导学案：倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率倾斜角与斜率问题导学一、求直线的倾斜角活动与探究1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α迁移与应用1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是()A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°≤α＜180°2．如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为__________．3．如果直线l1与l2关于x轴对称，且与x轴相交，它们的倾斜角分别为α1，α2，则α1与α2的关系是__________．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类．二、求直线的斜率活动与探究2已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq\r(3)＋1)．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．迁移与应用1．已知直线l的倾斜角为150°，则直线l的斜率为()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)2．过点(0,1)与(2,3)的直线的斜率为__________，倾斜角为__________．3．若过点(a，－2)和(4，a)的直线斜率不存在，则a＝__________．4．已知点A(－m,5)，B(1,3m)，且直线AB的倾斜角为135°，则实数m＝__________．(1)当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解．(2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法，当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．三、斜率公式的应用活动与探究3(1)已知：A(2,2)，B(4,0)，C(0,4)，求证：A，B，C三点共线；(2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，m)在同一条直线上，求m的值．迁移与应用1．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a，b的值是()A．a＝4，b＝0B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3D．a＝－4，b＝32．如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．因为斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度，所以，若有两点与同一点连线的斜率相等，则这三点共线；反之，若三点共线，则其中一点与另两点连线的斜率(若斜率存在)相等．所以，可利用斜率研究三点共线问题．当堂检测1．如图，直线l的倾斜角为()A．60°B．120°C．30°D．150°2．已知直线的斜率为－eq\r(3)，则它的倾斜角为()A．60°B．120°C．60°或120°D．150°3．若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为()A．0°B．30°C．60°D．90°4．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为__________．5．已知点A(1,2)，点P在x轴上，且直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)正向向上方向倾斜角α＝0°0°≤α＜180°(2)倾斜角α(3)一个定点倾斜角预习交流1(1)提示：平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．(2)提示：有无数条，这无数条直线互相平行．2．(1)正切值k＝tanα没有斜率倾斜程度(2)k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x2≠x1)预习交流2(1)提示：图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)k＝0k＞0斜率不存在k＜0(2)提示：无关．直线的斜率只与倾斜角的大小有关．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1D解析：如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．迁移与应用1．C2．120°3．α1＋α2＝180°活动与探究2：思路分析：(1)利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角；(2)结合图形，根据直线CD斜率的变化情况，确定出其范围．解：(1)由斜率公式得kAB＝eq\f(1－1,1－(－1))＝0，kBC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq\r(3)，kAC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－(－1))＝eq\f(\r(3),3)．在区间[0°，180°)范围内，∵tan0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°．∵tan60°＝eq\r(3)，∴直线BC的倾斜角为60°．∵tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴直线AC的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))．迁移与应用1．C2．145°3．44．1活动与探究3思路分析：若直线AB，AC的斜率相等且共点A，则可得A，B，C三点共线；反之，由A，B，C三点共线可得AB与AC的斜率相等，可求m．解：(1)直线AB的斜率kAB＝eq\f(0－2,4－2)＝－1，直线AC的斜率kAC＝eq\f(4－2,0－2)＝－1，∴kAB＝kAC．∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一直线．故A，B，C三点共线．(2)由直线上两点的斜率公式，得kAB＝eq\f(3＋3,4－2)＝3，kAC＝eq\f(m＋3,3)，由kAB＝kAC，得3＝eq\f(m＋3,3)，即m＝6．迁移与应