2023山西中考数学一轮优选习题第19讲直角三角形与勾股定理

第19讲直角三角形与勾股定理基础满分考场零失误1.(2023·湖南长沙,11,3分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(A)平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米2.(2023·温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()A.20B.24C.993.(2023·枣庄)下图是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA、PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是(A)A.2B.3C.4D.54.(2023·南京,5,2分)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(A)A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c5.(2023·吉林,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为.6.(2023·黔南州)如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为.7.(2023·台湾)嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径R1,R2,R3,其行经位置如图与表所示:路径编号图例行径位置第一条路径R1-A→C→D→B第二条路径R2…A→E→D→F→B第三条路径R3▂A→G→B已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断R1、R2、R3这三条路径中,最长与最短的路径分别为何?请写出你的答案,并说明理由.8.(2023·杭州,21,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数;(2)设BC=a,AC=b.①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由;②若AD=EC,求ab的值能力升级提分真功夫9.(2023·南充)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为(A)A.110.(2023·淄博)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(A)A.4B.6C.43D.811.(2023·东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(A)A.31+12.(2023·湖北黄冈,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=(A)A.2B.3C.4D.2313.(2023·南通)如图,△ABC中,AB=6cm,AC=42cm,BC=25cm,点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止,运动时间为ts,点Q是线段BP(1)若CP⊥AB,求t的值;(2)若△BCQ是直角三角形,求t的值;(3)设△CPQ的面积为S(cm2),求S(cm2)与t(s)的关系式,并写出t的取值范围.14.(2023·扬州)问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中的∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图1中tan∠CPN的值为;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值;思维拓展(3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.预测猜押把脉新中考15.(2023·改编预测)如图,已知∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC的边AB,BC,CA为一边向△ABC外作正方形ABDE,正方形BCMN,正方形CAFG,连接EF,GM,设△AEF,△CGM的面积分别为S1,S2,则下列结论正确的是(A)A.S1=S2B.S1<S2C.S1>S2D.S1≤S216.(2023·改编预测)已知Word文本中的图形,在图形的格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度,同一个图形随其放置方向的变化,所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化.如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时,它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表,现有△ABC,已知AB=AC,当它以底边BC水平放置时(如图④),它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表,那么当△ABC以腰AB水平放置时(如图⑤),它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是(A)图形图①图②图③图④图⑤绝对高度1.502.001.202.40?绝对宽度2.001.502.503.60?和2.40和3.00和2.88和3.0017.阅读下面的情景对话,然后解答问题:老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.小华:等边三角形一定是奇异三角形!小明:那直角三角形是否存在奇异三角形呢?(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是命题(填“真”或“假”);(2)在Rt△ABC中,两边长分别是a=52、c=10,这个三角形是不是“奇异三角形”?请说明理由.答案精解精析基础满分1.A2.B3.B4.D5.答案(-1,0)6.答案607.解析设每个小方格的边长为1,第一条路径的长度为12+32+12+1第二条路径的长度为12+12+12+32+1+第三条路径的长度为42+22+12∵25+10<210+2<2+10+5+1,∴最长路径为A→E→D→F→B,最短路径为A→G→B.8.解析(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°,∴∠B=62°,由题意知BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=59°,∴∠ACD=90°-∠BCD=31°.(2)①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下:由勾股定理得AB=AC2+∴AD=a2解方程x2+2ax-b2=0,得x=-2a±∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.②∵AD=AE,AD=EC,∴AE=EC=b2由勾股定理得a2+b2=12b+a2,能力升级9.B10.B11.C12.C13.解析(1)如图1中,作CH⊥AB于H.设BH=xcm,∵CH⊥AB,∴∠CHB=∠CHA=90°,∴AC2-AH2=BC2-BH2,∴(42)2-(6-x)2=(25)2-x2,解得x=2,∴当点P与H重合时,CP⊥AB,此时t=2.(2)如图2中,当点Q与H重合时,BP=2BQ=4cm,此时t=4.如图3中,当CP=CB=25cm时,CQ⊥PB,此时t=6+(42-25)=6+42-25.(3)S=t14.解析(1)2.(2)如图,取格点D,连接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM,易知△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠CDM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=22(3)如图,取格点M,连接AM、MN.∵PC∥MN,∴∠CPN=∠ANM,∵AM=MN,∠AMN=90°,∴∠ANM=∠MAN=45°,∴∠CPN=45°.预测猜押15.A16.D17.解析