二阶系统分析

3.3二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-常见二阶系统结构图如图3-6所示其中K,T为环节参数。系统闭环传递函数为KTs2+s+K化成标准形式①2中(s)=(首1型)s2+2&①s+32nn中(s)=1T2s2①2中(s)=(首1型)s2+2&①s+32nn中(s)=1T2s2+2T&s+1（尾1型）(3-5)(3-6)-_■>=■区一・+))图*5常见二阶系统始构图式中,3n“1工2\KT]&、3n分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶二阶系统闭环特征方程为D（s）=s2+2&3s+32=0其特征特征根为人=一&3±3（&2一1若系统阻尼比&取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。表3-3二阶系统（按阻尼比&）分类表分类特征根特征根分布模态&>1X=一&3±3&2-1jl*——**-尸e雄过阻尼1,2nnaanA2Ale勺

g=1临界阻尼力1,2=—°ne—°ntte-°nt0<g<1人=-go±j°nJ1—g2Amj”e-g°ntsinJ1—g2°t欠阻尼X2M0e-g°ntcosJ1—g2°tng=0力=±j°sin°t零阻尼1,2nBIcos°t数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是人1，人2，…，七且无重根，则把函数e如，e勺，•••，e勺称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。如果特征根中有多重根人，则模态是具有te、t2e\，-形式的函数。如果特征根中有共轭复根人=b±j①，则其共轭复模态e（。+jo）t与e（。-州）t可写成实函数模态easinot与eacos®t。每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。3.3.2过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为-志2-1°n(T1>T2设过阻尼二阶系统的极点为-志2-1°n(T1>T2)C(s)=中(s)R(s)=(s+1T)(s+1T)s进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应h(t)=1+eth(t)=1+et2T12—1T1T11—1T2（3-7）图3-7过阻尼二阶系统的调节时间特性过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。根据式（3-7）,令TJT2取不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间t/T，如图3-7所示。图中&为参变量，由s2+2物s+s2=(s+1/T)(s+1T)图3-7过阻尼二阶系统的调节时间特性当TT（或G很大时，特征根人2=-1T2比比1=T'T1远离虚轴，模态。皿很快衰减为零，系统调节时间主要由人］=一1〃1对应的模态e勺决定。此时可将过阻尼二阶系统近似看作由人1确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图3-7曲线体现了这一规律性。»图3T的绘制程序:Tb二[];Ts二口;t二0:0.01:50;T2二10;fori=1:length(T2)T1二T2(i):0.l*T2(i):20+T2(i);forj=1：length(Tl)Tb二[TbTl(j)/T2(i)];num=[l/Tl(j)*TW(i)Lden=[l(lAl(j)+lA2(i))1/(T1(j)*T2(i))];y二step(nuiDjden^t);fork二length(y)：-1：1;if(abs(y(k)-l))>=0.05Ts二[Ts(k*0.Ol)Al(j)];break;endendendendab二plot(TbjTsj'b-');set(ab^'LineWidth\1.5);grid;16xlabel('T1/T2'),ylabel('Ts/Tl'),过阻尼二阶系统的调节时间特性')；例3-3某系统闭环传递函数中（s）=KK，计算系统的动态性能指标。1616左”、1616o2解0(S)===ns2+10s+16(s+2)(s+8)(s+1T)(s+1T)T=1=0.5i21T2=8=0.125TJT2=0.5.0.125=4查图3-7可得T=3.3，计算得1t=3.3T=3.30.=5k.65图3-8给出系统单位阶跃响应曲线。»图的计算程序:t=[0:0.5:4];r=ones(size(t));num=[16];den=[11016];[c,Xjt]=step(nuiDjden^t);plot(t,r,'—；t,c,'；xlab已1Ct/m'),yl日b已1Ch(t)');grid;例3-4角速度随动系统结构图如图3-9所示。图中，K为开环增益，T=0.1s为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间t<1s，问K应取多大？

