线性控制理论控制系统的稳定性演示文稿

线性控制理论控制系统的稳定性演示文稿1现在是1页\一共有215页\编辑于星期三优选线性控制理论控制系统的稳定性现在是2页\一共有215页\编辑于星期三3内容提要

:

本章主要介绍状态空间分析法中系统的稳定性分析系统的内部稳定、外部稳定李亚普诺夫关于稳定的基本概念和定理李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法的应用利用MATLAB判断系统的稳定性。现在是3页\一共有215页\编辑于星期三4知识要点：

内部稳定、外部稳定，李氏意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定，克拉索夫斯基法判稳，变量－梯度法。现在是4页\一共有215页\编辑于星期三54.1系统稳定的基本概念

系统运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。1892年俄国数学家李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）就如何判别系统的稳定性问题，提出了李雅普诺夫第一法和第二法。第一法的基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。称为间接法。现在是5页\一共有215页\编辑于星期三6第二法的基本思路是不需要求解系统的微分方程式（或状态方程式）就可以对系统的稳定性进行分析和判断，称为直接法。它通过构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来判别系统的稳定性，不但能用来分析线性定常系统的稳定性，而且也能用来判别非线性系统和时变系统的稳定性。现在是6页\一共有215页\编辑于星期三7外部稳定性：系统在零初始条件下通过其外部状态，即系统的输入输出关系所定义的（零状态响应）。适用于线性系统。内部稳定性：系统在零输入条件下，由内部状态变化所定义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应）

对于同一线性系统。只有在一定条件下，两种定义才具有等价性。

李雅普诺夫方法：适用于线性、非线性、时变系统。现在是7页\一共有215页\编辑于星期三8

包括零状态响应和零输入响应。零状态响应和经典理论中稳定性问题一样，考虑外部稳定性问题。而零输入响应的稳定性问题，即研究齐次方程由任意非零初态引起的响应的稳定性问题，这是一种内部稳定性问题。

1892年，俄国人李雅普诺夫发表了《运动稳定性的一般问题》的博士论文，提出了分析稳定性的两种有效方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只适用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法。显然，第二种方法对线性、非线性系统都适用。在状态空间中，现在是8页\一共有215页\编辑于星期三94.1.1外部稳定性和内部稳定性1.外部稳定性系统的输入和输出间的描述就是外部描述，当初始状态为零时，单输入单输出的线性时变系统，其输入—输出描述可表示为（4-1）式中，是系统的脉冲响应函数，它是在时刻加入函数后，系统在时刻t的输出，是系统的输入信号，是系统的输出信号。现在是9页\一共有215页\编辑于星期三10对于线性定常系统，式（4-1）可以写成

相应的拉氏变换表达式为就是单输入单输出线性定常系统的传递函数。（4-2）现在是10页\一共有215页\编辑于星期三11对多输入多输出的线性时变系统，系统的初始条件为零，在时刻每一个输入端加入一个函数，对应的每一个输出端在时刻t都有一个脉冲响应，比如在第j个输入端加入一个函数，在第i个输出端就有一个脉冲响应，，将这些脉冲响应函数组成一个矩阵，就是多输入多输出线性时变系统的脉冲矩阵，即现在是11页\一共有215页\编辑于星期三12当初始条件为零，系统在输入向量的作用下，输入输出描述可表示为

其中，—系统的输出向量。（4-3）现在是12页\一共有215页\编辑于星期三13对于线性定常系统，其初始状态为零的输入—输出描述可表示为（4-4）相应的拉氏变换表达式为其中，—系统的脉冲响应函数阵；—传递函数矩阵。现在是13页\一共有215页\编辑于星期三14定义4-1

一个零初始状态的线性系统称之为BIBO稳定的充分必要条件为，对于任意有界输入，其输出是有界的。

注意，这里必须假定系统的初始条件为零。因为只有在这种假定下，系统的输入—输出描述才是惟一的和有意义的。下面，给出一些常用的判据。，，现在是14页\一共有215页\编辑于星期三15定理4-1

对零初始状态r维输入和m维输出的连续时间线性时变系统，时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数k，使对一切，中所有元均满足关系式

（4-5）现在是15页\一共有215页\编辑于星期三16证明（1）单输入单输出情形充分性证明：令输入为有界函数，即满足则由基于脉冲响应的输出关系式，可以得到由定义可知系统BIBO稳定。现在是16页\一共有215页\编辑于星期三17必要性证明：采用反证法，已知系统BIBO稳定，设存在某个，使有（4-6）则可构造如下一个有界输入

