清华自动控制原理课件 第5章

第5章频率特性法5.1频率特性的基本概念5.2幅相频率特性及其绘制5.3对数频率特性及其绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性5.6利用开环频率特性分析系统的性能控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。在工程实践中,往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。频率特性分析法（FrequencyResponse），又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：

①根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能,得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。

频率特性分析法的特点②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。

③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。

本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。5.1频率特性的基本概念5.1.1频率响应频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：示例：如图所示一阶RC网络，ui(t)与u0(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为

RC图5-1RC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。

在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即

ui(t)=Uisint时Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。输出的拉氏变换为：U0(s)=对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：输出由两项组成：可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅值与相位不同，输出滞后于输入。第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由电路本身的时间常数T决定。第二项是稳态响应分量，当t→∞时，瞬态分量衰减为0，此时电路的稳态输出为：

输出与输入相位差为

=-arctanTω输入信号为ui(t)=Uisint二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数有关。稳态输出与输入幅值比为实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r(t)=sint

时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为

css(t)=Asin(ωt+)，如图所示。线性定常系统sintAsin(ωt+)tr(t)css(t)图5-2线性系统及频率响应示意图5.1.2频率特性1、基本概念对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅值比A与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差仅是ω的函数，可以分别表示为A(ω)与(ω)。

若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。因此，频率特性可定义为：线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。

频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只和系统的结构与参数有关，是线性定常系统的固有特性。

A(ω)反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。

而(ω)反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（＞0º）还是滞后（＜0º）。

系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率ω是一个变量。对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRC图5-1RC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRC图5-1RC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2、频率特性的表示方法对于线性定常系统，当输入一个正弦信号r(t)=Rsinωt时，则系统的稳态输出必为

css(t)

=A(ω)Rsin(ωt+(ω))

由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，则输出输入之比为

可见，输入输出的复数比恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。若用一个复数G(jω)来表示，则有

G(jω)=∣G(jω)∣·ej∠G(jω)=A(ω)·ej()指数表示法

G(jω)=A(ω)∠(ω)幅角表示法

G(jω)就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G(jω)。向量的长度为A(ω)，向量与正实轴之间的夹角为(ω)，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即

G(jω)=R(ω)+jI(ω)R(ω)称为实频特性，I(ω)称为虚频特性。由复变函数理论可知：并且A(ω)与R(ω)为ω的偶函数，(ω)与I(ω)是ω的奇函数。以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。3、频率特性的实验求取方法

向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号r(t)=Rsinωt

在0→∞的范围内不断改变ω的取值，并测量与每一个ω值对应的系统的稳态输出css(t)=A(ω)Rsin(ωt+(ω))

测量并记录相应的输出、输入幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随ω的变化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性A(ω)与相频特性(ω)的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。5.1.3由传递函数求取频率特性（重要）实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性为描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。

系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。

输出信号的拉氏变换为对输出求拉氏反变换可得为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。设n阶系统的传递函数为输入信号为r(t)=Rsinωtcss(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系数Kc和K-c可由留数定理确定，可以求出css(t)=A(ω)

·R·sin[ωt+

(ω)]

A(ω)=|G(s)|s=jω

=|G(jω)|

(ω)

=∠G(j

ω)而输入信号为r(t)=Rsinωt因此，A(ω)为系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式。

(ω)为系统的输出与输入相位差，为系统的相频特性表达式。系统的频率特性为

G(jω)=G(s)|s=jω=

A(ω)·ej

由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G(s)将jω代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s=σ+jω。当σ=0时，s=jω。所以G(jω)就是σ=0时的G(s)

。即当传递函数的复变量s用jω代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。重要

因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。线性定常系统，传递函数为G(s)G(jω)=

G(s)|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅频特性，是相频特性对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRCRC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

例5.1：已知单位负反馈系统的开环传递函数为

当输入信号为r(t)=sin2t时，求闭环系统的稳态输出。解：系统的闭环传递函数与频率特性分别为

频率特性的物理意义1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。频率特性的数学意义频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。