S解根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短，应取阻尼比&=1。由图3-9,令闭环特征方程(,1、「2「1八=(S+)2=S2+S+=0TTT2比较系数得T=2T=2x0.1=0.2<1K=T/T：=0.10.22=2.5查图3-7,可得系统调节时间tS-4.75T1=0.95s，满足系统要求。(3-8)(3-9)2.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应C(s)=中(s)R(s)=①211ns(3-8)(3-9)2.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应C(s)=中(s)R(s)=①211ns2+2&①s+①2sss+2&①n(s+&①)2+(1—&2)①2nn1————s+&Wns(s+&O)2+(1—&2)O2nn系统单位阶跃响应为h(t)=1—e—&°n?cosy1—&2①t—y'1—&2COU2n.1—&2(S+挪)2+(1—&2)①e—&①tsin(1—&2①11nn.v1—&2n1-e'咤-!'1—&2cos(1—&2①11&sin(1—&2①)1

x：'1—&2nn1e-&o一1^&si|njJ&2ot+&arc(3-10)欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。直角坐标表示人=b±j①=-6①土j<1-62①“极”坐标表示人|=3C0»=&〈一n5八:Z1=。[siIp=J1—&2由式(3-5),可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为系统单位脉冲响应为k(t)=h'(tk(t)=h'(t)=L-1[①(s)]=L-1上：1-&2OW^_(s+&O)2+(1—&2)°21—&2nnN①e-&%sin1—&2①tn(3-11)典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线zeta=.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,1.0,2.01土e-豌/''J1-&2之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于蚀n(特征根实部之模)，响应的阻尼振荡频率取决于jY2①(特征根虚部)。响应的初始值h(0)二0，初始斜率nzeta=.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,1.0,2.01.81.61.41.20.80.60.4*图3-11的绘制程序：t=[0:0.1:12]:c=[]:zeta=[00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0]:fori=1:11num=[l];den=[12*zet<i)1]:Plot(Lc/—:):holdon:p3iise(l):endxlabXylabelfh(t)7):titl<zaa=0,.1,.2,3一4,5.6,.7,.S,1.0,2.Q'),grid:»图3-12的绘制程序：vm=2.5;zeta=0.4;t=[0：0.05:4];tl=acos(zeta)*ones(1^1已ngth(t));al=(1/sqrt(l-zeta"2));hl=l-al+exp(-zeta+wn+t).*sin(wn:+:sqrt(l-zeta"2)*t+tl);bu=al+exp(-seta*wn:+:t)+l;bl=2-bu;plot(tjhl,'一Lt,buj'.',t,blj'.',t,ones(size(t)),'k-');grid;xlabel('wnt'ylabel('h(t)');3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算（1）峰值时间$：令h'（t）=k（t）=0,利用式（3-11）可得psin、1一&2①t=0n即有*1一&2①t=0,兀，2兀，3兀，n由图3-1，并根据峰值时间定义，可得丸t=—（3-12）P'I—&2必n（2）超调量。00:将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得h（t）=1+e-孕1-&2h（t）一h（8）匚-—2n%=x100%=e一&兀■1-&2x100%（3-13）h（8）可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量。°；只与阻尼比&有关，两者的关系如图3-13所示。图3-13欠阻尼二阶系统^%与&的关系曲线（3）调节时间图3-13欠阻尼二阶系统^%与&的关系曲线（3）调节时间t^:用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入5%误差带的时间计算调节时间。令e―；①tn=0.05可解得1-ln0.05+邱1-&2)n3.5n(3-14)给出典型欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式。可见，典型欠阻尼二阶系统超调量。00只取决于阻尼比&,而调节时间t^则与阻尼比&和自然频率«〃均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间\偏于保守。&®n一定时，调节时间七实际上随阻尼比&还有所变化。图3-14给出当T=1/3n时，调节时间七与阻尼比&之间的关系曲线。可看出，善=0.707（P=45。）时，七^2T，实际调节时间最短，。0，°=4.3200幻5%，超调量又不大，所以一般稚=0.707为“最佳式(3-12)〜(3-14)阻尼比”。»图3-13的绘制程序：P=[];t=0:0.1:50;ks=0:0.005:1;omn=5;fori=1：length(ks);nrnri=oirin:+:ciirin.：den=[12:+:ks(.i.)：+：oiriiioirin:+:oirn];y二step(..ni-UTbdei%t.).：fork=2:length(y)ify(k)<=y(.k-1.)temp二k-1.：br己ak.：endendplot(Rs,已’b-');xlabel('阻尼比),ylabel(超调量(%)');titleC欠阻尼二阶系统超调量与阻尼比关系曲线grid;

