高中数学《一 曲线的参数方程1》公开课优质教学设计

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曲线的参数方程

第一课时参数方程的概念

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际

问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树

立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一

组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间

的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在

x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

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师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个

圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

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由①得即M（）．

所以．

所以Ｍ在⊙Ｏ上.

由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.

师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？

生：能，消去θ即可．

师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起

来，获得了圆的方程的另一种形式.

通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别

在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.

请同学们再看一个例子.

炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角

为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。（不计空气阻力）

师：同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状？请同学们大概地画一下.（师从同学们画出的图形中，选出一种画

在黑板上，如图３－２.）

师：一般同学们都知道是轨物线的一段.现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程（即点的轨迹方程），请思考

求点的轨迹方程的首要工作是什么？

生：建系.

师：怎样建系？（请同学们自行建系）

（师将同学们４种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出。如图３－３－（１）、（２）、（３）、

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（４））

师：怎样建系由我们自己决定，然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理，且使问题的求解方便一些，方程简

单一些.现在请同学们从上述４种建系方式中选择较恰当的一种.

生：（较一致地否定了（１）、（２），对（３）、（４）众说纷纭.）

师：（引导学生作常规分析）炮弹飞行与时间t有关，当t=0时，炮弹还在炮口位置，它是炮弹飞行的初始位

置（起始点），这个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢？

生：放在原点位置，即取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，因此选图３－３（４）.

师：坐标系建立起来了，接着该做什么了呢？

生：设标，设炮弹发射后的位置为Ｍ（x，y）.

师：下面该进行哪一步了？

生：列式.

师：怎么列？x与y之间的直接关系明显吗？

生：不明显.

师：那么怎样把x、y之间的关系联系起来呢？

生５：像刚才用第三变量θ表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样，通过间接的办法把x、y联系起来.

师：很好！那么这里的第三变量是什么呢？它又能怎样把x、y联系起来呢？

生５：刚才圆上点Ｍ是依赖于角θ的运动而运动的，第三变量就选择了θ，我想这里要把x、y之间的关系

建立起来，也要分析一下炮弹的运动方式，看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的.

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师：非常好！让我们一起来分析炮弹的运动方式.这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动.

炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动（由于受重力作用，炮弹作初速度不为零的匀

速直线运动）.

显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移（竖直高度），因此“怎样列式”事实上是解决如

何刻画水平位移和竖直位移的问题.故应考虑运动物体的位移与哪些量有关.

生：和速度、时间有关.

师：这里既有水平位移，又有竖直位移，那么在水平方向的初速度和竖直方向的初速度分别是多少？

生６：（如图３－４）在水平方向的初速度是νcosα,在竖直方向的初速度是νcosα.（生６口述，师标

00

在图３－４上）

师：时间有吗？

生：没有.

师：怎么办？

生：设出来，设为t.

师：现在能分别求x和y了吗？

生６：能！．

师：能对竖直方向上的位移作一解释吗？

生７：在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动.所以

．

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师：这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t是否应该有

一个确定的范围？

生：有，令y=0，

故0≤t≤．

师：当时，炮弹运动到什么位置了？

生：刚落地.

师：不错！是炮弹的落地时刻，为书写方便，我们记,

则：(0≤t≤T)②

师：（挑战性的）这个方程组表示的是弹道曲线的方程吗？

生：是.

师：谁能简要地作一下说明？

生８：显然，任给轨迹上一点,由方程组的建立过程知其坐标x、y适合方程组；反之当t在

0０

内任取某一个值时，由方程组②就可确定当时炮弹所在位置（即表示炮弹的点在曲线上）.故②就是炮弹飞行

的轨迹方程.

师：很好！前面我们举了两个例子，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标之间的关系不是

直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的.例1中旋转角θ参与了方程组的建立，且x、y都是θ的函

数；例2中时间t参与了方程组的建立，且x、y都是t的函数.这些特点是以前建立的直接反映x、y关系的

方程所不具备的，它和我们以前所熟悉的曲线的方程表达形式是不一样的，谁能给这样的曲线方程起个名字

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吗？

生：参数方程.

