宜宾市第四中学校2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题含解析2020年春四川省宜宾市第四中学高三第一学月考试文科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则的子集个数为（）A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】先由题意求出,然后再求子集个数.【详解】由题意可得：,有两个元素，则其子集个数有个.故选：A。【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2。为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于(）A。第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化简复数z,根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限。【详解】1i，在复平面内的对应点位（1，1），故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为1i,是解题的关键．3。已知f（x）=,则f[f（3）]=（）A。1 B.2 C。3 D.5【答案】A【解析】由题设可得，，应选答案A．4。下列函数中，任取函数定义域内,满足，且在定义域内单调递减的函数是（）A。 B。C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合对数函数的单调性,即可容易判断。【详解】对函数，其定义域为，满足，又因为，故在定义域内是单调减函数.故选：B。【点睛】本题考查对数的运算性质，以及对数函数的单调性,属基础题。5。秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入的值分别为。则输出的值为(）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】执行程序框图：输入，是，是，;,是，;，是，；，否，输出。故选D.6.函数的图象大致形状为(）A。 B.C. D。【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性,在区间上的函数值符号进行排除，可得出函数的图象.【详解】函数的定义域为,关于原点对称，且，该函数为奇函数，排除C、D选项,当时，，此时，，排除A选项,故选B。【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7。已知平面向量的夹角为，且,则（）A。64 B。36 C.8 D.6【答案】D【解析】【分析】根据向量运算的公式，直接计算出的值。【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.8。双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A.2sin40° B。2cos40° C. D。【答案】D【解析】分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率．【详解】由已知可得，，故选D．【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆,有，防止记混．9。函数的一条对称轴是（）A. B.C. D。【答案】A【解析】【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数解析式,再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项。【详解】依题意，，由解得为函数的对称轴,令求得函数的一条对称轴为。故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.10.若,则（）A。 B.C。 D.【答案】B【解析】【分析】令，可得,,,进而得到，,,画出,，的图象，利用图象比较大小即可.【详解】令,则，，，,，且分别画出，,的图象可得，,即故选B。【点睛】本题考查指对互化,考查指数函数图象,考查利用图象比较值的大小。11.双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上,为坐标原点，若，则的外接圆方程是（）A。 B。C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程和右焦点的坐标，易知,再由可知是以为斜边的等腰直角三角形,可得知的外接圆的一条直径为，由此可得出的外接圆方程.【详解】易知双曲线是等轴双曲线，其右焦点为，渐近线方程为。当点在渐近线上时，，又，则是以为斜边的等腰直角三角形，所以,的外接圆的一条直径为，其圆心为线段的中点，半径为，因此，的外接圆方程为，即，故选A.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解,要充分分析三角形的形状,确定三角形外接圆的圆心和半径，即可得出三角形的外接圆方程，也可以设三角形的外接圆为一般方程，将三角形的三个顶点坐标代入圆的方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.12。若，，，则的最大值为（)A. B. C. D。【答案】C【解析】【分析】由变形，代入式子得到，取，带入化简利用均值不等式得到答案.【详解】，设原式当即时有最大值为故答案选C【点睛】本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答案,意在考查学生对于不等式知识的灵活运用。二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13。某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩(满分140分）的茎叶图如下,其中甲班学生成绩中位数为81,乙班学生成绩的平均数为86，则______。【答案】5【解析】【分析】由中位数和平均数的定义可得x,y的值，计算可得结果．【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81,得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+(0+2+y+1+3+6)＝598+y，乙班学生的平均分是86,且总分为86×7＝602，所以y＝4,∴x+y=5．故答案为5．【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．14.已知向量=（sin2α，1)，=（cosα,1),若∥，,则______．【答案】【解析】【分析】先根据向量平行坐标关系得sin2αcosα=0,再根据二倍角正弦公式化简得sinα=，解得结果。【详解】向量=（sin2α，1）,=（cosα，1)，若∥，则sin2αcosα=0,即2sinαcosα=cosα；又,∴cosα≠0,∴sinα=,∴．故答案为．【点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题。15.