»图3-14程序：&=[];Ts^[\:跄=[];s写1;foron=10.:-0.02:0Ks=[Kscos(3tan(om/sg))]:num=sg*sg-om*om;dai=[12*sgsg*eg-om*om];v=s叫(num,dav):for1^5000:-1:0i?>hs(y(k卜Ts2=[li2,k*0.()l]:breakendendfor1^5000:-1:0i<abs(y(k>l)>={}.{}53Ts5=[Ts5,k*O.Ol];breakendendendaa=figure:E^ai.'Color'^l11]):ab=plot(Ks,T^'r.；Ks^5；bJ);set(ab,']JneWidth；2);grid;4.典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式(3-13)、式(3-14)及式(3-8)、式(3-9),可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。图3-15系统极点轨迹当①〃固定，&增加（6减小）时，系统极点在s平面按图3-15中圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量。％减小；同时由于极点远离虚轴，&%增加，调节时间七减小。图3-16（a）给出①=1，&图3-15系统极点轨迹n当&固定，气增加时，系统极点在s平面按图3-15中的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量。％不变；由于极点远离虚轴，&®n增加，调节时间L减小。图3-16（b）给出了&=0.5（6=60。），吃变化时的系统单位阶跃响应过程。&§一般实际系统中，T是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益K是各环节总的»图3-15程序^[0:0.120];t-ones(size(t》;om=l;sg=[0.L02A3,04,0.5,0.6,0.7,08];fori=l:8num=sg®*sg(i)-om*om;den=[l,2*sg(i),sg®*sgffi-om*om];c=stq>(num,den,t);ab=ploXtr/r-'A^'b)cset(abJLineWidth1,1.5);nol<ion,endxlabeK't51lylabJ:tide=L®(0.1:Q.2^0.3；0.4;0.5;00.7:0.S)')：grid:paLise(2):clfks=0.5;omn=[0.250.51248];t^0:0.1:10:i=ones(size(t)):fori=l:6num=omn(i)*omn(i):den=[L2*ks*omn(iiomn(i)*omn(i)lc=stepCnun^dab=plot(tt；1r-1Ao,1b上5etfab^LineW^dth1,1.5);holdon,endxhteK'ts'XylabeKXO^tlefke=0.5;自然频率(。一250.51248)1);grid:paLise(2):clf^[0:0.05:10]；!=onesfsize(t));sg=1;om=[0.2,0.5s0.7,0.8s0.9sL2J,5];fori=l:9num=sg*sg-om®*om(ij;den=[1,2*sg.sg*s^-om®*om(i}];c=stq)(num,der顷)；ab=plcd(LC上5-')；set(abs'LineWidth1,1.5);holdon,endxhbeK't/s'LV】abdfh(ty};由戚实部』极点虚部32皿_7皿。"四5以grid:pause(2):传递系数，可以调节。K增大时，系统极点在s平面按图3-15中的垂直线(III)移动，阻尼&变小，超调量。％会增加。图3-16(c)给出T=1，K变化时系统单位阶跃响应的过程。

（a）°n=1,&改变时的阶跃响应；（b）&=0.5,°&改变时的阶跃响应；（c）T=1,K改变时的阶跃响应图3-16二阶系统单位阶跃响应综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环极点位于P=45。线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十分重要的。

例3-5控制系统结构图如图3-17所示。开环增益K=10时，求系统的动态性能指标;确定使系统阻尼比&=0.707的K值。解(1)K=10时，系统闭环传递函数代(矿度射区■——-——i5(0.1S+1)中(s)=100s例3-5控制系统结构图如图3-17所示。开环增益K=10时，求系统的动态性能指标;确定使系统阻尼比&=0.707的K值。解(1)K=10时，系统闭环传递函数代(矿度射区■——-——i5(0.1S+1)中(s)=100s2+10s+100^3-17控制系统结构图W=J100=10，10心&==0.52x10兀兀t=—=P、1—&2①V1-0.52X10■'nb%;I,=eY兀1—&2=e-0.5兀/.•1-0.52=16.3%0.363(2)3.5t=s&33.50.5x10=0.710Ks2+10s+10K=\10K10^10Knl=[10]|jdl=[0.110];[numdai]=doop(nLd[lc〔tinnedetv);xlabeKt(s)XylatelfXtJ^grid;例3-6系统结构图如图3-19所示。求开环增益K分别为10,0.5,0.09时系统的动态性能指标。

