2023暑假高二升高三数学《对数与对数函数》专题练习(教师用)

§2.6对数与对数函数高考会这样考1.考查对数函数的图像、性质；2.考查对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数问题．复习备考要这样做1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图像、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫作对数的底数，__N__叫作真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.(2)对数的性质①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图像与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称．[难点正本疑点清源]1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2．对数函数的定义域及单调性对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较．1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，则不等式f(logeq\f(1,8))x>0的解集为______________．答案x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)解析∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图像关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上单增，∴在(－∞，0]上单减，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.∴f(logeq\f(1,8)x)>0⇒logeq\f(1,8)x<－eq\f(1,3)或logeq\f(1,8)x>eq\f(1,3)⇒x>2或0<x<eq\f(1,2)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．2．(课本改编题)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________．答案8解析y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图像恒过点A(－2，－1)，A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，即2m＋n＝1.∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(4)＝8，当且仅当4m2＝n2时取等号．3．(log29)·(log34)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4答案D解析方法一原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.方法二原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.4．(2023·重庆)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<cB．a＝b>cC．a<b<cD．a>b>c答案B解析∵a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，∴a＝b.函数y＝logax(a>1)为增函数，∴a＝log23eq\r(3)>log22＝1，c＝log32<log33＝1，∴a＝b>c.5．若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，b))B．(10a,1－b)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,a)，b＋1))D．(a2,2b)答案D解析由点(a，b)在y＝lgx图像上，知b＝lga.对于A，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，b))，当x＝eq\f(1,a)时，y＝lgeq\f(1,a)＝－lga＝－b≠b，∴不在图像上．对于B，点(10a,1－b)，当x＝10a时，y＝lg(10a)＝lg10＋lga＝1＋b≠1－b，∴不在图像上．对于C，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,a)，b＋1))，当x＝eq\f(10,a)时，y＝lgeq\f(10,a)＝1－lga＝1－b≠b＋1，∴不在图像上．对于D，点(a2,2b)，当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，∴该点在此图像上.题型一对数式的运算例1计算下列各式：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)eq\f(\r(lg32－lg9＋1)·lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg0.3·lg1.2)；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．思维启迪：(1)lg2·lg50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝eq\f(\r(lg32－2lg3＋1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2))),lg3－1·lg3＋2lg2－1)＝eq\f(1－lg3·\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3－1·lg3＋2lg2－1)＝－eq\f(3,2).(3)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).求值：(1)eq\f(log89,log23)；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245).解(1)原式＝eq\f(log2332,log23)＝eq\f(2,3).(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lgeq\f(10,5)＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.(3)原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg(7eq\r(5))＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).题型二对数函数的图像与性质例2已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(logeq\f(1,2)3)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是()A．c<a<bB．c<b<aC．b<c<aD．a<b<c答案B解析logeq\f(1,2)3＝－log23＝－log49，b＝f(logeq\f(1,2)3)＝f(－log49)＝f(log49)，log47<log49,0.2－0.6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－eq\f(3,5)＝eq\r(5,125)>eq\r(5,32)＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)<f(logeq\f(1,2)3)<f(log47)，即c<b<a.(1)已知a＝21.2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a答案A解析b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，故c<b<a.(2)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.答案22解析f(x)的图像过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－1＝1,b＝a))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2,a＝2)).题型三对数函数的综合应用例3已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪：f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<eq\f(3,2).又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0,loga3－a＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2),a＝\f(3,2)))，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a>0且a≠1)．(1)若f(2)＝2，求a的值；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．解(1)f(2)＝loga4，依题意f(2)＝2，则loga4＝2，∴a＝2.(2)由题意知8－2x>0，解得x<3，由8－2－x>0知，x>－3，∴函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域为(－3,3)．又y＝f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]，∵eq\f(65,8)>2x＋2－x≥2，当且仅当x＝0时取等号，∴0<65－8(2x＋2－x)≤49，∴当a>1时，函数y＝f(x)＋f(－x)在x＝0处取得最大值loga49.典例：(12分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．