（4-7）

现在是17页\一共有215页\编辑于星期三18其对应的输出如下（4-8）即输出为无界，与已知系统BIBO稳定的假设矛盾。因此，反设不成立，证得（4-9）现在是18页\一共有215页\编辑于星期三19（2）多输入多输出情形注意此时系统输出的任一分量，均有（4-10）

且有限个有界函数之和仍为有界。因此，利用单输入单输出情形讨论，即可证得结论。现在是19页\一共有215页\编辑于星期三20定理4-2对零初始状态r维输入和m维输出连续时间线性定常系统，令初始时刻，则系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数k，使脉冲响应矩阵所有元均满足关系式

等价地，传递函数矩阵为真或严真有理分式阵时，的每一元素的所有极点均具有负实部。

（4-11）

现在是20页\一共有215页\编辑于星期三21外部稳定性有界输入有界输出稳定性；线性动态系统；零初始条件。定义：初始条件为零的系统，任何一个有界输入作用下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。BIBO稳定：BoundedinputBoundedoutput现在是21页\一共有215页\编辑于星期三22*.单输入单输出系统（模的有界性）现在是22页\一共有215页\编辑于星期三23*.多输入多输出系统（模的有界性）可用每个分量的模的有界性表征。现在是23页\一共有215页\编辑于星期三242．内部稳定性

稳定性问题是系统自身运动的一种动态属性，在研究运动稳定性问题时，常限于研究无外部输入作用时的系统，这类系统通常称为自治系统。连续时间线性时变系统的状态方程为其中，A(t)—nn时变矩阵；

现在是24页\一共有215页\编辑于星期三25当输入为零，任给初始状态，自治状态方程（4-12）

的解为其中，—状态由任意非零初始状态引起的零输入响应。现在是25页\一共有215页\编辑于星期三26定义4-2如果由时刻任意非零初始状态

引起状态的零输入响应对所有为有界，且满足渐近属性，即成立，则称连续时间线性时变系统在时刻为内部稳定。定理4-3对n维连续时间线性时变自治系统(4-12)，系统在时刻是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵对所有为有界，并满足渐近属性，（4-13）

现在是26页\一共有215页\编辑于星期三27定理4-4对维连续时间线性定常自治系统

系统是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为，矩阵指数函数满足渐近属性

即下式成立（4-16）（4-14）

（4-17）现在是27页\一共有215页\编辑于星期三28内部稳定实际上是研究系统内部状态的稳定性，它和后面将要介绍的李亚普诺夫稳定性分析是一致的。现在是28页\一共有215页\编辑于星期三29例

单入单出系统初始状态x0，分析系统的外部与内部稳定性。解：系统在输入u的作用下系统的输出响应为

y1为零输入响应，y2为零状态响应。1）根据外部稳定性的定义，有x0=0，若系统对任何有界输入

则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。（系统传递函数的所有极点具有负实部。）零极点对消？能控且能观？最小实现？现在是29页\一共有215页\编辑于星期三30系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式2）根据内部稳定性的定义，有u=0，系统由任意非零初态x0引起的响应xu(t)为对于线性定常系统，满足上式的条件是系统矩阵A的所有特征值具有负实部。可见，对于同一系统，只有在一定条件下，外部稳定性与内部稳定性两种定义才具有等价性。现在是30页\一共有215页\编辑于星期三313．内部稳定性和外部稳定性的关系系统外部稳定性反映了输出的稳定性，内部稳定则是反映了系统内部状态的稳定，它们之间有什么样的内在关系，这对工程应用是有实际意义的。本节限于连续时间线性定常系统，讨论和给出内部稳定性和外部稳定性的等价条件。现在是31页\一共有215页\编辑于星期三32定理4-5对连续时间线性定常系统

