在平面直角坐标系X0中，点尸伍，b)(a>b>0)为动点,Fi，入分别为椭

圆3+方=1的左、右焦点.已知△尸田出为等腰三角形.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线P&与椭圆相交于/，8两点，〃是直线P&上的点，满足前说/=—2,求点M

的轨迹方程.

【解答】⑴设Q(—c,0),F2(c,0)(00).由题意,可得『&|=尸|&|,

即后可彳=2c.整理得2(3+、1=().

QC]1

得£=一1(舍)，或1=2.所以e=,

(2)由(1)知a=2c,6=小乙可得椭圆方程为3f+4”=12c2,直线PB方程为^=小(工一。).

3x2+4y2=12c2,

A,8两点的坐标满足方程组

y^y[3(x-c).

8

消去y并整理，得5f-8cr=0.解得a=0,应=+

得方程组的解

不妨设¥^c)，8(0,一小c).

设点M的坐标为(x,y),贝必A/=(x—■!(:,BM=(x,y+小c).

由了=小(》一c),得c=x—

于是孤/=(今以一右,BM—(x,yf3x).由万/•加/=-2,

即•/x=-2,

化简得18工2—16小工)一15=0.

..18x2—15八、、y[3”,10X2+5什，，

将白=代入c=x一拳V，得16t>0.所以x>0.

因此，点M的轨迹方程是18X2-16V3X^-15=0(X>0).

【解题技巧点睛】求曲线轨迹方程是高考的常考题型.考查轨迹方程的求法以及利用曲线的

轨迹方程研究曲线几何性质，一般用直接法、定义法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程.

枕迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解

决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力有较高的要求.如果题目中有明显的等量关系，

或者能够利用平面几何推出等量关系，可用直接法;如果能够确定动点的轨迹满足某种已知

曲线的定义，则可用定义法；如果轨迹的动点P依赖另一动点Q,而Q又在某已知曲线上，则可

通过列方程组用代入法求出轨迹方程；另外当动点的关系不易找到，而动点又依赖于某个参

数,则可利用参数法求枕迹方程，常用的参数有变角、变斜率等.

考点八圆锥曲线的综合问题

例20[2011•山东卷]设Mx。，％)为抛物线C：¥=匕上一点，尸为抛物线C的焦点，以F为

圆心、|FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则为的取值范围是()

A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+8)D.[2,+°0)

【答案】C

【解析】根据f=8y,所以尸(0,2),准线丁=-2,所以厂到准线的距离为4,当以厂为圆

心、以|尸朋]为半径的圆与准线相切B寸，|^|=4,即M到准线的距离为4,此时泗=2,所以

显然当以尸为圆心，以为半径的圆和抛物线C的准线相交时，泗6(2,+8).

例2O[2ou•湖南卷]如图1一9,椭圆Ci：/+方=ig*o)的离心率为坐,x轴被曲线C2：

y^x2-b截得的线段长等于G的长半轴长.

(1)求G，C2的方程；

(2)设C2与了轴的交点为过坐标原点。的直线/与。2相交于点4B,直线

M3分别与Ci相交于点Q,E.

①证明：MDVME-,

c17

②记△M48,△〃£>后的面积分别为国，S2.问：是否存在直线/，使得请说明理

02"

由.

【解答】⑴由题意知，e=，坐，从而“=24又2亚=a,解得。=2,6=1.

故C”。2的方程分别为?+/=1，尸/一1.

（2）①由题意知，直线/的斜率存在，设为"则直线/的方程为>=a

\y=kx,

由j_2]得f一h一1=0.

设/（X|,巾），5（X2>为），

则修，M是上述方程的两个实根，

于是X]+X2=%,X\X2=-1.

又点M的坐标为（0,-1）,所以

川+1乃+1（履1+1）（底2+1）

MB

~X['X2~X\X2

Z?X|X2+岚X|+%2）+1

X|X2

一妙+*+l

故WMB,B|1MDLME.

②设直线MA的斜率为h，则直线MA的方程为

\y—k\x—\,

解得

y—k\x-1,由，[y=f-1

fx=0,\x=k\t

UL

则点z的坐标为肉，居一1）.

又直线MB的斜率为一看，同理可得点8的坐标为（一（，煮一1）

于是$昌战|"|=31+的如yI+}.IVI=与空

\y-k\X-\,

由"+4)?_4=0得(1+4居*-8抬x=0.

