中考数学二轮专题复习专题07 与三角形有关常用几何模型（教师版）

1/196专题七与三角形有关常用几何模型一、角平分线模型例题1如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析【解析】【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．练习题1．已知：是的角平分线，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．①求证：；②若，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．【解析】【分析】（1）用证明，即得AB＝AC；（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．【详解】解：（1）证明：是的角平分线，，，，在和中，，，；（2）①，，，，，在和中，，，，在和中，，，；②过作于，如图：由①知：，，，，由①知：，，，，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.2．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，，，，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在与中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．【答案】见解析【解析】【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE与△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝BF．在△CFE与△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA与△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．4．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．【解析】【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．6．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【解析】【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．7．已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．【答案】AB=AC+BD，证明见详解．【解析】【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．8．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．【答案】40°【解析】【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得【详解】解：如图，在上截取，连接，是的平分线，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．（1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【解析】【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC==30°，∠DCA==60°∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，∴△OPD≌△OCD，∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．10．四边形中，，连接．（1）如图1，若平分，求证：．（2）如图2，若，，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）过点分别作于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质可得，结合已知条件HL证明，继而可得，根据平角的定义以及等量代换即可证明；（2）过点分别作于点，交的延长线于点，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三线合一，可得，进而可得，根据角平分线的判定定理可推出，进而即可证明；（3）先证明四边形是矩形，证明，进而证明四边形是正方形，设，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而在中，勾股定理即可求得的长．【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，平分，，在与中（HL）即（2）如图，过点作交的延长线于点，过点作，，即（3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，，四边形是矩形在与中，四边形是正方形设在中在中，【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．二、一线三等角模型例题2（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________．（2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【解析】【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF；（3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积，∵，△ABD与△ACD的高相同则=5故与的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．练习题1．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】【分析】要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，的面积，，，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【解析】【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，由题意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．3．【问题解决】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3）【解析】【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据（1）的结论得到△ACM≌△BCN，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3，由（1）可知，△ACM≌△CBN，∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，∴OM＝OC+CM＝4，∴点A的坐标为（﹣4，3）．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断；（2）利用，则，得出，然后问题可求证；（3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证．【详解】（1）证明：直线，直线，，，，，，在和中，，；解：（2）成立，理由如下：，，，在和中，，；（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴（SAS），∴，∴，∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．5．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．【答案】BE的长为0.8cm；DE=AD+BE．【解析】【分析】如图1，由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解．【详解】解：如图1，∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，∵DE=1.7cm，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∴BE的长为0.8cm；如图2，DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．6．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．①求证：；②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．