（师随即写出课题——参数方程，指出联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.）

师：例１中我们看到圆上任意一点的坐标x、y，都是参数θ的函数，且对于内的任意一个θ值，由

①所确定的点Ｍ（x、y）都在圆上；例２中，我们看到炮弹的任意一个位置，即轨迹上任一点的坐标x、y都

是t的函数，且对于任一个t的允许值，由②确定的点Ｍ（x、y）都在轨迹上.这样的方程我们刚才称它为参

数方程，谁能通过刚才的例子，归纳出一般曲线的参数方程的定义？

生９：（定义）在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数③且对

于t的每一个允许值，由③所确定的点Ｍ（x、y）都在这条曲线上，则③就叫做这条曲线的参数方程，t称作

参变数，简称参数.（生９途述，师板书）

师：相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的（显得那样的普通）.为了区别起见，我们把以前学过的

方程称作曲线的普遍方程.

师：从上面两个例子看出，参数可以有明确的几何意义（例子中的旋转角θ——，主何的也可以有显的物理

意义（例２中的时间t——物理的.）事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数，即使是同一条曲线，

也可以用不同的变数作参数.请同学们考虑，在例１中还可以用什么变数作参数？

生１０：设弧长l为参数，由于l=rθ，

故θ=lr，所以(l是参数，0≤l≤2πr)．（生１０叙述，师板书）

师：还可以用别的变数作参数吗？

生：……

师：（点拨一下）前面我们用旋转角θ作为参数，θ可以用什么表示？

生１１：明白了，可设Ｍ的角速度为ω，运动所用时间为t，旋转角为θ，则θ=ωt.

所以(t为参数，０≤t≤.

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（生１１叙述，师板书）

师：曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反

映变数的实际意义，如例２中，x表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度.能求出炮弹的最大

水平射程和相应的最大竖直高度吗？

生：能！

师：请一位同学具体说说.

生１２：上面曾求得炮弹落地时刻t=2νsinαg,

0

当t=2νsinαg时，

0

x=vcosα·g2v2sinαg=v2sin2αg,

000

当２α=π2,即α=π４时，x=ν2g.

最大0

此时，即当α=π4,t=νsinαg时，

0

y=νsinα·νsinαg-12gv2sin2αg2=v2sin2α2g=v2(22)22g=v24g.（生１２叙述，师板书）

最大000000

师：今天这节课上，通过两个具体问题的研究，我们自行给出了参数方程的定义（口述），并且明确了参数的

意义（结合例题口述），初步掌握了求曲线参数方程的思路.

通过弹道曲线参数方程的探求，使我们体会到了数学源于实践，又服务于实践的真谛，培养了我们善于思考，

勇于探索的精神.

设计说明

１．未来社会对人才素质的要求越来越高.高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求.由于人的素质是多

方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，

培养学生的个性品质.显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用.本节课的3个教

学目标正是据于这样的思考而制定的.

２．这节课按如下６个步骤逐渐展开：

（１）圆的参数方程；

（２）弹道曲线的参数方程；

①请学生帮助炮兵求弹道曲线的方程；

②让学生由熟悉的感知事实得抽象的几何图形；

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③选择原点，恰当建系；

④分析炮弹运动方式，恰当选择参数；

⑤建立方程，检验二性（纯粹性，完备性）；

（3）参数方程的一般定义；

（４）两个例子的进一步研究（兼作例题）；

（５）课堂小结；

（６）布置作业.

主要据于如下理由：

相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单.从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，

缩短了学生思维的“跨度/加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程（参

数方程），提供了可参照的“样本”.这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的.

在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接

由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程

（t为参数），

那么，２（２）中的①、②、③、④步均可省略.这种直接地把知识和盘托出的教法（其实是“奉送”）确能

使课堂上节约不少时间，然而对于激发学生数学的应用意义，发挥学生的主体参与，揭示知识的形成过程，诱

发学生探索、发现新知识都起不到任何作用.这里插入步骤①、②、③、④，则充分调动了主体的积极性，各

类学生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整个知识的形成过程，犹如“历史在戏剧中的重演”，而学生

正是这一“历史剧”中的演员，教师则是导演.同时，学生还能从中品味发现新知识的乐趣，体会知识的应用

价值.常此以往，坚持不懈，学生的素质必将得到极大的提高.

通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给分类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地

尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识.在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义.旨在培

养学生由具体到抽象的推理能力.

第（４）步中，将两个例子作了进一步研究.通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题，

可以选取不同的变数作参数.既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识.而对炮弹最大水平

射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t联系起来的x、y的最大值，有着

鲜明的实际意义（几何的），另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，

使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛.

