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文档简介
矩阵的特征值和特征向量§4.1矩阵的特征值和特征向量§4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件§4.3实对称矩阵的特征值和特征向量1.特征值与特征向量的定义2.相关概念3.特征值与特征向量的求法4.特征值与特征向量的性质§4.1矩阵的特征值和特征向量1.特征值与特征向量的定义
定义4.1若存在常数及非零向量例：设即2.相关概念(定义4.2)称※因为即n元齐次线性方程组有非零解，等价于设A为n阶矩阵，则λ0是A的特征值，α是A的属于λ0的特征向量的充要条件是λ0为特征方程det(λE-A)=0的根，α是齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解。推论1、2若α1,α2是A属于λ0的特征向量,则c1α1+c2α2也是A属于λ0的特征向量。(c1α1+c2α2≠0)定理4.1可求得非零解对每个解方程此即对应于的特征向量.解特征方程,即可得特征值3.特征值与特征向量的求法例1求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程由得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为例2求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程得基础解系全部特征向量为当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数.例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.证明设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得※由证明过程可得结论,若是的特征值,则是的特征值.进而是的特征值.练习：这里的主对角线上的元素之和称为的迹，记为即定理的特征值都不为零。
且仅当推论
设是一个阶矩阵，则是一个可逆矩阵当4.特征值与特征向量的性质定理：n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。证：要使A和AT有相同的特征值，只要|λE-AT|=|λE-A|成立。事实上，|λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|线性无关的。定理：
矩阵的属于不同特征值的特征向量是证明：设是的个互不相同的特征值，线性无关。
归纳法证明是的属于特征值的特征向量，现对作数学时，由于特征向量不为零，因此定理成立。当假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设的互不相同的特征值，是的属于特征值量。又设：是个的特征向(1)
成立。则有:又将(1)式两边同乘得：从而有由归纳假设得再由两两互不相同可得将其代入(1)式得，因此有线性无关。
，从而定理：
λ1,λ2,…,λm是A的m个不同的特征值，A的属于λi的线性无关的特征向量为αi1,αi2,…,αisi(i=1,2,..,m)，则向量组α11,α12,…,α1s1,α21,α22,…,α2s2,…,αm1,αm2,…,αms
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