中档解答题特训之-专题篇（2）专题二 解三角形

中档解答题特训之——专题篇专题二解三角形类型一：三角形中线问题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．类型二：面积最值研究2．四边形ABCD如图所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2．（1）求cosA﹣cosC的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值．类型三：几何应用3．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．类型四：与平面向量交汇4．已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（+x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．专题二解三角形答案与解析1．（2017•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．【点评】该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键．2．（2017•广西一模）四边形ABCD如图所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2．（1）求cosA﹣cosC的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值．【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】（1）利用余弦定理，求出BD，即可求cosA﹣cosC的值；（2）求出S12+S22的表达式，﹣1＜cosC＜﹣1，即可求S12+S22的最大值．【解答】解：（1）在△ABD中，DB=，在△BCD中，DB=，所以cosA﹣cosC=1．（2）依题意S12=12﹣12cos2A，S22=4﹣4cos2所以S12+S22=12﹣12cos2A+4﹣4cos2C=﹣8cos2C﹣8cosC+12=﹣8（cosC+）2因为2，所以﹣8cosC∈（16﹣8，16）．解得﹣1＜cosC＜﹣1，所以S12+S22≤14，当cosC=﹣时取等号，即S12+S22的最大值为14．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．3．（2017•成都模拟）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin（1200+∠BEC）=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题4．（2017•南开区二模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（+x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【考点】HP：正弦定理；9R：平面向量数量积的运算；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1求出sin（+）的值，即可确定出cos（+x）的值；（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosB的值，确定出B的度数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（A）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=•=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+=1，即sin（+）=，∴cos（x+）=1﹣2sin2（+）=；（Ⅱ）∵△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，∵B为三角形内角，∴B=，∵0＜A＜，