其中，—n维状态向量；—r维输入量；

—m维输出向量。若系统为内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO稳定即外部稳定。（4-18）现在是32页\一共有215页\编辑于星期三33定理4-6对连续时间线性定常系统式（4-18）,系统为BIBO稳定即外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。在系统结构分解中指出，传递函数矩阵只能反映系统结构中能控能观测部分。因此，系统为BIBO稳定即极点均具有负实部的事实，只能保证系统的能控能观测部分特征值均具有负实部，不能保证系统的能控不能观测、不能控能观测和不能控不能观测各部分特征值均具有负实部。由此，系统为BIBO稳定不能保证系统为内部稳定。现在是33页\一共有215页\编辑于星期三34由定理4-5知，系统内部稳定意味着系统外部稳定。而由定理4-6可知，在系统联合完全能控和完全能观测条件下，系统外部稳定意味着系统内部稳定。系统外部稳定和系统内部稳定等价的充分必要条件是系统的状态完全能控和完全能观测。现在是34页\一共有215页\编辑于星期三35外部稳定性与内部稳定性之间的关系

单输入单输出系统1.若传递函数无零极点对消不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。极点→外部稳定性；特征值→状态转移矩阵→状态轨迹→内部稳定性；内部稳定性外部稳定性现在是35页\一共有215页\编辑于星期三362.若系统存在公因子相消-零极点对消

传递函数的极点数少于系统特征值，由于可能消去的是正实部的极点，则系统具有外部稳定性，但不一定具有内部稳定性。G(s)的极点只是矩阵A的特征值的子集。内部稳定外部稳定外部稳定内部稳定现在是36页\一共有215页\编辑于星期三37结论（线性定常系统）：★4.若系统状态是稳定的，则系统输出是稳定的。1.内部稳定外部稳定2.外部稳定内部稳定3.若系统能控能观，则内部稳定外部稳定

只用传递函数的极点判断系统的稳定性不一定真正反映系统的稳定性。此时，系统内部可能有一些状态越界，导致系统饱和或出现危险。现在是37页\一共有215页\编辑于星期三38李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。现在是38页\一共有215页\编辑于星期三39

自治系统的一般形式可用显含时间变量t

的状态方程来描述式中，—n维状态向量；—线性或非线性、定常或时变的n维向量函数初始状态相应的解式中，—状态向量的初始值；—初始时刻。

（4-23）现在是39页\一共有215页\编辑于星期三401.平衡状态设系统状态方程为，若对所有，状态满足，则称该状态为平衡状态，记为。故有下式成立由（4-24）在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由定义式可见，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。对不同类型的系统平衡点求解如下（4-24）

现在是40页\一共有215页\编辑于星期三41(1)线性定常系统的平衡点

方程(4-23)化成平衡状态应满足代数方程。解此方程，当A是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点。当A是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。（a）A为非奇异阵，原点是唯一平衡状态（b）A为奇异阵，还有其他平衡状态现在是41页\一共有215页\编辑于星期三42例： 注意：在t0时刻的平衡状态，指t≥t0时，所有满足A(t)x=0的状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。

由Ax=0，可知平衡状态为x1∈R,x2=0原点必为一个平衡状态。现在是42页\一共有215页\编辑于星期三43(2)非线性系统的平衡点方程的解可能有多个，视系统方程而定。如其平衡状态应满足式(4-24)，即得该系统存在三个平衡状态：现在是43页\一共有215页\编辑于星期三44例：

由平衡状态定义，令f(x1,x2)=0，可求得平衡状态现在是44页\一共有215页\编辑于星期三45注：★1、线性系统的任意平衡状态均可通过坐标变换将其移到状态空间原点，其稳定性是一致的。

不失一般性的，我们认为线性系统的平衡状态确定为xe=0，也就是说我们只取坐标原点作为平衡点进行研究。

2、对线性定常系统，可以认为是研究系统的稳定性；而对其他系统，只能认为是研究某一平衡态下的稳定性。现在是45页\一共有215页\编辑于星期三46

2.范数的概念李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。1）范数n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用||x

||表示，则现在是46页\一共有215页\编辑于星期三472）向量的距离长度称为向量x与xe的距离，写成当的范数限定在某一范围之内时，则记

上式有其几何意义，在三维状态空间中表示以xe为球心、以为半径的一个球域，可记为。现在是47页\一共有215页\编辑于星期三48

3.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性定义与工程上经典的定义不完全一致，在概念上有一些区别。下面分别介绍这些定义并指出它们之间的联系与差异。图4-1球域现在是48页\一共有215页\编辑于星期三49

如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作用，自平衡状态偏离后的系统响应。（a）自由响应有界；（b）自由响应有界，且最终返回原来初态；（c）自用响应无界。(a)(b)(c)李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为稳定、渐近稳定、不稳定。现在是49页\一共有215页\编辑于星期三501）李雅普诺夫意义下的稳定性定义4-3