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曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际

问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树

立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一

组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间

的关系吗？

生：……

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师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在

x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个

圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

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由①得即M（）．

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曲线的参数方程

教学目标

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1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际

问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树

立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一

组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间

的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在

x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

精品资源：名师优品店铺师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

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曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实

问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生

立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第

组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之

的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即

x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

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师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整

圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

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由①得即M（）．

所以．

所以Ｍ在⊙Ｏ上.

由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.

师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？

生：能，消去θ即可．

师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了

来，获得了圆的方程的另一种形式.

通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特

在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.

请同学们再看一个例子.

炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射

为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。（不计空气阻力）

师：同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状？请同学们大概地画一下.（师从同学们画出的图形中，选出一种

在黑板上，如图３－２.）

师：一般同学们都知道是轨物线的一段.现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程（即点的轨迹方程），请思

求点的轨迹方程的首要工作是什么？

生：建系.

师：怎样建系？（请同学们自行建系）

（师将同学们４种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出。如图３－３－（１）、（２）、（３

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（４））

师：怎样建系由我们自己决定，然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理，且使问题的求解方便一些，方程

单一些.现在请同学们从上述４种建系方式中选择较恰当的一种.

生：（较一致地否定了（１）、（２），对（３）、（４）众说纷纭.）

师：（引导学生作常规分析）炮弹飞行与时间t有关，当t=0时，炮弹还在炮口位置，它是炮弹飞行的初始

置（起始点），这个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢？

生：放在原点位置，即取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，因此选图３－３（４）.

师：坐标系建立起来了，接着该做什么了呢？

生：设标，设炮弹发射后的位置为Ｍ（x，y）.

师：下面该进行哪一步了？

生：列式.

师：怎么列？x与y之间的直接关系明显吗？

生：不明显.

师：那么怎样把x、y之间的关系联系起来呢？

生５：像刚才用第三变量θ表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样，通过间接的办法把x、y联系起

师：很好！那么这里的第三变量是什么呢？它又能怎样把x、y联系起来呢？

生５：刚才圆上点Ｍ是依赖于角θ的运动而运动的，第三变量就选择了θ，我想这里要把x、y之间的关

建立起来，也要分析一下炮弹的运动方式，看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的.

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师：非常好！让我们一起来分析炮弹的运动方式.这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动.

炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动（由于受重力作用，炮弹作初速度不为零的

速直线运动）.

显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移（竖直高度），因此“怎样列式”事实上是解决

何刻画水平位移和竖直位移的问题.故应考虑运动物体的位移与哪些量有关.

生：和速度、时间有关.

师：这里既有水平位移，又有竖直位移，那么在水平方向的初速度和竖直方向的初速度分别是多少？

生６：（如图３－４）在水平方向的初速度是νcosα,在竖直方向的初速度是νcosα.（生６口述，师

00

在图３－４上）

师：时间有吗？

生：没有.

师：怎么办？

生：设出来，设为t.

师：现在能分别求x和y了吗？

生６：能！．

师：能对竖直方向上的位移作一解释吗？

生７：在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动.所以

．

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师：这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t是否应该

一个确定的范围？

生：有，令y=0，

故0≤t≤．

师：当时，炮弹运动到什么位置了？

生：刚落地.

师：不错！是炮弹的落地时刻，为书写方便，我们记,

则：(0≤t≤T)②

师：（挑战性的）这个方程组表示的是弹道曲线的方程吗？

生：是.

师：谁能简要地作一下说明？

生８：显然，任给轨迹上一点,由方程组的建立过程知其坐标x、y适合方程组；反之当t在

0０

内任取某一个值时，由方程组②就可确定当时炮弹所在位置（即表示炮弹的点在曲线上）.故②就是炮弹飞

的轨迹方程.

师：很好！前面我们举了两个例子，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标之间的关系不

直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的.例1中旋转角θ参与了方程组的建立，且x、y都是θ的

数；例2中时间t参与了方程组的建立，且x、y都是t的函数.这些特点是以前建立的直接反映x、y关系

方程所不具备的，它和我们以前所熟悉的曲线的方程表达形式是不一样的，谁能给这样的曲线方程起个名

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吗？

生：参数方程.

