2012广东高考热点题型应用题

PAGE4-广东高考热点题型聚焦(二)《应用题》市教育局教研室广东课标高考三年来风格特点“保持将统计中用抽样样本估计总体的思想与概率的数理分析有机地结合进行考查”（文理差别较大）从改变风格，体现创新，强调应用，支持课改考虑应用问题除关注《三角》应用题外，结合广东课标高考（特别是理科）的实际后阶段应突出应用问题的训练.对于基础较好的理科生要突出函数、数列、不等式综合的问题，强化指定选考科目（不等式选讲）与数列、函数的综合应用.对于应用问题，需进一步梳理高中阶段可作为应用问题载体和工具类的知识.一．体现作为工具类的正、余弦定理在测量中的应用（见《三角》部分）二．体现作为工具作用的不等式（导数）在最值中的应用a米a米b米x米y米1．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块占地平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为米,如图所示,池塘所占面积为平方米，其中.(Ⅰ)试用表示；(Ⅱ)若要使最大，则的值各为多少？1.解:(Ⅰ)由题可得：，则………2分………6分(Ⅱ)方法一:………11分当且仅当,即时,取得最大值.……14分方法二:………………11分当且仅当,即时取等号,取得最大值.此时.……14分方法三:设…………………8分……9分令得当时,,当时,.∴当时,取得最大值.此时.…………14分2．甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.（Ⅰ）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；（Ⅱ）设f(x)=x+10,g(x)=,甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？解：（Ⅰ）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣传费.g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.…………3分（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，…4分依题意，当且仅当时，双方均无失败的风险.…8分由(1)、（2）得……………10分即左边因式分解得：…………………12分答:在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元.……13分3．某旅馆有相同标准的床铺100张，根据经验，当旅馆的床价（即每床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元，每提高1元，将有3张床空置。旅馆定价条件是：⑴床价为1元的整数倍；⑵该旅馆每天支出为575元，床位出租收入必须高于支出。若用表示床价，表示每天出租床位的净收入（即除去每天支出后的收入）．①把表示成的函数，并求出其定义域；②如何定价，该旅馆每天净收入最多？解：①依题意，，所以，当时，；（2）基于图形基础上建模参考题：有三个生活小区,分别位于三点处，且，.今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在的垂直平分线上的点处，建立坐标系如图，且.(Ⅰ)若希望变电站到三个小区的距离和最小，点应位于何处？(Ⅱ)若希望点到三个小区的最远距离为最小，点应位于何处？ 解：在中,,则……1分（Ⅰ）方法一、设(),点到的距离之和为…5分,令即,又,从而当时,;当时,.∴当时,取得最小值此时,即点为的中点.……8分方法二、设点,则到的距离之和为,求导得……5分由即,解得当时,;当时,∴当时,取得最小值,此时点为的中点.……8分（Ⅱ）设点,则,点到三点的最远距离为①若即,则;②若即,则;∴……11分当时,在上是减函数,∴当时,在上是增函数,∴∴当时,,这时点在上距点.……14分（3）基于给出含参函数上的建模参考题：某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月的累计产量为吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害.（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月的工人工资为万元，若每月都赢利，求出的范围.解：（1）第个月的月产量=.，.令（2）若每月都赢利，则恒成立.即恒成立，令所以.从延续风格，强调稳定考虑最后阶段要进一加强对概率与统计的梳理，重点解决：）统计中的图表及其含义，能作统计图表；（2）落实统计中样本估计总体数字特征及其含义；（3）理科重在超几何分布、二项分布及其期望，文科重在概率思想及概率计算公式以及几何概型；（4）结合统计案例的要求，关注教材中的典型的例、习题.文科参考题目：1.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80）之间，图甲属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”图甲2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）图乙（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据与分别表示图甲中各组的组中值及频率）图乙（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70－80的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70－80范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上者，由图甲知，共有（人）（2）由图乙知输出的＝＝47（mg/100ml）S的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值。（3）酒精浓度属于70－80的范围的人数为设除吴、李两位先生外其他7人分别为a、b、c、d、e、f、g，则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件如下：（吴，李），（吴，a），（吴，b），（吴，c），（吴，d），（吴，e），（吴，f），（吴，g），（李，a），（李，b），（李，c），（李，d），（李，e），（李，f），（李，g），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，g），（b,c），(b,d)，(b,e)，(b,f)，(b,g)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(c,g)，(d,e)，(d,f)，(d,g)，(e,f)，(e,g)，(f,g)共36种．