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1、8.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数, 不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题1、应该选用哪一种估计量?常用标准(1) 无偏性(3) 一致性(2) 有效性2、用什么标准来评价一个估计量的好坏? 定义 设 是总体X 的样本，是总体参数 的估计量，则称是 的无偏估计量. 存在,如果： 无偏性求证：不论 X 服从什么分布,证因而例1 设总体X 的 k 阶矩存在，是总体X 的样本，是的无偏估计量.由于特别地, 的无偏估计量是总体期望 E( X ) 的无偏估计量样本二阶原点矩 是总体二阶原点矩样本均值例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在, 不是 D( X ) 的无

2、偏估计量; 证前已证求证：是 X 的一个样本, n 1 .(1) 是 D( X ) 的无偏估计量; (2) 因而证毕.故通常，在估计时：确实以样本均值估计总体均值但却不以2阶中心距 估计总体方差，而是以样本方差 估计总体方差例3 设总体 X 的密度函数为为常数为 X 的一个样本求证：证明： 故与都是的无偏估计量是 的无偏估计量.令即故 nZ 是 的无偏估计量.故都是总体参数 的无偏估计量, 且定义有效性则称比更有效.设都是 的无偏估计量,由前面例4 可知,为 X 的一个样本,解为常数与所以,比更有效.例4 问哪个估计量更有效？例5 设总体期望为 E( X )= , 方差 D( X )= 2 ,

3、 为总体X 的一个样本，设常数求证是 的无偏估计量(2) 求证(1) 比更有效(2) 证: (1) 比更有效证明只需即而结论算术均值比加权均值更有效.“=”成立当且仅当c1 = c2= cn算术均值是所有线性无偏估计中方差最小的，称为最小方差无偏估计.例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.都是 的无偏估计量由例7(2) 知最有效.是总体参数 的是总体参数 的一致(或相合)估计量.估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 一致性一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.则称依概率收敛于 , 定义 设 即例6 样本k阶矩是总体k阶矩的一致估计证明：故，例7 正态分布总体的样本方差的一致估计证明：故，是总体方差其中，故，例

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