（师随即写出课题——参数方程，指出联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.）

师：例１中我们看到圆上任意一点的坐标x、y，都是参数θ的函数，且对于内的任意一个θ值，

①所确定的点Ｍ（x、y）都在圆上；例２中，我们看到炮弹的任意一个位置，即轨迹上任一点的坐标x、

是t的函数，且对于任一个t的允许值，由②确定的点Ｍ（x、y）都在轨迹上.这样的方程我们刚才称它为

数方程，谁能通过刚才的例子，归纳出一般曲线的参数方程的定义？

生９：（定义）在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数③且

于t的每一个允许值，由③所确定的点Ｍ（x、y）都在这条曲线上，则③就叫做这条曲线的参数方程，t称

参变数，简称参数.（生９途述，师板书）

师：相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的（显得那样的普通）.为了区别起见，我们把以前学过

方程称作曲线的普遍方程.

师：从上面两个例子看出，参数可以有明确的几何意义（例子中的旋转角θ——，主何的也可以有显的物

意义（例２中的时间t——物理的.）事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数，即使是同一条曲

也可以用不同的变数作参数.请同学们考虑，在例１中还可以用什么变数作参数？

生１０：设弧长l为参数，由于l=rθ，

故θ=lr，所以(l是参数，0≤l≤2πr)．（生１０叙述，师板书）

师：还可以用别的变数作参数吗？

生：……

师：（点拨一下）前面我们用旋转角θ作为参数，θ可以用什么表示？

生１１：明白了，可设Ｍ的角速度为ω，运动所用时间为t，旋转角为θ，则θ=ωt.

所以(t为参数，０≤t≤.

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（生１１叙述，师板书）

师：曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地

映变数的实际意义，如例２中，x表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度.能求出炮弹的最

水平射程和相应的最大竖直高度吗？

生：能！

师：请一位同学具体说说.

生１２：上面曾求得炮弹落地时刻t=2νsinαg,

0

当t=2νsinαg时，

0

x=vcosα·g2v2sinαg=v2sin2αg,

000

当２α=π2,即α=π４时，x=ν2g.

最大0

此时，即当α=π4,t=νsinαg时，

0

y=νsinα·νsinαg-12gv2sin2αg2=v2sin2α2g=v2(22)22g=v24g.（生１２叙述，师板书）

最大000000

师：今天这节课上，通过两个具体问题的研究，我们自行给出了参数方程的定义（口述），并且明确了参数

意义（结合例题口述），初步掌握了求曲线参数方程的思路.

通过弹道曲线参数方程的探求，使我们体会到了数学源于实践，又服务于实践的真谛，培养了我们善于思

勇于探索的精神.

设计说明

１．未来社会对人才素质的要求越来越高.高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求.由于人的素质是

方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能

培养学生的个性品质.显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用.本节课的3个

学目标正是据于这样的思考而制定的.

２．这节课按如下６个步骤逐渐展开：

（１）圆的参数方程；

（２）弹道曲线的参数方程；

①请学生帮助炮兵求弹道曲线的方程；

②让学生由熟悉的感知事实得抽象的几何图形；

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③选择原点，恰当建系；

④分析炮弹运动方式，恰当选择参数；

⑤建立方程，检验二性（纯粹性，完备性）；

（3）参数方程的一般定义；

（４）两个例子的进一步研究（兼作例题）；

（５）课堂小结；

（６）布置作业.

主要据于如下理由：

相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单.从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则

缩短了学生思维的“跨度/加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程（

数方程），提供了可参照的“样本”.这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益

在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直

由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程

（t为参数），

那么，２（２）中的①、②、③、④步均可省略.这种直接地把知识和盘托出的教法（其实是“奉送”）确

使课堂上节约不少时间，然而对于激发学生数学的应用意义，发挥学生的主体参与，揭示知识的形成过程，

发学生探索、发现新知识都起不到任何作用.这里插入步骤①、②、③、④，则充分调动了主体的积极性，

类学生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整个知识的形成过程，犹如“历史在戏剧中的重演”，而学

正是这一“历史剧”中的演员，教师则是导演.同时，学生还能从中品味发现新知识的乐趣，体会知识的应

价值.常此以往，坚持不懈，学生的素质必将得到极大的提高.

通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给分类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大

尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识.在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义.旨在

养学生由具体到抽象的推理能力.