解当K=10,K=0.5时，系统为欠阻尼状态，当K=0.09时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系统的动态指标，列表计算，见表3-4。图3-20(a),(b)分别给出了不同K值时的系统的极点分布和相应的单位阶跃响应曲线。可见，调整系统参数可以使系统动态性能有所改善，但改善的程度有限；而且，改善动态性能和改善稳态性能对K的要求相互矛盾，一般只能综合考虑，取折中方案。用后面介绍的速度反馈或比例加微分控制可以进一步提高系统的动态性能。图3-20K10,0.5,0.09时系统极点的分布及单位阶跃响应表3-4例3—6的计算结果0.50.09传递函数气(W=芸七G2(S)=芳G(s)=旦竺3s(0.50.09传递函数气(W=芸七G2(S)=芳G(s)=旦竺3s(s+1)闭环传递函数0.5O2(S)=s2+S+0.5①(s)=_^0^3S2+S+0.09特征参数⑶〃J10=3.16g==0.1582x3.16P=arccosg=81°①=布=0.707ng=一1一=0.7072x0.707P=arccosg=45°①=、•旅=0.3wn1g==1.672x0.3特征根气，=一°.5土j3.12】，2人12=-0.5土j0.5气=-0.1JT=10

£=-0.9=1.11动态性能指标t==1.01p\1—g2①n。0=e-孕'1-g2=60.40003.5r『=7t=y=6.238p5—g2w<b/=e-顷、1-g2=5/003.5Sgw'T/T=9t，GT)•T=31JSS11"“["=0»例3-6程序0:0.2:25]:Ch=[]:Kf[1.00.50.09]:rh=onesfsizeft)):for1=1:3nl=[K(iJ]:dl=[110]:[numden]=cloop(nl?dl):ch=stepfnuin^dai.t):Ch=[Chc：h];endpht(t,ch(；l)xch(:71xch(;3)7炒oldon:pMUHT：-1)xlabeK't(s)1Xylabel('h©1上grid;例3-7二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图3-21(a),(b)所示。试确定系统参数K「K2,a的值。

解由系统结构图可得0(s解由系统结构图可得0(s)="1"2s2+as+K2K=①22na=2^wn（3-15）KK2=Kios2+as+K112由单位阶跃响应曲线有（3-16）h(0=2=limsO(s)R(s)=limstOt=—=0.75P*1KK2=Kios2+as+K112（3-16）联立求解得将式（3-17）代入式（3-15）得&=0.608①=5.278In（3-17）K=5.2782=27.85<2a=2x0.608x5.278=6.42因此有K1=2,K2=27.85,a=6.42。关于二阶系统的脉冲响应和斜坡响应的讨论，方法与一阶系统类似，在此不再赘述。表3-5中给出了不同阻尼比下二阶系统的典型输入响应公式及曲线，供查阅。

