17函数的周期性与类周期问题

函数的周期性与类周期问题一、周期性的定义以及典型周期形式1.周期性的定义：存在一个非零常数T,对任意的x，恒有f(%+T)=f(x)成立，则函数f(x)为周期函数，T是函数的一个周期，则kT也是周期，最小正周期：若T是一个最小的正数，则T是函数的最小正周期。周期的关系式体现了函数的平移思想，可以从平移角度去理解。由于是平移关系的周期函数的关系中变量%的系数为同号关系。2.几种常见的函数周期形式：(默认〃>0)(1)f(x-a)=f(x)，周期为T=a(2)f(x+a)=f(x-a)，周期为T=2a(3)f(x+a)=-f(x)，周期为T=2a(4)f(x+a)=—1-，或f(x+a)f(x)=c(c丰0)，周期为T=2af(x)(5)若f(x)=f(x+a)-f(x+2a)，则函数的周期T=典型例题.函数f(x)对任意x满足条件f(x+2)=-f(x)，若f(1)=-5，则f(f(5))等于()TOC\o"1-5"\h\z1 1A.5B.-5C.5D.-5.函数f(x)对任意x满足条件f(x)f(x+2)=13，若f(1)=2，则f(99)等于()A.13 B.2C.13 D.22 133.f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=与2，若f(2)=1，则f(2009)= +f(x).函数f(x)对任意x满足条件f(x+2)=f(x+1)-f(x)，若f(1)=lg3-lg2，f(2)=lg3+lg5则f(2010)等于()A.1 B.-2C.lg3-lg2D.-1.(2009山东)等于在R上的函数f(x)={f*，--f：_02),x>0，则f(2009)等于()

A.-1 B.0 C.1D.2变式：若求A.-1 B.0 C.1D.2变式：若求f(2012)呢？(一 1 ° 6.(2010重庆)已知函数f(x)满足4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)且f(1)="则f(2010)=—二、对称性，奇偶性，周期性的几个关系 ：.对称性的两种形式：(1)若函数f(x)关于x=a对称，则满足f(a+x)=f(a-x)，等价形式：f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)，(2)若函数f(x)关于(a,0)对称，则满足f(a+x)=-f(a-x)，等价形式：f(x)=-f(2a-x)或f(-x)=-f(2a+x)，或f(x)+f(2a-x)=0推广：函数f(x)关于(a,b)对称，则f(x)+f(2a-x)=2b。.对称性与周期性的关系：知识点：(1)若f(x)关于x=a和x=b都对称，(设a>b)，函数是周期函数，T=2(a-b)，(2)若f(x)关于点(a,0)和点(b,0)都对称，(设a>b)，函数是周期函数，T=2(a-b)，(3)若f(x)关于点(a,0)和直线x=b都对称，(设a>b)，函数是周期函数，T=4(a-b).奇偶性，对称性与周期的关系知识点：(1)奇函数f(x)关于x=a对称，则周期T=(2)偶函数f(x)关于x=a对称，则周期T=(3)奇函数f(x)关于点(a,0)对称，则周期T=(4)偶函数f(x)关于点(a,0)对称，则周期T=典型例题：例1(2009全国)f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数.(2018全国)已知函数f(x)是定义域为(-8,+8)上的奇函数，满足f(1-x)=f(x+1)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)++f(50)=()A.-50 B.0 C.2 D.50一 一”、， ”八 ”一、 …一、八 ， “、,1、，.若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(X+1)，且在xG［0,1］时f(x)=x2，则关于x的方程f(x)=(—)x在［0,130-］上根的个数是().A.1B.2C.3D.4解:因为f(x-1)=f(x+1)得f(x+2)=f(x)，即函数的周期T=2,画出x£［0,1］上的图像，然后将它关于y轴对称，这样就得到了f(x)在［-1,1］上的图像.1结合函数的周期性作出函数f(x)和y=(―)x的图象，由图象知有3个交点。练习1.函数f(x)是定义域为(-8，+8)上的函数，满足f(10+x)=f(10-x),且f(20+x)=-f(20-x)，则f(x)()A.周期为20的奇函数 B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数 D.周期为40的偶函数1.函数f(x)是定义域为R上的奇函数，且y=f(x+-)为偶函数，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=()A.4B.3C.0D.2三、类周期函数类周期函数的定义：若f(x)满足f(x)=kf(x+2)或f(x)=f(x+2)+k或f(x)=kf(2x)这样的形式，我们称之为类周期函数，将2换成m，得类周期的一般形式。另外一种形式为f(x+2)=kf(x)或f(2x)=kf(x)［结论总结：(1)若f(x)满足f(x)=f(x+2)+k，则只需在向右平移(每次平移2个单位)的过程中，纵坐标向下平移k个单位(k>0)或向上平移|k|个单位(k<0),在向左平移(每次平移2个单位)的过程中，纵坐标向上平移k个单位(k>0)或向下平移k个单位(k<0).1⑵若f(x)满足f(x)=kf(2x)，则只需横坐标每次缩短为原来的2的过程中，纵坐标变为原来的k倍。1在横坐标每次伸长2倍的过程中，纵坐标变为原来的k.[注]如果不能熟练应用类周期来作图的，为了保险起见，可以取一些特殊值来验证，确保作图的正确性。例1. (2019罗庄高一期中)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当xe(0,1]时，f(X)=x(x-1)，当xe(2,3]时，函数f(X)的值域是()A.[-4,0]B.[-2,0] C.[-1,0] D.(-8，0]例2.(2011四川改编)已知定义在[0,+8)上的函数f(x)满足f(x)=3f(x+2)当xe[0,2)时，f(x)=-x2+2x，设在[2n-2,2n)上的最大值为an，(neN*)，则a「.(2019全国)设函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且当xe(0,1]时，f(x)=x(x-1)，若对任意,一■.― 8 _ .xe(-8，m]，都有f(x)>-则实数m的取值范围是()9，9】8】A.(-8，—]B.(-8，,] C.(-8,—] D.(-8，—]4 3 2 3.(2019汕头一模)设函数f(x)是定义在上的(-8，0)U(0,+8)偶函数且当x>0时，，「2ix-1i-1,0<x<21〜 °、 、o,则函数对任意g(x)=2f(x)-1的零点个数()—f(x-2),x>22A.2 B.44 C.6 D.85.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+兀)=2f(X)，当xe[0，n)时，f(x)=sinx.若存在x°£(-8,m]，使得f(xj>4<3，则m的取值范围为 练习1.设函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x回R,都有f(x+1)>f(x-1)+2