微分方程（以t为变量）传递函数（以s为变量）频率特性（以ω为变量）

控制系统数学模型之间的转换关系以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。5.1.4常用频率特性曲线频率特性是稳态输出量与输入量的幅值比和相位差随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出幅值比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合。系统（或环节）的频率响应曲线的表示方法很多,其本质都是一样的,只是表示的形式不同而已。频率特性曲线通常采用以下三种表示形式：1.幅相频率特性曲线（奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映A(ω)与

(ω)随ω变化的规律。2.对数频率特性曲线，包括：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为对数坐标图或伯德图，坐标系为半对数坐标。伯德图反映L(ω)=20lgA(ω)与

(ω)随lgω变化的规律。3.对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。尼柯尔斯图反映L(ω)=20lgA(ω)随

(ω)的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。5.2幅相频率特性及其绘制

5.2.1幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合，取极点为直角坐标的原点，极坐标轴为直角坐标的实轴。由于系统的频率特性表达式为G(jω)=A(ω)·ej

对于某一特定频率ωi下的G(jωi)总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A(ωi)，与正实轴的夹角为(ωi)。由于A()和()是频率的函数，当ω在0→∞的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同ω下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示。G(j2)Re

(1)

(2)A(1)A(2)G(j1)极坐标图的表示方法

Im

在绘制奈氏图时，常把ω作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是ω的偶函数，而相频特性与虚频特性是ω的奇函数，即G(jω)与G(－jω)互为共轭。因此，假定ω可为负数，当ω在－∞→0的范围内连续变化时，相应的奈氏图曲线G(jω)必然与G(－jω)对称于实轴。ω取负数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，再求出系统幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，通过逐点计算描出奈氏曲线。具体步骤如下：1.用jω代替s，求出频率特性G(jω)2.求出幅频特性A(ω)与相频特性(ω)的表达式，也可求出实频特性与虚频特性，帮助判断G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范围内选取不同的ω，根据A(ω)与(ω)表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量G(jω)，将所有G(jω)的端点连接描绘出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。也可以用实验的方法求取。5.2.2典型环节的奈氏图

1、比例环节用j替换s，可求得比例环节的频率特性表达式为

G(j)=KImRe0K→0→比例环节的幅相频率特性传递函数为：G(s)=K幅频特性A(ω)=

|K|=K相频特性(ω)=0º比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所以当由0变到，G(j)始终为实轴上一点，说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0º，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。ImRe0K→0→2、积分环节积分环节的传递函数为积分环节的频率特性为幅频特性为A()=|1/|=1/

，与角频率ω成反比相频特性为()=-90º→0→0Re积分环节的幅相频率特性Im积分环节的幅相频率特性如图所示，在0＜＜的范围内，幅频特性与负虚轴重合。积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。→0→0ReIm3、微分环节理想微分环节的传递函数为

G(s)=s频率特性为

G(j)=j幅频特性为A()=||=，与成正比。相频特性为：

()=90º。理想微分环节的奈氏图如图所示，在0＜＜的范围内，其奈氏图与正虚轴重合。可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。4、惯性环节根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒≥0，而虚频特性恒≤0，由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。传递函数频率特性幅频特性相频特性当从0变到时，可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0º→－90º。

是一个位于第四象限的半圆，圆心为(1/2，0)，直径为1。若惯性环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2，0)，直径为K。5、一阶微分环节

可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率成正比。当从0变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点，见表G(s)=(s+1)()=arctan()由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。根据这些数据绘出幅相频率特性，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。6、二阶振荡环节可以判断出虚频特性恒≤0，故曲线必位于第三与第四象限。

以为参变量，计算不同频率时的幅值和相角，其中几个重要的特征点见表。

在极坐标上画出由0变到时的矢量端点的轨迹，便可得到振荡环节的幅相频率特性如图所示。1＞2振荡环节与负虚轴的交点频率：=1/T幅值：1/(2)由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→－180º；同时的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况

1.