【答案】感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴，∴，故答案为：；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴，即，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合题意，∴AP≠AD；当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴，即，解得：，∴，综上所述，当为等腰三角形时，BP的长为2或．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【答案】(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明△ADC≌△CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；∴DC=BE，AD=EC，∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如图2，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．又∵AD⊥MN于点D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．(3)解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由如下：如图3，易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．8．如图，在中，．（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到，然后证明，然后根据全等三角形对应边相等得到，，然后通过线段之间的转化即可证明；（2）首先根据三角形内角和定理得到，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，最后通过线段之间的转化即可证明．【详解】证明：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴；（2）仍然成立，理由如下：∵，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到．9．问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．【答案】（1）BD；CE；证明见详解；（2）DE=BD+CE；证明见详解；（3）点B的坐标为．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到，，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可；（3）根据，得到，，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，即：，故答案为：BD；CE；（2）解：数量关系：，证明：在中，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴；（3）解：如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，，∴，，∴，∴点B的坐标为．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是．【答案】探究：（1）DE=BD+CE；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）△DEF是等边三角形【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF为等边三角形．【详解】（1）解：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；故答案为：DE＝BD+CE（2）解：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）证明：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、手拉手模型例题3如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或【解析】【分析】（1）根据旋转全等模型可证，（SAS），结合已知平行四边形性质可证：，，根据，可得是等边三角形即可解题；（2）同理第一问，根据，可得是等腰直角三角形即可解题；（3）根据第一问可证：，当、、三点共线时，当、、三点共线时，、、三点共线，继而解三角形，求出BD长，由相似三角形性质求出EF，由分两种情况，分别画图求解即可．(1)解：如图2，连接EC，∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵，，∴（SAS），∴，，∴，∵四边形BDFC是平行四边形，∴BC∥DF，BD=CF∴，，∴，又∵，∴，当时，，∴是等边三角形，∴EF=CF；(2)解：同理（1）可得：，，当时，，∴是等腰直角三角形，；(3)解：分两种情况进行讨论：如图3-1：AF=AE+EF，同理1可得：，，又∵，，．∴，∴，∴，，∵，，，∴，，由（1）得：（SAS），∴，∴∴当、、三点共线时，，∴当、、三点共线时，、、三点共线，如图4-1，过A点作AH⊥DE，∵AD=AE，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，如图4-2，AF=EF-AE，同理可得：，，∴∵，∴，∴，综上所述：AF长为或．【点睛】本题属于几何压轴题，综合性比较强，体会其中蕴含的从特殊到一般的思想是解题的关键．解题关键是关键旋转全等模型证明是等腰三角形，，从而可得，再结合解三角形求线段长．练习题1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为_____．【答案】【解析】【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB＝AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD．【详解】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2=AB’，∴AD=∴BD＝，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．2．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．（1）当F在AC边上时，AF长为______；（2）连结BF，则BF的取值范围为______．【答案】

【解析】【分析】（1）当F在AC边上时，由直角三角形的性质可得AF的长度．（2）连接BF之后，根据题意与手拉手模型作出图形讨论出BF在什么时候最短，什么时候最长即可得出BF的范围，详见解析．【详解】解：（1）如图所示：当F在AC边上时，,EFD是等边三角形，在RtADF中，（2）如图所示：在AB上方作等边ADG，作射线GF．与均为等边三角形AD=GD，ED=FD，即点F在射线GF上运动．当E与A重合时，F与G重合时，此时BF最长．连接BG，作GHAO于H，则又当BFGF时，BF最短，如图所示：又而综上所述：BF的范围是【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形，重点考查了手拉手模型这一知识点，是历年来中考常考的一种几何压轴题型之一．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵，∴AM＝AN，∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．【答案】（1）见解析；（2）132°；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE，推出∠BAD=∠CAE，从而结合“SAS”证明△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）根据外角定理推出∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，结合全等三角形的性质推出∠COD=∠ABC+∠BCA，最后在△ABC中利用内角和定理求解即可；（3）连接AO，根据题意确定△ADO≌△AEG，得到∠OAD=∠GAE，AO=AG，再结合题干条件推出△AOC为等腰三角形，以及∠BOA=∠BOC，从而根据“三线合一”证明即可．