第（４）步中，将两个例子作了进一步研究.通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题

可以选取不同的变数作参数.既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识.而对炮弹最大水

射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t联系起来的x、y的最大值，有

鲜明的实际意义（几何的），另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼

使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛.

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曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实

问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生

立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第

组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之

的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即

x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

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师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整

圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

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由①得即M（）．

所以．

所以Ｍ在⊙Ｏ上.

由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.

师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？

生：能，消去θ即可．

师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了

来，获得了圆的方程的另一种形式.

通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特

在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.

请同学们再看一个例子.

炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射

为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。（不计空气阻力）

师：同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状？请同学们大概地画一下.（师从同学们画出的图形中，选出一种

在黑板上，如图３－２.）

师：一般同学们都知道是轨物线的一段.现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程（即点的轨迹方程），请思

求点的轨迹方程的首要工作是什么？

生：建系.

师：怎样建系？（请同学们自行建系）

（师将同学们４种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出。如图３－３－（１）、（２）、（３

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（４））

师：怎样建系由我们自己决定，然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理，且使问题的求解方便一些，方程

单一些.现在请同学们从上述４种建系方式中选择较恰当的一种.

生：（较一致地否定了（１）、（２），对（３）、（４）众说纷纭.）

师：（引导学生作常规分析）炮弹飞行与时间t有关，当t=0时，炮弹还在炮口位置，它是炮弹飞行的初始

置（起始点），这个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢？

生：放在原点位置，即取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，因此选图３－３（４）.

师：坐标系建立起来了，接着该做什么了呢？

生：设标，设炮弹发射后的位置为Ｍ（x，y）.

师：下面该进行哪一步了？

生：列式.

师：怎么列？x与y之间的直接关系明显吗？

生：不明显.

师：那么怎样把x、y之间的关系联系起来呢？

生５：像刚才用第三变量θ表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样，通过间接的办法把x、y联系起

师：很好！那么这里的第三变量是什么呢？它又能怎样把x、y联系起来呢？

生５：刚才圆上点Ｍ是依赖于角θ的运动而运动的，第三变量就选择了θ，我想这里要把x、y之间的关

建立起来，也要分析一下炮弹的运动方式，看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的.

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师：非常好！让我们一起来分析炮弹的运动方式.这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动.

炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动（由于受重力作用，炮弹作初速度不为零的

速直线运动）.

显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移（竖直高度），因此“怎样列式”事实上是解决

何刻画水平位移和竖直位移的问题.故应考虑运动物体的位移与哪些量有关.

生：和速度、时间有关.

师：这里既有水平位移，又有竖直位移，那么在水平方向的初速度和竖直方向的初速度分别是多少？

生６：（如图３－４）在水平方向的初速度是νcosα,在竖直方向的初速度是νcosα.（生６口述，师

00

在图３－４上）

师：时间有吗？

生：没有.

师：怎么办？

生：设出来，设为t.

师：现在能分别求x和y了吗？

生６：能！．

师：能对竖直方向上的位移作一解释吗？

生７：在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动.所以

．

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师：这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t是否应该

一个确定的范围？

生：有，令y=0，

故0≤t≤．

师：当时，炮弹运动到什么位置了？

生：刚落地.

师：不错！是炮弹的落地时刻，为书写方便，我们记,

则：(0≤t≤T)②

师：（挑战性的）这个方程组表示的是弹道曲线的方程吗？

生：是.

师：谁能简要地作一下说明？

生８：显然，任给轨迹上一点,由方程组的建立过程知其坐标x、y适合方程组；反之当t在

0０

内任取某一个值时，由方程组②就可确定当时炮弹所在位置（即表示炮弹的点在曲线上）.故②就是炮弹飞

的轨迹方程.

师：很好！前面我们举了两个例子，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标之间的关系不

直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的.例1中旋转角θ参与了方程组的建立，且x、y都是θ的

数；例2中时间t参与了方程组的建立，且x、y都是t的函数.这些特点是以前建立的直接反映x、y关系

方程所不具备的，它和我们以前所熟悉的曲线的方程表达形式是不一样的，谁能给这样的曲线方程起个名

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吗？

生：参数方程.