＞0.707

幅频特性A()随的增大而单调减小，如图5-12中1所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当＞1时，振荡环节有两个相异负实数极点，若足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1/(2)≈0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，如图所示。2.0≤

≤0.707当增大时，幅频特性A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率r，所对应的向量长度为谐振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。谐振表明系统对频率r下的正弦信号的放大作用最强。谐振峰值为随↓，谐振峰值Mr↑，谐振频率r→无阻尼自然振荡频率n。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

由幅频特性A()对频率求导数，并令其等于零，可求得谐振角频率r和谐振峰值Mr，谐振角频率7、二阶微分环节可以判断出虚频特性恒≥0，故曲线必位于第一与第二象限。

以为参变量，计算不同频率时的幅值和相角，其中几个重要的特征点见表。

在极坐标上画出由0变到时的矢量端点的轨迹，便可得到振荡环节的幅相频率特性如图所示。8、延迟环节幅频特性为：A()=1相频特性为：()=-单位为弧度（rad）。或者()=G(s)=e-sG(j)=e-j

→时，()→-，即输出相位滞后输入为无穷大。当从0连续变化至时，奈氏曲线沿原点作半径为1的无穷次旋转，τ越大，转动速度越大。故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心，半径为1的圆。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。幅频特性为：A()=1相频特性为：()=-57.3°在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为当很小时，有

即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但会使相频特性的最大滞后为无穷大。如某系统传递函数是惯性环节与延迟环节相结合，传递函数为单位为度（°）可见随的增大，幅频特性A()单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性()从0°一直变化到负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转次，最后终止于原点，与实轴、虚轴分别有无数个交点。5.2.3开环奈氏图的绘制1.定义系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Ф(jω)与开环频率特性GK(jω)，分别对应于系统的闭环传递函数Ф(s)与开环传递函数GK(s)。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。对于由多个典型环节组合而成的系统（延迟环节除外），其频率特性应该满足下面的规律（重要）

系统的开环频率特性为控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性A()与相频特性()的表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环奈氏图。

2.开环奈氏图基本绘制规律当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用A()与()等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。（1）低频段的确定（→0）

GK(jω)的低频段表达式

根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为可见低频段的形状（幅值与相位）均与系统的型别v与开环传递系数K有关。1.0型系统，v=0：A(0)=K，

(0)=0º低频特性为实轴上的一点(K,0)。2.Ⅰ型系统，v=1：A(0)→∞，

(0)=-90º3.Ⅱ型系统，v=2：A(0)→∞，

(0)=

-180º

（2）高频段（→∞）不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。m为分子多项式的阶数，

n为分母多项式的阶数，且一般m＜n

故A()=0，高频段终止于坐标原点；而最终相位为()=-(n-m)90，由n-m确定特性以什么角度进入坐标原点。①(n-m)=1，()=-90，即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。②(n-m)=2，则()=-180，即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。③(n-m)=3，则()=-270，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。（3）奈氏图与实轴、虚轴的交点将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。1）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。2）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。（4）开环零点对曲线的影响1）如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在由0→过程中，特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。2）如果系统的开环传递函数有开环零点，则在由0→过程中，特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时，特性曲线出现凹部。

根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。

在０＜＜的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。3.绘制实例

[例5.2]某系统开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图当→0时，A(0)=K

，(0)

=0，低频特性为正实轴上的一点(K,0)。在→时，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270由系统的开环传递函数得频率特性0型系统

此系统无开环零点，因此在从0→过程中，特性的相位单调连续减小，从0º连续变化到-270，中间有-180角，故曲线与负实轴有交点。奈氏曲线应该是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。

[例5.3]某系统开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图

（1）此系统为Ⅰ型系统当→0时，A(0)→

，(0)

=-90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为频率特性实部≤0，故曲线只在第二、三象限。（2）→时，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。（3）此系统无开环零点，因此在从0→过程中，特性的相位单调连续减小，从0º连续变化到-270。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。（4）()有-180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定。曲线与负实轴交点的坐标为Im[G(j)]=I()=

=0

[例5.4]某系统开环传递函数如下，绘制其开环奈氏图此系统为Ⅱ型系统当→0时，A(0)→

，(0)

=-180在→时，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270由于没有开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段为连续变化的光滑曲线，幅值连续减小，最后沿正虚轴终止于原点。当→0时，A(0)→

，(0)