8kl

『一"或”=1+4次

解得，

卜=一14居一1

好TT福

*1)

则点D的坐标为1+4后)

又直线ME的斜率为一片同理可得点£的坐标为仔卷，母

羊目rL.msm32（1+后）•土

于ZE$2=习⑷•阿=（]+4后）诏+4）-

因此沪景曙+春+17).

由题意知，却居+向+1717

32f

>°1

解得居=4,或后=[

_"T1

又由点4,3的坐标可知，k=---f=k「联,

3

所以k=马.

故满足条件的直线/存在，且有两条，其方程分别为尸3永和尸一声3

例21[2011♦山东卷]已知动直线/与椭圆C：，+，=1交于尸8，乃)，0(工2，为)两不同点，

且△OP。的面积SAOP°=半，其中°为坐标原点.

⑴证明：*+岩和4+式均为定值；

(2)设线段PQ的中点为M,求10MHp。的最大值；

(3)椭圆C上是否存在三点，E,G,使得SAODE=SAODG=SA°EG=^?若存在，判断

△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)(i)当直线/的斜率不存在时，P,。两点关于x轴对称,

所以“2=工1，及=一乃，

因为尸(修，功)在椭圆匕

22

所以,+巧=1•①

又因为Sa。?0=^^>

所以同忸尸杀②

由①、②得|xi|=R*，[yi|=1»

此时*+/=3,乂+次=2.

(ii)当直线/的斜率存在时，，设阜线Z的方程为y=kx+m9

由题意知加片0,将其代入与+、=1得

(2+3*)f+6kmx+3(w2-2)=0,

其中d=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0,

即3必+2>苏，(★)

f.6km3(w2—2)

乂X|+x2=-2+3左2,XM2=2+3*'

所以\PQ\=W+*=S+X2)2—4X|X2

2乖73A2+2—/w2

=、1+*•

2+3必

因为点O到直线/的距离为〃=万%，

所以SAO户°=习尸。卜”

_1I+2-w2\m\

=会2+3F.TP

小卜％N3炉+2-〃?2

=2+3^^

又SDOPQ=2，

整理得32+2=2〃八且符合(★)式.

此时X；+x：=(X]+必)2—2x]、2=

(_6km\_0乂3(,/_2)_

I2+3刃22+3户一3，

y\+j2=|(3-Xi)+|(3-X2)=4-1(xf+^2)=2.

综上所述，x；+\=3,认+城=2,结论成立.

(2)解法一：①当直线/的斜率不存在时，

由⑴知|OM=«1|=噂,/01=2同=2,

因此|0初|・|尸。尸当X2=4.

②当直线/的斜率存在时，由i知:

修+工2

2

乃十＞'2—3Z:2+2W21

22mm

1_6m2-2_j

函="*(空)F书~trT4/w2~2

24(3必+2—毋)2(2疗+1)(

闻2=(1+6=22+5)

(2+3炉了m

=GT)(2+5H3-9+2+前2=卫

4,

27

所以|OM，|P0lW，当且仅当3—，=2+},即加=—口时，等号成立.

综合①②得QMM。的最大值为|.

解法二：

222

因为4|OA/|+|P0『=(X1+%2)2+01+j2)+(x2—Xl)+&2—y[)2=2[(x?+%2)+(yf+诒]=

10.

所以2QMWK也吟皿/=5.

即10M・|P0|w|,当且仅当2QM=|P。尸小时等号成立.

因此|0卬尸。|的最大值为摄

(3)椭圆C上不存在二点。，EtG,使得SAODE=S.ODG=SAOEG=^^~・

证明：假设存在。(〃，0),E(x\,y\),G(》2,")满足£\8E=£\ODG=S4OEG=?,

2

由(1)得/+\=3,I?+)=3,*+)=3,v+y{=296+为=2,y；+y；=2.

解得J=X\=X2=]；~yi=yi=i.

因此"，X1，应只能从士当中选取，。，为，以只能从±1中选取.

因此。、E、G只能在(土半，±1)这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与S&ODE=SAODG=S&OEG=2矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点。、E、G.

例22【2011・新课标全国】在平面直角坐标系xQy中，已知点2(0,-1),8点在直线丁=-3

上，M点满足蕨〃方，MA-AB=MB-BA,M点的轨迹为曲线C.

(I)求。的方程；

(II)P为C上的动点，/为。在尸点处的切线，求。点到/距离的最小值.

