江西省抚州市金溪县重点中学2023届高三下学期4月考试数学（文）试题及参考答案

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本试卷主要命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，，则集合（）A. B.{3} C. D.3.在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（）A.平均值 B.中位数 C.众数 D.方差4.已知向量，，，若，则（）A.1 B. C.0 D.5.已知命题，；命题，，，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.6.已知数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.20237.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言．包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知抛物线的焦点为F，其准线与坐标轴交于点A，点P为E上一点，当取最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则双曲线的实轴长等于（）A. B. C. D.9.巴普士（约公元3~4世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家．生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来．《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（V表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S表示闭合图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．已知在梯形ABCD中，，，，利用上述定理可求得梯形ABCD的重心G到点B的距离为（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称 B.为的一个周期C.的值域为 D.在上单调递增11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，P是圆与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为（）A. B. C.1 D.12.已知，，，则（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知x，y满足，则的最大值为__________．14.已知函数（，且），曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．15.在正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为__________．16.已知函数，则关于x的方程有6个互不相等的实数解的充要条件为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升的同时，也带来了一些问题，如有不少青少年沉迷于手机游戏，对青少年健康成长带来不小的影响．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益智游戏，某游戏公司开发了一款益智游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（秒）5179121130237353（1）通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数a，b精确到0.01）；（2）从表中6关过关时间中随机抽取2个，求这两个过关时间均低于6关的过关时间的平均数的概率．参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．参考数据：y51791211302373533.9324.3694.7964.8685.4685.866，，其中．18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，，求的面积．19.已知在四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，点M在线段AE上，且．（1）求证：平面CFM；（2）若平面ABCD，且，求点G到平面CFM的距离．20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上焦点为F，且C上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为，过点F且垂直于y轴的直线被C截得的弦长为1．（1）求C的方程；（2）已知直线与C交于M，N两点，与y轴交于点P，若点P是线段MN靠近点N的四等分点，求实数m的取值范围．21.已知函数，其极小值为．（1）求a的值；（2）若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的一个参数方程；（2）记与x轴交于点P，曲线和曲线的交点为A，B，求的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为m，正数a，b满足，求的最小值．

高三文科数学参考答案、提示及评分细则1.A因为，所以．故选A.2.D由题意知，，所以，．故选D.3.B去掉最高分和最低分后，中位数一定不变，其余数字特征不一定不变．故选B.4.B因为，，所以，因为，所以，解得，故选B.5.C因为不成立．所以p为假命题；因为当，时，成立，故q为真命题．所以，，为假命题，为真命题．故选C.6.A因为，即，所以时，．所以，化为，当时，，即，所以a．所以数列是等比数列，首项为，公比为，所以，所以，所以．故选A.7.B因为释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，所以，所以，即，当，时，，整理得，即，所以，又，所以，因为，所以．故选B.8.B由题意得当PA与E相切时，取得最小值，，，设此时点P的坐标为，因为，故切线PA的方程为，将点A的坐标代入，得，解得，故，设双曲线的实轴长为2a，则．故选B.9.C直角梯形ABCD绕AB旋转一周所得几何体的体积，设重心G到AB的距离为，则，解得；直角梯形绕BC旋转一周所得几何体的体积，设重心G到BC的距离为，则，所以，所以．故选C.10.C由题意得，所以f，所以的图象不关于直线对称；，故不是的周期；设，则k的大小等于点与点连线的斜率，又点在圆上，利用数形结合的方法易求得，故的值域为；．令，得，所以，故在上单调递减，综上，ABD错误C正确．故选C.11.A由题意知，所以，又因为，与联立，得，，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以．故选A.12.D由题意知，，令，则，当时，，所以在上上单调递增，所以，所以，所以；因为，易知，所以，所以，所以．故选D.13.1画出可行域（如图阴影部分），当直线过点A时，z取得最大值，易求得A的坐标为，所以．14.e由题意知曲线在点处的切线斜率等于3，又，所以，所以．15.连接，取中点F，连接，EF，则，所以为CD与所成的角（或其补角）．因为在正三棱柱中，D为棱AB的中点，易证平面，从而可得平面，又平面，所以，不妨设，则，，所以，，又，所以，所以，所以．16.且显然为偶函数，当时，画出在上的图象，利用偶函数的对称性，易得在其定义域上的图象（如图所示）；设，则原方程变为，所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是方程的两根，满足且；又时且，而，则问题等价于所以且．17.解：（1）令，由，得，即，，，，所以，所以，故，，所以，所以．（注：如果学生在求时已按题目要求精确到0.01，此时求出，可酌情给分）（2），由题意知，过关时间低于161.8秒的为第1，2，3，4关，记作a，b，c，d，超过161.8秒的为第5，6关，记作A，B，从中任取两个的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15个；其中均低于161.8秒的有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个，故所求概率．18.解：（1）因为，由正弦定理，得，即，所以由余弦定理得，因为，所以．（2）因为，，，所以，即，则，，所以的面积．19.（1）证明：延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH，因为平面平面ABCD，且为PA的中点，所以，，，，又，所以，又，所以为AB的中点，所以，且，所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以，又平面CFM，平面CFM，所以平面CFM．（2）解法1：由（1）知G到平面CFM的距离，即为到平面CHF的距离，因为平面ABCD，且，F为PD的中点，所以点F到平面BCH的距离为3，所以，连接FA，易求，，，所以，所以，所以，设到平面FHC的距离为h，则，所以，即点G到平面CFM的距离为．解法2：由（1）知G到平面CFM的距离，即为B到平面CFM的距离，又因为H为AB的中点，所以A到平面CFM的距离等于B到平面CFM的距离，即A到平面MNH的距离等于G到平面CFM的距离．连接MH，取MH的中点Q，连接NQ．因为，，所以，所以．所以．设A到平面MNH的距离为h，则，即，所以，即点G到平面CFM的距离为．20.解：（1）设C的焦距为2c，由题意知解得故C的方程为．（2）设，，联立消去y整理得，所以，即，且，．因为点P是线段MN靠近点N的四等分点，所以，所以，所以．所以，所以，整理得，显然不成立，所以，因为，所以，即．解得，或，所以实数的取值范围为．21.（1）解：法一：因为，所以．当时，，所以单调递增，没有极值，不合题意．当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，取极小值，不合题意．当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为．所以．法二：因为，所以．令，得，，而，所以的极小值只可能在处取到．令，得．当时，，所以在区间上，，单调递增；在区间上，，单调递减；在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，且的极小值为，所以．（2）证明：由（1）知，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不妨设．下面先证．即证，因为，所以，又因为在区间上，单调递减，只要证，又因为，只要证，只要证．设，则当时，，所以在上单调递增，所以，所以．下面证．设，因为，在区间上，；