求证：(1)函数f(x)的图像总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角(1)要证明f(x)的图像总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值．(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)>0即可．规范解答证明(1)由ax－1>0，得ax>1，[1分]∴当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数f(x)的图像总在y轴的右侧；[3分]当0<a<1时，x<0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数f(x)的图像总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图像总在y轴的一侧．[6分](2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图像上的任意两点，且x1<x2，则直线AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2).[7分]y1－y2＝loga(ax1－1)－loga(ax2－1)＝logaeq\f(ax1－1,ax2－1)，[8分]当a>1时，由(1)知0<x1<x2，∴1<ax1<ax2，∴0<ax1－1<ax2－1.∴0<eq\f(ax1－1,ax2－1)<1，∴y1－y2<0.又x1－x2<0，∴k>0.[9分]当0<a<1时，由(1)知x1<x2<0，∴ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0.[10分]∴eq\f(ax1－1,ax2－1)>1，∴y1－y2<0.又x1－x2<0，∴k>0.∴函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都大于0.[12分]A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，则()A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x答案D解析∵x＝lnπ>lne，∴x>1.∵y＝log52<log5eq\r(5)，∴0<y<eq\f(1,2).∵z＝e－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(e))>eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)<z<1.综上可得，y<z<x.2．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析f(a)>f(－a)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,log2a>log\f(1,2)a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,log\f(1,2)－a>log2－a))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,a>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,－1<a<0))⇒a>1或－1<a<0.3．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．(3，＋∞)答案D解析由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3，故选D.4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()A．f(eq\f(1,3))<f(2)<f(eq\f(1,2))B．f(eq\f(1,2))<f(2)<f(eq\f(1,3))C．f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))<f(2)D．f(2)<f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))答案C解析由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图像关于直线x＝eq\f(2－x＋x,2)＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，∵|2－1|>|eq\f(1,3)－1|>|eq\f(1,2)－1|，∴f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))<f(2)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2023·江苏)函数f(x)＝eq\r(1－2log6x)的定义域为________．答案(0，eq\r(6)]解析要使函数f(x)＝eq\r(1－2log6x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,1－2log6x≥0.))解得0<x≤eq\r(6).6．若f(x)＝ax－eq\f(1,2)，且f(lga)＝eq\r(10)，则a＝__________.答案10或eq\f(\r(10),10)解析f(lga)＝alga－eq\f(1,2)＝eq\r(10)，∴lg(alga－eq\f(1,2))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)，∴2lg2a－lga－1＝0，∴lga＝1或lga＝－eq\f(1,2)，∴a＝10或a＝eq\f(\r(10),10).7．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案4解析∵A＝(0,4]，又A⊆B，∴a>4.即实数a的取值范围是(4，＋∞)，∴c＝4.三、解答题(共22分)8．(10分)已知函数f(x)＝logaeq\f(x＋b,x－b)(a>0，a≠1，b>0)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性．解(1)要使f(x)有意义，则eq\f(x＋b,x－b)>0，∵b>0，∴x>b或x<－b，∴f(x)的定义域为{x|x>b或x<－b}．(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∵f(－x)＝logaeq\f(－x＋b,－x－b)＝logaeq\f(x－b,x＋b)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋b,x－b)))－1＝－logaeq\f(x＋b,x－b)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．9．(12分)若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．解∵y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0，解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1或x>3}，f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.∴f(t)＝4t－3t2＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋eq\f(4,3)(t>8或0<t<2)．由二次函数的性质可知，当0<t<2时，f(t)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，\f(4,3)))，当t>8时，f(t)∈(－∞，－160)，当2x＝t＝eq\f(2,3)，即x＝log2eq\f(2,3)时，f(x)max＝eq\f(4,3).综上可知，当x＝log2eq\f(2,3)时，f(x)取到最大值eq\f(4,3)，无最小值．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共20分)1．设f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案A解析由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，定义域为(－1,1)．由f(x)<0，可得0<eq\f(1＋x,1－x)<1，∴－1<x<0.2．若实数t满足f(t)＝－t，则称t是函数f(x)的一个次不动点．设函数f(x)＝lnx与函数g(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m，则()A．m<0B．m＝0C．0<m<1D．m>1答案B解析函数f(x)＝lnx与函数g(x)＝ex互为反函数，则它们的图像关于直线y＝x对称，而函数f(x)＝lnx与函数g(x)＝ex各自的次不动点均在直线y＝－x上，所以m＝0.3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．2D．4答案C解析当x>0时，函数y＝ax，y＝logax的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．二、填空题(每小题5分，共15分)4．函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－2x－3)的单调递增区间是__________．答案(－∞，－1)解析设t＝x2－2x－3，则y＝logeq\f(1,2)t.由t>0解得x<－1或x>3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．而函数y＝logeq\f(1,2)t为关于t的减函数，所以，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．5．若log2aeq\f(1＋a2,1＋a)<0，则a的取值范围是____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析