【解析】(I)设幽xj),由已知得B(x,-3),>1(0-1).

所以必=(-%-1,->),MB=(0,-3,-/).AB=(x,-2).

ULIXULI.LUD

再由题意可知IMA+MB\AB-0,即(-r,-4,-2j)(r,2)=0.

所以曲线C的方程为y=：/-2.

(H)设尸(和为)为曲线C：1y=(--2上一点，...yo=；x；-2,y=^x>

的斜率为;与，，直线，的方程为1y,SPxox-2y+2y0-x„=0

•••。点到？的距离4」毕二知=齐二=1(点；+4+下2=)22,

Jx；+4J君+42J^+4

当%=0时取等号，...。点到/的距离的最小值为2.

【解题技巧点睛】

1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题

的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响

的一个点、一个值，就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表

示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函

数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立

目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问

题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处

理.

针对训练

一.选择题

1.(2012届微山一中高三10月考试题)

过点（5,2）,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）

A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0^2x-5y=0

C.x-2y-l=0D.x-2y-l=0或2x-5y=0

【答案】B

【解析】考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点，当直线过原点时方程为2x-5y=0,

不过原点时，可设出其截距式为2+上=1再山过点（5,2）即可解出.

a2a

2.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】

x2V2x2V2

已知函数q*+5-=l，G：记+上=1,则（）

（A）G与顶点相同（B）£与。2长轴长相同

（OG与G短轴长相同⑺）G与G焦距相同

【答案】D

【解析】

C]:+=1,.'.1=12,6；=4,；.c.=8,.,.2q=45/2;

22

C2:+^-=1,a2=16也2=8,.,.c2=8,2C2=4A/2;

综上可知两个曲线的焦距相等。

3.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】

已知点尸为圆“2+'—4x—4y+7=0上一点'且点P到有线"―V+”=°距离的最小值

为亚—1,则加的值为（）

A.-2B.2C.±V2D.±2

【答案】D

[解析】由点到直线的距离公式求得圆心（2,2）到直线x-»+加=0的距离

|2-2+w||2—2+根|/—_

d=---f=—-,所以d-尸=---7=---1=5/2-1,解得m=±2

V2V2

4.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】

已知抛物线y-=8x的焦点与双曲线彳-，=1的•个焦点重合，则该双曲线的离心率为

A.5鲁B.孥C.D.3

【答案】B

【解析】由题意可知抛物线的焦点为（2,0）,双曲线的一-个焦点为右焦点且为（J/+i,o）,

因两点重合故有J/+1=2,即“2=3.且。=J/+i=2.则双曲线的离心率为

5.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】

已知双曲线的渐近线为y=,焦点坐标为（-4,0）,（4,0）,则双曲线方程为（）

A./—JlB.1=122D,£上1

C.工-匕=1

824124248412

【答案】A

X2y2

【解析】由题意可设双曲线方程为一利用已知条件可得:

a

h

二b=_力R用=7=4x2y2

a,，，双曲线方程为上-L=l.故选A.

b2=\2412

c=4a-+〃=42

6.[2012届景德镇市高三第一次质检】已知点大、乃为双曲线=1

ab

（“〉0力〉0）的左、右焦点，P为右支上一点，点尸到右准线的距离为d,若|。耳|、

|。尸2卜△依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是

A.[2+V3,+00)B.(1,V3)C.(1,2+V3]D.[2,2+向

【答案】C

【解析】由归用-|尸闻=24,忸£|+6/=2归用得2=|正月|-22

2a2而"幺Wd=必-

群（哈山=三/c-a

2

所以/一4“。+/wo,e-4e+l<0,l<e<2+V3.

7.12012北京海淀区高三年级第一学期期末试题】

点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C

的距离,那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的

点的轨迹不可熊是

（）

（A）圆（B）椭圆

（C）双曲线的一支（D）直线

【答案】D

【解析】如图，A点为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点,

故AM=MP,此时M的轨迹为以A圆心,半径为AM的圆。

如图，以FI为定圆的圆心，FF为其半径，在FF截得

设冏|+|「州=］讨|+|必=厂>闺川,

|MP|=|MA|,\^r,：.\MFy

由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F|、A为焦点，

以怩4为焦距，以r为长轴的椭圆。

如图，以&为定圆的圆心，BP为其半径，

过P点延长使得|MP|=|MA|,则有

\MF{\-\PM\=r,：.\MFt=r<\FA\,

由双曲线的定