（师随即写出课题——参数方程，指出联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.）

师：例１中我们看到圆上任意一点的坐标x、y，都是参数θ的函数，且对于内的任意一个θ值，

①所确定的点Ｍ（x、y）都在圆上；例２中，我们看到炮弹的任意一个位置，即轨迹上任一点的坐标x、

是t的函数，且对于任一个t的允许值，由②确定的点Ｍ（x、y）都在轨迹上.这样的方程我们刚才称它为

数方程，谁能通过刚才的例子，归纳出一般曲线的参数方程的定义？

生９：（定义）在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数③且

于t的每一个允许值，由③所确定的点Ｍ（x、y）都在这条曲线上，则③就叫做这条曲线的参数方程，t称

参变数，简称参数.（生９途述，师板书）

师：相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的（显得那样的普通）.为了区别起见，我们把以前学过

方程称作曲线的普遍方程.

师：从上面两个例子看出，参数可以有明确的几何意义（例子中的旋转角θ——，主何的也可以有显的物

意义（例２中的时间t——物理的.）事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数，即使是同一条曲

也可以用不同的变数作参数.请同学们考虑，在例１中还可以用什么变数作参数？

生１０：设弧长l为参数，由于l=rθ，

故θ=lr，所以(l是参数，0≤l≤2πr)．（生１０叙述，师板书）

师：还可以用别的变数作参数吗？

生：……

师：（点拨一下）前面我们用旋转角θ作为参数，θ可以用什么表示？

生１１：明白了，可设Ｍ的角速度为ω，运动所用时间为t，旋转角为θ，则θ=ωt.

所以(t为参数，０≤t≤.

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（生１１叙述，师板书）

师：曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地

映变数的实际意义，如例２中，x表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度.能求出炮弹的最

水平射程和相应的最大竖直高度吗？

生：能！

师：请一位同学具体说说.

生１２：上面曾求得炮弹落地时刻t=2νsinαg,

0

当t=2νsinαg时，

0

x=vcosα·g2v2sinαg=v2sin2αg,

000

当２α=π2,即α=π４时，x=ν2g.

最大0

此时，即当α=π4,t=νsinαg时，

0

y=νsinα·νsinαg-12gv2sin2αg2=v2sin2α2g=v2(22)22g=v24g.（生１２叙述，师板书）

最大000000

师：今天这节课上，通过两个具体问题的研究，我们自行给出了参数方程的定义（口述），并且明确了参数

意义（结合例题口述），初步掌握了求曲线参数方程的思路.

通过弹道曲线参数方程的探求，使我们体会到了数学源于实践，又服务于实践的真谛，培养了我们善于思

勇于探索的精神.

设计说明

１．未来社会对人才素质的要求越来越高.高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求.由于人的素质是

方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能

培养学生的个性品质.显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用.本节课的3个

学目标正是据于这样的思考而制定的.

２．这节课按如下６个步骤逐渐展开：

（１）圆的参数方程；

（２）弹道曲线的参数方程；

①请学生帮助炮兵求弹道曲线的方程；

②让学生由熟悉的感知事实得抽象的几何图形；

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③选择原点，恰当建系；

④分析炮弹运动方式，恰当选择参数；

⑤建立方程，检验二性（纯粹性，完备性）；

（3）参数方程的一般定义；

（４）两个例子的进一步研究（兼作例题）；

（５）课堂小结；

（６）布置作业.

主要据于如下理由：

相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单.从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则

缩短了学生思维的“跨度/加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程（

数方程），提供了可参照的“样本”.这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益

在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直

由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程

（t为参数），

那么，２（２）中的①、②、③、④步均可省略.这种直接地把知识和盘托出的教法（其实是“奉送”）确

使课堂上节约不少时间，然而对于激发学生数学的应用意义，发挥学生的主体参与，揭示知识的形成过程，

发学生探索、发现新知识都起不到任何作用.这里插入步骤①、②、③、④，则充分调动了主体的积极性，

类学生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整个知识的形成过程，犹如“历史在戏剧中的重演”，而学

正是这一“历史剧”中的演员，教师则是导演.同时，学生还能从中品味发现新知识的乐趣，体会知识的应

价值.常此以往，坚持不懈，学生的素质必将得到极大的提高.

通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给分类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大

尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识.在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义.旨在

养学生由具体到抽象的推理能力.

第（４）步中，将两个例子作了进一步研究.通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题

可以选取不同的变数作参数.既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识.而对炮弹最大水

射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t联系起来的x、y的最大值，有

鲜明的实际意义（几何的），另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼

使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛.

曲线的参数方程

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教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际

问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树

立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点