用表示李、吴两位先生至少有1人被抽中这一事件，则所含的基本事件数为15，故．2．某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株.现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位:cm)的抽查结果绘成频率分布直方图如右：（直方图中每个区间仅包含左端点）（1）求直方图中的值;（2）若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害,现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为2株的概率.解：（1）因为用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树株3分由直方图可得银杏树树干周长在、、分别有4、18、6株，所以树干周长在有40－＝12株，所以5分（2）记这4株树为，且不妨设为患虫害的树，记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件A，则A是指第二次排查到的是7分因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件为：共计12个基本事件10分而事件Ａ中包含的基本事件有3个所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率12分3.在“家电下乡”活动中，某品牌家电厂家从某地购买该品牌家电的用户中随机抽取20名用户进行满意度调查.设满意度最低为0，最高为10，抽查结果统计如下：满意度分组用户数12458（I）完成下列频率分布直方图：（II）估计这20名用户满意度的中位数（写出计算过程）；（III）设第四组（即满意度在区间内）的5名用户的满意度数据分别为：，先从中任取两名不同用户的满意度数据、，求的概率.解：（I）频率分布直方图如下图：（II）各组频率依次为：，∵，而，∴中位数在区间内，设为，则有:，解之得，即中位数为.（III）基本事件共有10个，即，.其中满足的有7个（除外），从而的概率为.4.某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：第一空得分情况第二空得分情况得分03得分02人数198802人数698302（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得: ，据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，记“第一空答对”为事件，“第二空答对”为事件，则“第一空答错”为事件，“第二空答错”为事件.若要第一空得分不低于第二空得分，则发生或与同时发生，故有： .答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计５０已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)解：(1)列联表补充如下：3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生２０５２５女生１０１５２５合计３０２０５０（2）∵5分∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.6分（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：，，，，，，，，，，，基本事件的总数为30，9分用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由,5个基本事件组成，所以，11分由对立事件的概率公式得.12分6．已知向量，．（Ⅰ）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；（Ⅱ）若，求满足的概率．解：（1）设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分用表示事件“”，即.……………3分则包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．…………5分∴．………6分（2）用表示事件“”，即.……7分试验的全部结果所构成的区域为，………8分构成事件的区域为，如图所示．…………10分所以所求的概率为．……………12分理科参考题目：1．某射击运动员为争取获得2010年广州亚运会的参赛资格正在加紧训练.已知在某次训练中他射击了枪，每一枪的射击结果相互独立，每枪成绩不低于10环的概率为，设为本次训练中成绩不低于10环的射击次数，的数学期望，方差.（1）求的值；（2）训练中教练要求：若有5枪或5枪以上成绩低于10环，则需要补射，求该运动员在本次训练中需要补射的概率.（结果用分数表示.已知：，）解：（1）依题意知，服从二项分布∴①2分又②4分由①②联立解得：6分（2）依题意知的可能取值为：0，1，…，10∵（）7分∴＝9分＝10分＝＝＝.∴该运动员在本次训练中需要补射的概率为.12分2．五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置,指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为，每次转动转盘的结果相互独立，设为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，的数学期望,标准差，求、的值；（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元)．求随机变量的分布列和数学期望．解：（1）依题意知，服从二项分布∴①1分又②2分由①②联立解得：4分（2）设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.则.由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120.5分10分所以，随机变量的分布列为：0306090120其数学期望12分3．为考察某种甲型H1N1疫苗的效果，进行动物试验，得到如右丢失数据的列联表：设从没服疫苗的动物中任取两只，未感