平均数标准差和变异系数课件

上章内容回顾试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图）试验资料计数资料（非连续）质量性状资料（数量化处理）数量性状资料计量资料（连续变量）试验资料搜集常用的方法：调查和试验试验资料均具有集中性和离散性两种基本特征，平均数是反映集中性的特征数，变异数是反映离散型的特征数第三章平均数、标准差和变异系数平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质。标准差（standarddeviation）与变异系数（variationcoefficient）反映资料的离散性，即观测值分散变异的性质。第一节平均数一、平均数的意义和种类二、算术平均数的计算方法三、算术平均数的重要特性四、算术平均数的作用五、总体平均数算术平均数:一个数量资料中各个观察值的总和除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数(arithmeticmean)，记作。因其应用广泛，常简称平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观察值。012345678910平均数=5平均数=61234567141、算术平均数2、中位数中位数:将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个数（n为偶数），之后求平均即可。0123456789101214012345678910中位数=5中位数=5众数:资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。3、众数众数可能不存在可能有多个众数多用于属性数据01234567891011121314众数=9没有众数几何平均数:如有n个观察值，其相乘积开n次方，即为几何平均数(geometricmean)，用G代表。其计算公式如下：

4、几何平均数调和平均数:（harmonicmean）各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H。即

（4.6）5、调和平均数对于同一资料：算术平均数>几何平均数>调和平均数上述五种平均数，最常用的是算术平均数。设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数可通过下式计算：（4.1）简写：【例1】某植保站测得10只某类害虫的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（mg），求其平均数。由于Σx=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10得：即10只害虫的平均体重为528.5mg。（二）加权法（4.2）式中：xi-第i组的组中值；fi-第i组的次数；k-分组数第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi

在资料中所占比重大小的数量，因此将fi称为是xi

的“权”，加权法也由此而得名。对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：【例3】140行水稻产量（P38），用两种方法求其平均数，并比较计算结果。（1）直接法：（2）加权法：1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有关。

2、如果是n1个值的平均数,是n2个值的平均数，那么全部n1＋n2个值的算术平均数是（加权平均数）

三、算术平均数的重要特性

4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。（常数）或简写为：5、若A为任意常数，6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。注意：必须性状同质时，才有代表性。算术平均数是描述观测资料的重要特征数，它的作用主要有以下两点：1.指出数据资料的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平。2.可以作为样本或资料的代表数据与其他资料进行比较。四、算术平均数的作用

对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为：

（4.3）

式中，N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。五、总体平均数二、方差为了正确反映资料的变异度，较合理的方法是根据样本全部观察值来度量资料的变异度。这时要选定一个数值作为共同比较的标准。平均数既作为样本的代表值，则以平均数作为比较的标准较为合理，但同时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情况，为此这里给出一个各观察值偏离平均数的度量方法。为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，()，称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ()=0，因而不能用离均差之和Σ()来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值个数n求得平均绝对离差，即Σ|x–x|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。

我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即()2，再求离均差平方和，即，简称平方和，记为SS；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量表示资料的变异程度。统计量称为均方（meansquare,缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即

S2=（4.7）相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为：（4.8）标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为：同样，样本标准差是总体标准差的估计值。总体标准差用表示：

由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：三、标准差由于所以（4.9）式可改写为：（4.10）相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：（4.11）在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差σ。四、变异系数标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样本的标准差对均数的百分数，称为变异系数(coefficientofvariation)。变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、不同尺度下各样本变异程度的比较。

【例7】已知某甲品种猪平均体重为190kg，