【详解】（1）证：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵∠COD=∠OBC+∠BCO，∠BCO=∠BCA+∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ABD=∠ABC+∠BCA，∵∠BAC＝48°，∴∠ABC+∠BCA=180°-48°=132°，∴∠COD=132°；（3）证：如图所示，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADO=∠AEG，在△ADO和△AEG中，∴△ADO≌△AEG(SAS)，∴∠OAD=∠GAE，AO=AG，∴∠AOG=∠AGO，∴∠OAD+∠DAG=∠GAE+∠DAG，即：∠OAG=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC=∠OAG，在△ABF和△COF中，∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，∠BOC=180°-∠ACE-∠CFO，由（2）知∠ABD=∠ACE，∵∠AFB=∠CFO，∴∠BAC=∠BOC，∴∠BOC=∠OAG，∵AG∥BD，∴∠BOA=∠OAG，∴∠BOA=∠BOC，∵AO=AG，AG=CO，∴AO=CO，即：△AOC为等腰三角形，∵∠BOA=∠BOC，∴OF⊥AC，∴BD⊥AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题关键．5．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．【答案】(1)是(2)4或3(3)见解析(4)AC=或．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，从而△BDC是等腰直角三角形，又因为△ABD是等腰三角形，即可得出结论；（2）由题意知△ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=4，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=3；（3）利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC=BE；（4）分∠BDC=90°和∠DBC=90°，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题．(1)解：∵AD=3，AD=DB=DC，∴BD=CD=3，∵BD2+CD2=18，BC2=（3）2=18，∴BD2+CD2=BC2，∴△BDC是等腰直角三角形，∵△ABD是等腰三角形，∴四边形ABCD是真等腰直角四边形，故答案为：是；(2)解：∵对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，∴△ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC==4，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC==3，综上：BC=4或3，故答案为：4或3；(3)解：由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90°，∴∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE；(4)解：由题意知：△BDC是等腰直角三角形，当∠BDC=90°时，如图，作DE⊥AD，取DE=AD，连接AE，BE，由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE，∵AD=3，△ADE是等腰直角三角形，∴AE=3，∠EAD=45°，∵∠DAB=45°，∴∠EAB=90°，由勾股定理得BE=，∴AC=；当∠DBC=90°时，如图，同理可得AE=4，DE=AC=，综上：AC=或．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性．6．如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，点E、F分别在AD、BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．(1)求证：△APE∽△BFP；(2)若△PEF是等腰直角三角形，求的值；(3)试探究线段AE、BF、EF之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)或2(3)线段AE，BF，EF之间满足的等量关系是AE2+BF2=EF2．证明见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定得出△APE∽△BFP即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例关系，分两种情况进行讨论解答即可；（3）利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°．∵∠APB=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=45°．∴∠PAE=∠PAB+∠BAD=45°+90°=135°，∠FBP=∠PBA+∠ABC=45°+90°=135°，∴∠PAE=∠PBF．∴∠APE+∠AEP=45°．∵∠EPF=45°，∠APB=90°，∴∠APE+∠BPF=45°．∴∠AEP=∠BPF．∴△APE∽△BFP．(2)∵△APE∽△BFP，∴．∵△PEF是等腰直角三角形，∠EPF=45°，∴可分为两种情况讨论：①当∠PEF=90°，PE=EF时，则．∴．∴，．∵AP=BP，∴．②当∠PFE=90°，PF=EF时，则．∴．∴，．∵AP=BP，∴．综上所述，的值为或2．(3)线段AE，BF，EF之间满足的等量关系是AE2+BF2=EF2．证明：延长AB到G，使得BG=AE，连接PG，FG，∵∠PBA=45°，∴∠PBG=135°．∵∠PAE=135°，∴∠PBG=∠PAE．∵PA=PB，BG=AE，∴△PBG≌△PAE（SAS）．∴BG=AE，PG=PE，∠BPG=∠APE．∵∠APE+∠BPF=∠EPF=45°，∴∠BPG+∠BPF=∠EPF．即∠GPF=∠EPF．又∵PF=PF，PG=PE，∴△PGF≌△PEF（SAS）．∴GF=EF．∵∠ABC=90°，∴∠GBF=90°．∴由勾股定理得，BG2+BF2=GF2．∴AE2+BF2=EF2．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解本题的关键．7．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．【答案】（1）MN=BE；MN⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）延长交于点，根据三角形的中位线定理证明，，再由平行线的性质证明，则；（2）（1）中的结论依然成立，连接，由等腰直角三角形的性质推出相应的线段相等和角相等，证明，先证明，再证明；由三角形的中位线定理证明；（3）以，，，为顶点的四边形为平行四边形分两种情况，即在的内部、、都在的外部，此时、、三点在同一条直线上，且，再根据，得到直角三角形，由勾股定理列方程求的长．【详解】解：（1）如图1，延长交于点，、分别是、的中点，，且，，．，，，；故答案为：，（2）成立，理由如下：如图2，连接并延长交于点，延长交于点，，，，，，，，点、分别是、的中点，，，；，，，；．（3）如图3，在内部，在的外部，且四边形是平行四边形，由（2）得，，，，∵四边形是平行四边形，，，、、三点在同一条直线上，，，，，，，由得，，解得；如图4，、都在的外部，且四边形是平行四边形，设交于点，，，，，，、分别为、的中点，，四边形是平行四边形，，点在上，，，，，、分别是、的中点，，，，，由得，，解得，综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．8．在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当时，则_______°；（2）当时，①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．【答案】（1）80；（2）是等边三角形；（3）．【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，再结合等腰三角形性质可得，，利用平角定义和四边形内角和定理可得，由此求解即可；（2）根据（1）的结论求出即可证明是等边三角形；（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当的值最大时的P点位置，再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明，从而可知，再根据30°直角三角形性质可知即可得出结论．【详解】解：（1）∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案为：．（2）①结论：是等边三角形．证明：∵在中，，，∴，由（1）得：，，∴是等边三角形．②结论：．