表3-5二阶系统典型响应一览表nnn输入r(t)输出c(t)(t-0)ne-&弋2—1户/_e-|^+W2-1|ro,t5(t)k(t)=321e-叫0<W<表3-5二阶系统典型响应一览表nnn输入r(t)输出c(t)(t-0)ne-&弋2—1户/_e-|^+W2-1|ro,t5(t)k(t)=321e-叫0<W<1h(t)=1--e==3n=sin1-&2J1-g23t+tan-1W—222c(t)=t-——+—33nn/1、1+23tJe-3n0<g<11c(t)=t——+•e-g3n3/1-g2亨］J3sin,1-g23t+2tan-1ng>13k(t)=•n2、■:g2-1g10<g<1k(t)=~ne-g^nsin1—g23t1-g2n1(t)3nR'c(t)=t-竺+2g2-1+2孔，g2-1e"3n竺2-1笺2-1-2&\专-1e-"g2-1)23t'g2-1g1g>1g>1tg13h(t)=1+■n2\.：g2-1n—+3th(t)=1-e-3nt(一一、e-”eFIs=(g+lg2-1)3S=化—代2-1)3M1sJ257»表3-5典型响应程序t=0:0.01:20;k5=[0.10.30.50.712];onm=1;figure;forI=l:length(ks)num=omn*omn:den=[12*ks(i)*omnomn*omn]:y=impuls^num^der^t):plot(ty='b-1):holdon:endxlabel('fJzylabeK'k®1):grid:p3use(2.):%df:t=0:0.01:20:u=ones(size0J):ks=[0.10.30.50.712]:omn=1:figurefori=1:length(ks)num=omn*omn:den=[1.2*ks(i)*omnomn*omn]:y=stqp(num,denst):’「W');holdon:endxlabeK't'Jiylabelfk®1):grid:p3iise(2):%clft=0:0.01:20:u=t:ks=[0.10.30.50.712]:cam=1:figure:fori=1:length(ks)num=omn*omn;den=[1.2*ks@*omnomn*onin];y=lsim(num,dai.iL,t):pbt^iL7-'holdon:endxlabeK't')gel(My);grid;3.3.4改善二阶系统动态性能的措施采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。例3-8在如图3-22（a）所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制，系统结构图分别如图3-22（b）和（c）所示。其中K=0.216。分别写出它们各自的开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（。%,\）并进行对比分析。图3-羽系统结构图解图3-22（a）、b）中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标（c%，七）按式（3-13）、式（3-14）计算。而图3-22（c）表示的系统有一个闭环零点，不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。图3-22所示的系统可以用表3-7中相应的公式（或用MATLAB）计算其动态性能指标。可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制后，系统动态性能得到了明显改善。

表3-6＞系统^测速反馈和比例加微分控制方式下系统性能的计算及比较系统结构图图3-22(a)图3-22(b)图3-22(c)开环传递函数厂,、10GaJ')=S(S+1)10(Ks+1)G(s)；(b)s(S+1)G(s)-10(KtS+1)(c)S(S+1)闭环传递函数示小10小/、1010(Ks+1)气a)(H-S2+S+10①(S)—(b)S2+(1+10K)S+10①(S)—t(c)s2+(1+10K)s+10系统参数&0158t0^t0^On3.163.163.16-开环零点八、、—-4.63-4.63极点0，-10，-10，-1闭环零点八、、——-4.63极点-0.5土j3.12-1.58土j2.74-1.58土j2.74动态性能tp1.011.151.05b/060%16.3%23%ts72.22.1从物理本质上讲，图3-22(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图3-22(c)所示系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。实际使用中，比例加微分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，需要放大器进行信号放大；而反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声，影响系统正常工作；而测速反馈不会有这样的问题。从经济角度考虑，比例加微分实现简单，费用低;测速反馈装置价格高。实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。1.加开环零点对系统动态性能的影响比较图3-22(a)和(b)所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置(见图3-23)。显然，图3-22(b)所示系统闭环极点人⑶较图3-22(a)所示系统闭环极点人⑷远离虚轴(相应调节时间七小)，且P角小(对应阻尼比&较大，超调量。％较小)，因而动态性能优于图3-22(a)所示系统。一;。项一;。项图23例3-8中三个系统的闭环零极点分布及单位阶跃响应»例3-8程序t=[0:0.1:12];r=ones(size(t));om=l;ks=0.5;denfa=[l110];capstepfnumFxdeoFit);numFb=[l0];denFb=[l3.1610]:cb=sTep(nurnFb:d^nFb?t):nuniFc=[2..1610];denFc=[l3.1610];cc=stq}(nuniFc=denFc,t);ab=plot(tcqk'-txb.b上cc/k—*);set(abJltneWidth'.2.5):xlabelftshJylabelfh(it)'):pause(l)Tgrid:附加开环零点是通过改变闭环极点(改变模态)来影响闭环系统动态性能的。2.附加闭环零点对系统动态性能的影响图3-22(b),(c)两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者较前者多一个闭环零点。附加闭环零点不会影响闭环极点，因而不会影响单位阶跃响应中的各模态。但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数，由此影响系统的动态性能。附加闭环零点是通过改变单位阶跃响应中各模态的加权系数影响闭环系统动态性能的。将图3-22(c)系统闭环传递函数等效分解如图3-24所示。从信号的合成关系上可见，图3-22(c)所示系统的单位阶跃响应、()是在图3-22(b)系统单位阶跃响应h^(t)基础上叠加了一个Kk'(t)而成的。即有t(b)h(t)=h(t)+Kh'(t)cbtb明显看出，附加闭环零点