=-180在→时，A()=0，()=-270若该系统增加一个开环零点，开环频率特性表达式为此系统仍为Ⅱ型系统，当→0时，A(0)→，(0)=-180，即奈氏图的起点基本未变。在→时，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏图沿负实轴终止于原点。由于增加了开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段连续变化时，相位先滞后增加，达到一个滞后最大值后，相位滞后又开始减小（即相位增加），整条曲线出现了凹凸。当→0时，A(0)→，(0)=-180，即奈氏图的起点基本未变。在→时，A()=0，()=-180，奈氏图沿负实轴终止于原点。下图列出了常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图。

5.3对数频率特性及其绘制5.3.1对数频率特性曲线基本概念（重点）

对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。

1.伯德（Bode）图的构成

对数幅频特性图的横坐标是对

取以10为底的对数进行分度的。

标注角频率的真值，以方便读数。每变化十倍，横坐标1gω就增加一个单位长度，记为decade或简写dec，称之为“十倍频”或“十倍频程”。横坐标对于ω是不均匀的，但对lgω却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。

若横轴上有两点ω1与ω2，则该两点的距离不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2与20、10与100之间的距离均为一个单位长度，即一个十倍频程。0.1110100/(rad·s-1)确定Bode图坐标系23对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于lgω为自变量。纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L()=20lgA(ω)表示。对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o）,仍用

()表示。2．Bode图法的特点（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数［20LgA(ω)］后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

式中A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

在极坐标中绘制幅相频率特性，要花较多时间，而在绘制对数幅频特性时，有L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()

=L1()+L2()+…+Ln()

（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。5.3.2典型环节的对数坐标图

1.比例环节（K）

说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；

()=0º，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。2.积分环节(1/s)

402000.010.111020100.010.11频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。

表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。3.微分环节（s）

1微分环节的对数幅频特性是一条斜率+20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。

积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以轴为基准，互为镜像；同理，二者的相频特性互以轴为镜像。

可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。1402000.010.111020100.010.114.惯性环节（1）对数幅频特性

为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。1）低频段在T<<1（或<<1/T）的区段，可以近似地认为T0，从而有

故在频率很低时，对数幅频特性可以近似用零分贝线表示，这称为低频渐近线。2）高频段

在T>>1（或>>1/T）的区段，可以近似地认为

L()为因变量，lg为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线,斜率为-20dB/dec,称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为T

=1/T，T称为转折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。高频渐近线斜率为-20dB/dec,与低频渐近线的交点转折频率为T

=1/T。渐近特性和准确特性相比，存在误差：越靠近转折频率，误差越大，如在转折频率这一点，误差最大，精确值为如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。（2）对数相频特性

精确相频特性为:对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-45°这一点斜对称。可以清楚地看出在整个频率范围内，()呈滞后持续增加的趋势，极限为-90。

当惯性环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。

1）

低频段

在

<<1(或<<1/)的区段，对数幅频特性可以近似用零分贝线表示，为低频渐近线。5.一阶微分环节

2）高频段在>>1（或>>1/

）的区段，可以近似地认为高频渐近线是一条斜线，斜率为20dB/dec，当频率变化10倍频时，L()变化20dB。转折频率为T=1/τ。

可知，一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意到修正值的符号相反。如转折频率处T对应的精确值是L(T)=0+3=3dB。一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。

6．二阶振荡环节（1）对数幅频特性

1）低频段0≤≤1

T<<1（或<<1/T）时，L()20lg1=0dB

低频渐近线与0dB线重合。2）高频段

T>>1(或>>1/T)时，并考虑到（0≤≤1），有

L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB

高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线，称为高频渐近线。L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lg=0dBT=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。可见0.4或＞0.7时，渐近线需要加尖峰修正。随的减小，谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n。

0.10.150.20.250.30.40.50.60.70.81.0误差（dB）14.010.48.06.04.42.00-1.6-3.0-4.0-6.0谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

（2）相频特性

可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→-180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-90°这一点斜对称。