对于系统，若任意给定实数，都存在另一实数，使当时，从任意初态出发的解满足，(t≥t0)则称系统的平衡状态是稳定的，其中是与有关的实数；若与t0无关，则称是一致稳定的。（4-26）现在是50页\一共有215页\编辑于星期三51几何意义上述定义中，范数划出了一个球域，它能将解的所有各点都包围在内。由此可以找到另一个对应球域，它的范数为，其中包含了初始状态x0允许取值的范围。李雅普诺夫意义下的稳定性是指从发出的轨线，在的任何时刻总不会超出。现在是51页\一共有215页\编辑于星期三52对于定常系统，δ与t0无关，此时稳定的平衡状态一定是一致稳定的。图4-2李氏稳定性示意图现在是52页\一共有215页\编辑于星期三532）渐近稳定性定义4-4对于系统，若任意给定实数，存在，使当时，从任意初态出发的解满足

且对于实数和任意给定的实数，对应地存在实数，总有则称平衡状态xe是渐近稳定的。（4-27）（4-28）现在是53页\一共有215页\编辑于星期三54几何意义

定义4-4指出，如果xe满足李雅普诺夫意义下的稳定性，并且从球域内出发的任意一个解，当时，不仅不会超出球域之外，而且最终收敛于xe，则为渐近稳定。显然，渐近稳定比稳定性有更强的性质，工程上常常要求渐近稳定，而把不是渐近稳定的运动与不稳定的运动同样看待。现在是54页\一共有215页\编辑于星期三55定义4-4

另一表述：如果平衡状态x0不仅是李雅普诺夫意义下稳定的，且从球域S(δ)出发的任意解x，时间趋于无穷大时，不仅不会超出球域S(ε)，而且最终收敛于平衡状态xe或其邻域，即则称平衡状态xe是渐近稳定的。几何含义注意，渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。现在是55页\一共有215页\编辑于星期三56x1x2s(δ)s(ε)x0渐近稳定

工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，系统又会回到原来的工作状态，这个状态正是我们设计系统时所期望的，也就是前面所说的平衡状态。

无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定，都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围xe的小范围内，能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于从s(δ)外的状态出发的运动，却完全可以超出s(ε)。因此，上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。现在是56页\一共有215页\编辑于星期三57

而从实用观点出发，仅仅判知系统是小范围渐近稳定的，系统不一定能正常工作，一旦实际存在的干扰，使系统的初始状态偏离而超出s(δ)的范围，就会导致x有可能不返回xe。解决办法是确定渐近稳定的最大范围。然后把实际干扰的大小限制在此范围内。实际上，此范围的确定非常困难，且限制干扰的大小，也不一定能做到。因此，工程上对大范围渐近稳定更感兴趣。现在是57页\一共有215页\编辑于星期三58图4-3渐近稳定性的几何解释和变化轨迹现在是58页\一共有215页\编辑于星期三593）大范围渐近稳定性定义4-5如果系统在任意初态下的每一个解，当时，都收敛于，那么系统的平衡状态叫做大范围渐近稳定的。实质上，大范围渐近稳定是把状态解的运动范围和初始状态的取值范围扩展到了整个状态空间。对于状态空间中的所有各点，如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则该平衡状态称为大范围渐近稳定的。现在是59页\一共有215页\编辑于星期三60由各状态点出发的轨迹都收敛于xe，这类系统的状态空间中不存在其它渐近稳定的平衡状态，这也是大范围渐近稳定系统的必要条件。对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。一般来说，渐近稳定是个局部的性质。在控制工程中，通常总是希望系统具有大范围稳定的特性。现在是60页\一共有215页\编辑于星期三61大范围渐近稳定

如果系统在任意初始条件下的解x

，当t→∞的过程中，收敛于平衡状态xe或其邻域，则平衡状态xe是渐近稳定的，且其范围包含整个状态空间，则称xe是大范围渐近稳定，或称全局渐近稳定的平衡状态。

大范围渐近稳定的必要条件是：状态空间中系统中只有一个平衡状态。（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）例：

可知零状态必然是系统的平衡状态，而若零状态渐近稳定，因为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。可见，线性系统稳定性与初始条件无关。现在是61页\一共有215页\编辑于星期三624）不稳定性

