初中数学-锐角三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计一、教材分析（一）、教材的地位与作用本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形的第一节锐角三角函数（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下，正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。（二）、学情分析1、从学生的年龄特征和认知特征来看九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。2、从学生已具备的知识和技能来看九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。3、从学生有待于提高的知识和技能来看学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。（三）、教学目标1、知识目标（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义，并能举例说明。（2）能运用tanA表示直角三角形中的两边之比，表示物体的倾斜度、坡度等，能利用直角三角形中的边角关系进行简单的计算。2、能力目标（1）经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力。（2）体验数形之间的联系，提高学生应用数学的意识和能力。3、情感价值目标使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。（四）、教学重点、难点教学重点：1、对正切的理解，能运用正切函数表示直角三角形中两边的比。2、能根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。3、对坡度的理解并能运用来解决实际问题。教学难点：对正切函数的理解。二、教法和学法本节课的教法采用的是情境引导法和探究发现法。在教学过程中，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突；建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中主动参与概念的建构过程，并运用数学知识解决实际问题，享受数学学习带来的乐趣。本节课的学习方法采用自主探究法与合作交流法相结合。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，旨在让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。三、教学过程本节课的教学过程我设计了以下六个环节：创设情境、引入新知2.学练结合、探索新知3、应用新知、巩固拓展4、回顾课堂、感悟收获感悟收获ACB∠A的邻边∠A的对边ACB∠A的邻边∠A的对边（一）创设情境引入新课tanA=tanA=.引导学习基础较差的学生动手测量、求值来发现结论，学习基础较好的学生进行推理证明.（板书）结论1：在Rt△ABC中,锐角A确定，则∠A的对边与∠A的邻边的比值也确定.这个比叫作∠A的正切，记作tanA即若将上图中三角形进行平移，比值会改变吗？旋转呢？结论还成立吗？设计意图：将图形进行变式训练旨在让学生进一步明确这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关，渗透正切函数的对应关系.也为拓展一做好铺垫.对定义的几点说明：1、tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切习惯上省略“∠”的符号.BAC2、本章我们只研究锐角BAC3、对边、邻边是在直角三角形中相对角而言的.练一练想一想问题1:判断对错（学生口答）(2)ABC(1)B(2)ABC(1)BA(2)若锐角∠A=∠B，则tanA=tanB（）问题2：如图,将Rt△ABC各边扩大100倍,则tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不确定问题3：如上图，你会表示tanB吗？（学生板演）(1)AC=3,AB=6,求tanBC(2)BC=3,tanA=0.6,求AC.

（3）若BC=2AB,求tanBCOP（3,-4）1yx问题4：如图，平面直角坐标系中点P（3，-4OP（3,-4）1yx说明：1、学生板演，借机指出学生出现的错误并提问tanA能为负吗？2、对两种构造直角三角形的方法进行肯定，体会数形结合的方法.小组交流1.tanA是在什么三角形中定义的？若所给图形不符合要求可以怎样解决？2.求tanA还需要注意哪些问题？师生共同完善交流结果.设计意图：通过以上练习让学生总结出1、注意数形结合，构造直角三角形.2、tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）3、当∠A确定时，正切值也确定.探究三:议一议1、若锐角A改变，则tanA会怎样变化？2、滑道的倾斜程度与tanA有怎样的关系？（板书）结论2：tanA值越大，滑道越陡.练一练：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?ββ乙13m5m6m8mα甲设计意图：旨在让学生进一步体会锐角A改变，则tanA也随着改变.所以我们把tanA叫做锐角A的一个三角函数.体会正切的函数思想.探究四：辨一辨你知道坡度在数学中怎样表示吗？（请到课本P4找找答案.）1、自主学习坡度、坡角的概念2、全班交流坡度与坡角的关系.练一练：如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).BABAC┌ACACBD拓展一：如图,∠C=90°CD⊥AB.1、2、若BD=6,CD=12.求tanA的值.设计意图：旨在加深对正切定义的理解突破本节课的教学难点.对探究二的变形降低了本题的难度为学生成功解决本题做好铺垫.（四）回顾课堂、感悟收获1.通过本节课的学习，你认识正切函数了吗？2.求一个锐角的正切要注意哪些问题？3.你还有其它收获吗？设计意图：让学生用自己的语言来总结出今天探索的知识点，有利于培养学生善于总结归纳的好习惯.（六）课下作业、巩固发展1、课本习题1.1第1、2、3题2、选做题：（1）运用你所学的知识设计一个好玩的过山车滑道，并注明相应的坡度.（2）搜集有关高山滑雪的资料，结合本节课的知识自编一道数学题.设计意图：对本节课所学的知识进行进一步巩固，并能运用解决实际问题.让学生学以致用，感受学数学、用数学的乐趣。提高学生的学习兴趣。学情分析锐角三角函数是九年级学生在学习了函数概念以及反比例函数、一次函数、二次函数之后学习的又一种形式的函数,为了了解九年级学生对锐角三角函数的认知情况,本文从以下三个方面进行分析研究:一、九年级学生对锐角三角函数概念的认知;二、九年级学生对锐角三角函数的认知困难及原因分析;三、根据前面的分析提出教学建议。通过问卷调查及访谈得出以下结论:一、九年级学生对锐角三角函数概念认知方面。(1)虽然有80%的学生能在直角三角形中准确描述锐角三角函数的定义,但是学生对锐角三角函数定义的记忆并不意味着他们对锐角三角函数概念的理解。有40%的学生不理解锐角三角函数的本质——锐角与边的比值的对应关系。(2)对锐角三角函数的符号的认知方面。有30%左右的学生对用符号sin、cos、tan表示锐角三角函数不理解,他们将这些符号理解成代数符号。(3)对特殊角的三角函数值的认知方面。有40%左右的学生对特殊角的锐角三角函数值混淆不清,尤其是混洧30°和60°的三角函数值。二、九年级学生在锐角三角函数认知中产生困难的原因有:(1)对与锐角三角函数相关的知识认知不准确。如对函数体现的变量之间的对应关系不理解则影响学生对锐角三角函数概念本质特征的理解;(2)对锐角三角函数的符号表示产生误解,将它们理解成代数符号;(3)对特殊角三角函数值不能理解地记忆,导致对它们的记忆不准确。三、根据分析提出教学建议:(1)教学过程中需重视数学概念的教学;(2)教学过程中需重视数学史知识的介绍;(3)教学过程中需重视数形结合思想的渗诱。效果分析本课是在九年级下册学生学习了相似三角形和锐角三角函数第一节后的后续，本节课在对以前知识的一个延续，同样对以后进一步学习三角函数，以及学习解直角三角形都起着非常重要的作用。本节课是本章的重点，在难度上有一定的难度，因此在学习形式上我采用课件教学。在学习效果上感觉还不错，由于所教班级人数较少，适合小班教学，所以每个同学都有机会回答问题，同学们显得非常积极由于课堂上增加了针对性，课后主要是个别辅导，为减轻师生负担创造了条件。课后分析每个学生的特点、长短处，做到因材施教，取长补短。教师可以关注每一个学生，不留课堂“死角。还有就是因为使用了课件教学，这就大大降低了课程的难度，这样同学们更愿意去探索，所以每个同学都显得非常积极，学习效率也大大的提高了。锐角三角函数教材分析在本节"锐角三角函数"中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利用"在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半"这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到"无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数"，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。接下去，教科书又设置一个"思考"栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，的锐角所对的边与斜边的比有什么特点，利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数，这样就使学生认识到"无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数"，通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是和，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这里体现了函数的思想，这也为引出正弦函数的概念作好铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个"探究"栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到"在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值"，由此引出正弦函数的概念，这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个"探究"栏目中，类比着正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了、、角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是、和的特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。28.1锐角三角函数1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．B．C．D．图1图2图33．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinBB．a=c·cosBC．a=c·tanBD．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C=900167，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=20，则∠B的度数为_______．8．如图1－1－6，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=，则sinα=_____，cosα=_______．10．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P（2，2），求角α的三个三角函数值．11．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，BC=4，求sinα，cosα，tanα的值．参考答案:1．A2．C3．B4．C5．，，6．，，27．45°8．sinD=，cosD=，tanD=9．10．sinα=，cosα=，tanα=11．或12．sinα=，cosα=，tanα=