振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时的取值对曲线形状的影响较大。7．二阶微分环节二阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与二阶振荡环节的相应特性互以横轴为镜像。低频渐近线与0dB线重合，高频段渐近线斜率为+40dB/dec的斜线，转折频率为T=1/8．延迟（滞后）环节（e-s）

()是呈指数规律下降的曲线，随ω增加而滞后无限增加。系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Ф(jω)与开环频率特性GK(jω)，分别对应于系统的闭环传递函数Ф(s)与开环传递函数GK(s)。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。控制系统的开环频率特性为：由除延迟环节之外的典型环节组成5.3.3开环伯德图的绘制1.基本规律（1）由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，所以L()的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。顺序斜率叠加法在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。不必将各个典型环节的L()绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L()曲线,()曲线描点或叠加求取。（2）低频渐近线（及其延长线）的确定GK(jω)的低频段表达式为()=-v90°对数频率特性的低频渐近线表达式为可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关。斜率为-20vdB/dec

低频渐近线（及其延长线）上在=1时，有L(1)=20lgK（3）转折频率及转折后斜率变化量的确定低频段只与积分环节的个数v及开环传递系K有关，而其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使L()的斜率发生相应的变化。惯性环节转折频率1/T，斜率－20dB/dec；振荡环节转折频率1/T斜率－40dB/dec一阶微分环节转折频率1/斜率＋20dB/dec；二阶微分环节转折频率1/斜率+40dB/dec惯性环节转折频率1/T斜率－20dB/dec；振荡环节转折频率1/T斜率－40dB/dec一阶微分环节转折频率1/斜率＋20dB/dec；二阶微分环节转折频率1/斜率+40dB/dec（4）最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系当→时，由于n＞m，所以高频段的近似表达式为()=-（n-m）·90°对数频率特性的高频渐近线表达式为高频段为一条斜率为-20(n-m)dB/dec的斜线。说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与（n-m）有关。()=-(n-m)·90°

2．绘制步骤

利用规律，可以从低频到高频，将L()整条曲线一次画出，步骤如下：

1．开环传递函数写成标准的时间常数表达式，确定各典型环节的转折频率。

2．选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的10倍左右。确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。

3．确定低频渐近线（由积分环节个数v与开环传递系数K决定），找到横坐标为ω=1、纵坐标为20lgK的点，过该点作斜率为-20vdB/dec的斜线。

4.由低频向高频延伸，每到一个转折频率，斜率根据具体环节作相应的改变，最终斜率为-20（n-m）dB/dec。

5．如有必要，可对分段直线进行修正，以得到精确的对数幅频特性，其方法与典型环节的修正方法相同。通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。系统开环对数幅频特性L()通过0分贝线，即

L(c)=0或A(c)=1时的频率c称为幅值穿越频率。幅值穿越频率c

是分析与设计时的重要参数。

6．在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线（可用模型板画），将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出()的表达式，逐点描绘。低频时有()=-v(90)，最终相位为()=-(n-m)90。

7.若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。[例5.5]设系统开环传递函数为

试绘制开环系统对数频率特性曲线。解

(1)先将开环传递函数化成时间常数标准式：0.1110100204060[-20][-40][-60]确定Bode图坐标系281250[-20][-40][-20]（2）将各环节的转角频率由低到高依次标于ω轴上，如下图所示。（3）绘制低频渐近线。由于是I型系统，ω=1处的幅值为20lg10=20(dB)。以此点为基准绘制系统低频部分渐近线，是一条斜率为-20dB/dec

的直线。（4）由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的基础上，每遇到一个环节的转折频率，根据该环节的性质作一次斜率变化，直至最后一个环节完成为止。（5）必要时对渐近线进行修正，画出精确的对数幅频特性。

分析对数幅频特性可见，系统L()由3段折线构成，而且在=10与

=100之间穿过0dB线。

曲线穿过0dB线时所对应的频率称为幅值穿越频率。幅值穿越频率c可以通过坐标系直接读出，也可根据简单的计算求出。1.由低频渐近线可求得L(1)=L(1)=20lgK=40（dB）