证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；∴，∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，如解图2，P、E、三点在一条直线上，由（1）得：，又∵，∴，又∵，，∴，∵点D、点是关于直线AF的对称点，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴（SAS）∴，∵，∴，在中，，，∴，∴【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和判定等知识点，解题关键是利用对称将转化为三角形三边关系找到P的位置，并证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形．9．如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出，可得再结合三角形中学性质即可解得；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和，得，再通过四点共圆证明，进而可得，从而可证明为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造，得AD=BP，继而证明（SAS），从而可得，由此即可得出结论；（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造，得出即D为AC的中点时，取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．(1)解：如解图1，过点D作DH⊥AB，∵∠ABD＝45°，∴，∵在△ABC为等边三角形中，∠BAC＝60°，∴，∴，∴，

又∵AB＝2+2，∴，∴，∴，∴，∵M为BD的中点，∴；(2)如解图2，过点A作，垂足为G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，∴BG=GC，∵BM=DM，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴A、M、G、N四点共圆，∴，∴，又∵MP=AM，，∴，又∵，∴为等边三角形，，∵，∴，∴，如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，∵BM=DM，，∴（SAS）∴AD=BP，在和中，，∴（SAS）∴，∴；(3)取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，∵将△ABM沿AM翻折得△AB'M，，∴，，又∵，∴，∴，即：，又∵，，∴，∴，∴，又∵BM=MD，BK=KQ，∴，又∵AB=BC，∴，∴，∴，当M点与K点重合时，取最小值，此时取最小值，∴D点与Q点重合，即D为AC的中点时，取最小值，如解图3-2；设AD=a，∵是等边三角形，D点是AC的中点，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴

【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系．10．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】(1)如图1，对余四边形中，AB=5，BC=6，CD=4，连接AC，若AC=AB，则cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如图2，凸四边形中，AD=BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．【拓展提升】(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC=90°+∠ABC．设=u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________．【答案】(1)，；(2)四边形ABCD是对余四边形；(3)【解析】【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出cos∠ABC和sin∠CAD的值．（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形．（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．(1)解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F∵AB=AC，AE⊥BC∴BE=CE=BC=3，∴cos∠ABC=∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠B+∠D=90°又∵∠B+∠BAE=90°∴∠D=∠BAE又∵∠CFD=∠AEB=90°∴△ABE∽△DCF∴∴∴CF=∴sin∠CAD＝=故答案为：，；(2)如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∴∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形．(3)如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴，∴，∴u＝，设D（x，t），∵四边形ABCD是对余四边形，可得BD2＝2CD2+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△ADH中，AD＝＝2，∴u＝（0＜t＜4），即u＝（0＜t＜4）【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．四、旋转模型例题4【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝，求AD的长．【答案】（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（3）【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，，可证，可得，由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得，，，可证，可得，由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长交于，交于，，，线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，，，故答案为：；（2）直线与直线所夹锐角角与旋转角互补，理由如下：如图2，延长，交于点，线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，，，，直线与直线所夹锐角角与旋转角互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到，连接，延长，交于点，旋转角，，，，，，，又，，是等边三角形，，在中，．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．练习题1．如图，等边中，分别交、于点、．（1）求证：是等边三角形；（2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点．①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；②若，，当，，三点共线时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由，可得到，，从而得到，即可求证；（2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解；（3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解．【详解】证明：（1）是等边三角形，∴，∵，∴，，，∴是等边三角形；（2）解：①的度数是定值，理由如下：是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，即的度数是定值，为60°；②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作，∵是等边三角形，，∴，在中，由勾股定理得：，在中，，；当，，三点共线，且在BC下方时.，综上所述，或8．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×49=．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.3．在ABC和CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点D在边AC上，点E在边BC上，如图1将CDE绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．（1）连接AD，BE．求证：AD＝BE，AD⊥BE；（2）当旋转至图2位置时，点A，D，E在一条直线上，连接BD，BE，若AD＝2，CD＝1，则BD=；（3）当α＝90°时，如图3，连接AD，BE，延长AD交BE于点F，连接CF，若DF＝1．EF＝．则CF＝