已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若，则数列的前项和为______．【答案】【解析】【分析】根据条件先计算出，，然后得到，再利用裂项求和法得到答案。【详解】公比为整数的等比数列的前项和为，解得或(舍去），前100项和为故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n项和,综合性强，意在考查学生对于数列的方法的灵活运用。16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】分析：设｜F1F2|=2c，｜AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB｜=|AF1｜=m，|BF1｜=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理,可得a，c的方程，求得，开方得答案．详解：如图，设｜F1F2|=2c，｜AF1｜=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB｜=｜AF1|=m，|BF1｜=m,由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a,即有4a=2m+m,即m=2(2﹣）a，则|AF2｜=2a﹣m=(2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1｜2+｜AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故答案为：．点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c,代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式)，解方程（不等式)即可得e(e的取值范围）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准：(单位:吨)，用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况,通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1)求频率分布直方图中的值；（2）若该市政府看望使85％的居民每月的用水量不超过标准(吨），估计的值，并说明理由．【答案】（1）0。30;(2)估计月用水量标准为2。9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准【解析】【分析】（1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为1求即可（2）先大体估计一下所在的区间，再根据区间的频率之和为0.85，求解的值详解】(1）由直方图，可得，解得。（2）因为前6组频率之和为而前5组的频率之和为所以。由解得。因此，估计月用水量标准为2.9吨,85%的居民每月的用水量不超过标准.【点睛】本题考察了频率分布直方图中各个基本量的计算关系,需熟记的是，频率分布直方图中矩形面积之和为1；在横坐标上需找具体某一点计算符合条件概率值的方法一般为：先通过估算确定具体所在区间，再根据矩形面积为概率值的特点，列出公式进行求解18.的内角，,的对边分别为,，，已知，，.(1）求；（2)求中的最长边.【答案】（1）（2)最长边为【解析】【分析】（1）根据tanA和tanB的值计算出tanC.（2）由（1)可得C为钝角，c边最长,进而根据正弦定理求得c．【详解】（1）因为。（2）由（1)知为钝角,所以为最大角，因为，所以，又，所以.由正弦定理得：，所以为最大边.【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．19。如图，在三棱柱中，，分别是，中点。（Ⅰ)证明：平面;（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，側面都是正方形，求五面体的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由条件证明为平行四边形，故得，然后再由线面平行的判定定理可得结论成立．（Ⅱ）方法一:取的中点为，连接，然后证明为四棱锥的高，于是可得所求体积．方法二：取的中点，连接，根据条件可证得是四棱锥的高，且,然后根据求解．【详解】（Ⅰ）证明：设的中点为，连接,.∵,分别为，的中点，∴且。∵为的中点，∴且。∴且，∴为平行四边形，∴。∵平面，平面，∴平面。（Ⅱ）解法一:取的中点为，连接，∵为等边三角形,∴。∵侧面是正方形，∴,。又平面,且,∴平面。∵平面，∴,又,∴平面,即为四棱锥的高。故所求体积。(Ⅱ）解法二：取的中点，连接,∵为等边三角形，∴。∵侧面都是正方形，∴，.∵平面且,∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∴是四棱锥的高，且.故所求体积。【点睛】求解几何体的体积时首先要分清几何体的类型，对于规则的几何体可根据体积公式直接求出底面面积及该底面上的高，然后可得体积．对于不规则的几何体一般利用分割、补形的方法转化为规则的几何体的体积求解，此类问题考查计算和转化能力,属于中档题．20.已知椭圆过点，直线与椭圆相交于两点（异于点)。当直线经过原点时,直线斜率之积为.（1)求椭圆的方程;(2）若直线斜率之积为，求的最小值.【答案】（1）.（2).【解析】试题分析：(1)设出直线方程，利用直线的斜率公式、点在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、直线的斜率公式和弦长公式进行求解.试题解析：设直线，(1)当经过原点时,,此时，又，椭圆方程为.(2）由,,,由,,,，,,恒过定点，===，当时,的最小值为3,当直线的斜率为零时，不合题意,综上，.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21。已知。（1）求的单调区间;(2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立,试求的取值范围。【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；(2)详见解析；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.(3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.试题解析:（1），当时，。解得．当时，解得．所以单调减区间为，单调增区间为．（2）设，当时，由题意,当时，恒成立．，∴当时,恒成立，单调递减．又，∴当时,恒成立，即．∴对于，恒成立．(3）因为．由（2）知，当时，恒成立,即对于，,不存在满足条件的；当时，对于，,此时．∴，即恒成立，不存在满足条件的；当时,令，可知与符号相同，当时，，,单调递减．∴当时，,即恒成立．综上，取值范围为．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题,一个是存在性问题,要注意取值是最大值还是最小值.（二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果