2.由于1点与2点位于同一条斜线，斜率为-40dB/dec，则L(2)可如下求得L(2)=28（dB）

3.同理，c可如下求取c=50rad/s相频特性根据开环系统对数相频特性的表达式进行计算。

对于相频特性曲线，主要了解其大致趋向。幅值穿越频率c处的相位十分重要，本例中=c=50时的相位为

(c)=-91.1（°）()

=arctan0.5ω-arctanω-90（°）

若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。5.3.4最小相位系统和非最小相位系统

“最小相位”这一概念来源于网络理论。它是指具有相同幅频特性的一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。1.基本概念控制系统的开环传递函数一般是关于s的有理真分式，系统的性质是由开环传递函数的零点与极点的性质决定的。根据零极点的不同，一般分为以下两种系统（1）如果系统传递函数在右半s平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统（由除延迟环节之外的典型环节组成），如（2）系统传递函数在右半s平面上有一个（或多个）零点或极点，称为非最小相位系统；

显然G1(s)属于最小相位系统。这两个系统幅值相同，具有同一个幅频特性，但它们却有着不同的相频特性。下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。两者的对数幅频特性是相同的，而相频特性则有

1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT

从传递函数看，这二者均有相同的储能元件数，但是由于G2(s)的零点在右半s平面，它产生了附加的相位滞后位移，因而

G1(s)具有较小的相位变化范围（0°，-90°），为最小相位环节；而G2(s)为非最小相位环节，相位变化范围较大（0°，-180°）。

从伯德图上看，最小相位系统为具有相同幅频特性的许多系统中其相移范围为最小可能值的系统。2、性质☆ （1）最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性是一一对应的。也就是说，对于最小相位系统，一条对数幅频特性只有一条对数相频特性与之对应，知道其对数幅频特性，也就知道其对数相频特性。因此，利用Bode图对最小相位系统进行分析时，往往只分析其对数幅频特性L()。（2）最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。由前面的分析可知：1）对数频率特性的低频渐近线为斜率为-20vdB/dec的斜线。()=-90v°，低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关。2）在→时，由于n＞m，所以高频渐近线为斜率为-20（n-m）dB/dec的斜线。()=-90（n-m）°，高频段的对数幅频特性与相频特性均与（n-m）有关。

1.在低频区的渐近线斜率为-20dB/dec，相位起点约为-90。

2.在频率1=1附近，L()斜率减小到-40dB/dec，则相位呈减小的趋势；而在频率2=2附近，微分环节的作用使L()斜率为-20dB/dec,()相位减小的趋势比较平缓。

3.最终L()斜率为-20dB/dec；而()相位最大滞后为-90。

可以推出如下结论：若系统只包含除延迟环节之外的典型环节，并且无局部正反馈回路时，开环传递函数的分子、分母必无正实根，该系统必定为最小相位系统。原因为：

由于延迟环节按幂级数分解之后，其各项系数有正负，因而必定有具有正实部的零点，所以延迟环节属于非最小相位系统。同样，若系统有局部正反馈回路，则必有具有正实部的开环极点。小结：最小相位系统的性质给出了一个重要的结论：

对于最小相位系统，可以通过实验的方法测量并绘制出开环对数幅频特性曲线L()，就可以唯一确定此系统，推出相应的()，写出其开环传递函数。5.3.5由实测伯德图求传递函数☆由实测开环伯德图求开环传递函数是由已知的开环传递函数求开环伯德图的逆过程，方法有共同之处。步骤如下：1.在需要的频率范围内，给被测系统输入不同频率的正弦信号，测量相应输出的稳态幅值与相位，作出对数幅频特性与相频特性曲线；2.若幅频特性曲线与相频特性曲线的变化趋势一致，则该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数；3.根据对数幅频特性曲线，由0、±20、±40dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线；4.由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

低频渐近线的表达式为L()=20lgK-20vlg。首先由低频段的斜率确定v

由低频段上的一个具体点的坐标确定K

如可代L(1)=20lgK；5.由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。若在转折频率处，斜率增加20dB/dec，则必有一阶微分环节G(s)=(s+1)；二阶系统的阻尼比可由谐振峰值的大小查表求取若在转折频率处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节如若在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节若在转折频率处，斜率增加40dB/dec，则有二阶微分环节[例5.6]某最小相位系统开环对数幅频特性曲线的渐近线如图所示，求此系统的开环传递函数。