课后反思锐角三角函数首先是放在直角三角形中研究的，显示的是边角之间的关系。锐角三角函数值是边与边之间的比值，锐角三角函数沟通了边与角之间的联系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

这节课主要是概念教学，要使学生明确概念的背景、作用、概念中有哪些规定、限制等问题，因此，我在引入锐角三角函数概念的时候，我先设计了两道题：一是问直角三角形的三边之间有什么关系，学生很快想到勾股定理；二是问直角三角形中两锐角之间有何关系，学生也可以想到两角互余。然后我从学生的认知水平出发又提出问题：

（1）

如图Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB=？

（2）

如图Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝40°，求AB=?

对于第一个问题，学生在对勾股定理的已有认知基础上，很容易求出AB，但对第二个问题，则不够条件求AB了。我就顺势导出这就是今天要学习的直角三角形的边角关系——锐角三角函数，从而引出课题。我认为在引入新课这个环节我设计的很好，既复习了旧知识，又为新课做好了铺垫，同时激发了学生的求知欲望，这是一个成功之处。

新课标提倡学生自主思考探索，所以四个三角函数的概念都是由学生通过自己探索，然后用自己的语言表述出来，但是数学概念毕竟是需要教师进行讲解，特别是一些规定限制必须由教师强调。所以我在教学中给予了必要的讲解，如应注意定义的中文说法即还是应该回到汉字，这样有助于学生记忆定义。而且我还让学生把四个三角函数的定义简记为对比斜、邻比斜、对比邻、邻比对，在下一节课开始的复习，我用了这种方法，发现学生的确容易记忆。这是成功之二。

我以填空的形式，给学生一定的提示，也给了一个规范的格式。在实际教学过程中，学生都能做出这题，所以我只是略略讲解后就开始进行相关练习。可是在做A组第一题：“Rt△DEC中，∠E＝90゜，CD＝10，DE＝6，求出∠D的四个三角函数值。”这道题中，有部分学生出现不知怎么下笔的情况。这就提示我们在例题讲解中，一定要帮助学生归纳出求三角函数的方法。应该指出为什么要运用勾股定理，让学生明确求四个三角函数必须知道三条边。这样在做练习时他们就能确定解题思路，明确预见利用勾股定理求出CE。此乃成功之三。

另外，在突破本节课的教学难点时，我设计了一道有一个公共角的三个直角三角形，突破了直角三角形的大小，利用相似三角形的性质，让学生体会到，四个三角函数值只与角的大小无关，与三角形的边长无关。

我在这节课的教学过程中也存在一些不足之处：

在教学设计中，针对学生思维的多样性，我在备课时对课本中的探索进行改动。探索1得出直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比值是唯一确定的。在此基础上，设计一个开放性的探索2。让学生从探索1中得到启发去找找直角三角形中其他两边的比值是否也是唯一确定的。按照备课时的设想，是希望能充分拓展学生思维，找到各种不同的比值，从而比较自然的引出四种比值，即四个三角函数。但是在实际教学过程中，存在两个极端，一