低频渐近线的表达式L()=20lgK-20lg，可以求出K=30。

[-20][-40][-20][-40][-60]0.255100.025小结：☆1.低频段确定K

、v

斜率确定积分、微分环节个数起始段（或延长线）在ω=1处高度为20lgK，

L(ω)=20lgK-20v

lgωa.对0型v=0{起始斜率[0]}b.对Ⅰ型v=1{起始斜率[-20]}c.对Ⅱ型v=2（起始斜率[-40]）2．转折频率对应斜率变化确定惯性，振荡，一阶微分，二阶微分。

5.4奈奎斯特稳定判据

系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，即位于s左半平面。在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳斯－胡尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时，也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）；3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。

Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch（柯西）幅角定理。5.4.1幅角原理

5.4.2奈奎斯特稳定判据

1）0型系统系统的开环右极点数为P，在G(s)H(s)平面上，当从-∞变化到+∞时，系统开环频率特性曲线G(j)H(j)及其镜像，顺时针包围(-1，j0)点的次数为N圈(N>0)

，若逆时针包围则

N＜0，封闭曲线绕(-1，j0)点旋转360°即包围一次，则系统的闭环右极点的个数为Z，且满足：

Z=N+P

当Z=0时，系统稳定；Z>0时，系统不稳定。说明:系统开环稳定，闭环不一定稳定；开环不稳定，闭环不一定不稳定。2）Ⅰ型系统或者Ⅱ型系统

I型系统：从正虚轴方向无限远处开始，顺时针绕向负虚轴，以原点为圆心，半径为无限大的右半圆弧。需在G(s)H(s)平面上补画右半圆弧将奈氏曲线及其镜像连成封闭曲线。

II型系统：从负实轴方向无限远处开始，顺时针绕一周终止于负实轴方向，以原点为圆心，半径为无限大的圆弧。需在G(s)H(s)平面上补画整圆将奈氏曲线及其镜像连成封闭曲线。当系统的开环奈氏图作如上处理后，稳定判据与0型系统完全相同。若系统为最小相位系统，即开环系统稳定时（P=0），系统稳定的充分必要条件为：当从-∞变化到+∞时，在GH平面上的系统开环频率特性曲线及其镜像，不包围(-1，j0)点，即N=0，则Z=N+P=0，闭环系统稳定；否则不稳定。当系统开环频率特性曲线及其镜像通过(-1，j0)点时，表明在s平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。5.4.3简化奈奎斯特稳定判据1.由0变到+

时的开环幅相频率特性GK(j)

因为（0，+∞）与（-∞，0）的曲线完全关于实轴对称，则0变到+

时的开环幅相频率特性GK(j)顺时针包围(-1，j0)点的圈数N´满足

N´=N/2由0变到+

时的开环幅相频率特性GK(j)顺时针包围(-1，j0)点的圈数为N´

，

已知系统开环右极点数为P

，则系统闭环右极点个数为

Z

（不包括虚轴上的极点）：

Z=P+2N´Z=P+2N´=0+2×0=0一阶系统稳定Z=P+2N´=0二阶系统稳定Z=P+2N´系统稳定性与K值有关2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算由0变到+

时开环频率特性曲线要形成对(-1，j0)点的一次包围，势必穿越（-∞，-1）区间一次。开环频率特性曲线逆时针穿越（-∞，-1）区间时，随ω增加，频率特性的相角值增大，称为一次正穿越N’+

。反之，开环频率特性曲线顺时针穿越（-∞，-1）区间时，随ω增加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N’-

。

频率特性曲线包围(-1，j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴（-∞，-1）区间的正、负穿越来表达。

由0变到+

时的开环幅相频率特性GK(j)对(-1，j0)点的总包围次数为

N´=（N’-

-

N’+）

利用正、负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为：

Z=P+2（N’-

-

N’+）注意奈氏曲线在(-1，j0)点以右负实轴上相位有变化不算穿越。3.半次穿越奈氏