定义4-6如果对于某个实数>0和任一实数δ>0，当时，总存在一个初始状态x0，使则称平衡状态xe是不稳定的。几何意义：对于某个给定的球域，无论球域取得多么小，内部总存在着一个初始状态x0，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域。，(t≥t0)(4-29)现在是62页\一共有215页\编辑于星期三63图4-4不稳定几何解释和轨线在二维空间中，不稳定的几何解释和轨线变化如图4-4所示。现在是63页\一共有215页\编辑于星期三64对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然越出了，但是并不意味着轨迹一定趋向无穷远处例如对于非线性系统，轨迹还可能趋于以外的某个稳定平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋于无穷远。现在是64页\一共有215页\编辑于星期三65几种典型情况就可用能量观点来说明其稳定性：图4-5(a)平衡点所具有的势能是最小的，其附近的势能都比它大，也就是说，平衡点附近的势能变化率为负，所以该平衡点是稳定的，而且是大范围渐近稳定的。图4-5(b)平衡点所具有的势能最大，其附近各点的势能都比它小。现在是65页\一共有215页\编辑于星期三66换句话说，平衡点附近的能量对平衡点的变化率是增加的，为正，所以该平衡点是不稳定的。图4-5(c)各点所具有的能量都相同，这就是通常说的随遇平衡，在李亚普诺夫意义下，任意点都是大范围稳定。图4-5(d)是局部渐近稳定的，图4-5(e)为局部不稳定。图4-5平衡状态稳定性示意图现在是66页\一共有215页\编辑于星期三67局部渐近稳定局部不稳定稳定不稳定大范围渐近稳定局部稳定现在是67页\一共有215页\编辑于星期三681.线性定常系统：任一孤立平衡状态，都可通过坐标变换移到状态空间的原点，分析原点的稳定性具有代表性。2.非线性系统：各个平衡点的稳定性不同，应该分别分析各平衡状态xe的稳定性。3.稳定只要求状态轨迹在球域s(ε)中，而渐近稳定要求x最终收敛于或无限接近于平衡状态xe。4.实际中希望xe为大范围渐近稳定。5.对于线性系统：若平衡状态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定。6.在经典控制理论中的稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统；在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。

结论（重要）现在是68页\一共有215页\编辑于星期三69例解令u=0，系统的平衡状态为

xe1=任意值现在是69页\一共有215页\编辑于星期三70输入信号为0时，状态方程的解为

在t→∞的过程中，由于系统的解x不是收敛于平衡状态

xe，系统是稳定的，但不是渐近稳定的。实际上，只要每个特征值均具有负实部，则每个状态分量的零输入解将衰减为0，即收敛于0平衡状态，系统是渐近稳定的。★

实际上，由于是线性系统，分析原点的平衡状态的稳定性即可。现在是70页\一共有215页\编辑于星期三71例直接用定义判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性解：令u=0，系统的平衡状态为系统0输入的状态解为系统渐近稳定现在是71页\一共有215页\编辑于星期三72系统状态稳定，系统的输出为系统的总输出=输入激励的响应。系统的输出稳定。A阵特征值λ1=-2，λ2=-3，可知渐近稳定，外部稳定。实际上可以直接判断：现在是72页\一共有215页\编辑于星期三73注意：1、对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的给定范围的渐近稳定。2、稳定含义之间的区别经典控制理论(线性系统）不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)<0)Lyapunov意义下不稳定稳定渐近稳定现在是73页\一共有215页\编辑于星期三74在经典控制理论中，只有线性系统稳定性才有明确的意义，对于非线性系统，只能研究一些局部具体问题。李雅普诺夫给运动稳定性下了严格的定义，概括了线性及非线性等各类系统的一般情况。4.2李雅普诺夫稳定性理论

前面介绍的李氏稳定理论，主要给出系统稳定的几种定义，本节讨论李雅普诺夫第一法和第二法，以及普遍意义的稳定性判别定理。现在是74页\一共有215页\编辑于星期三754.2.1李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。

现在是75页\一共有215页\编辑于星期三761.线性定常系统状态方程解的特性取决于系统的状态转移矩阵，在讨论线性定常系统的稳定性时，按照经典理论的思路，可以不必求出状态转移矩阵，而直接由系统矩阵A的特性值判断系统的稳定性。定理4-7线性定常系统，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的特征值均具有负实部，即，(i＝1，2，…，n)（4-30）现在是76页\一共有215页\编辑于星期三77例

判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性解：直接判断系统状态x1不稳定。系统的输出稳定。现在是77页\一共有215页\编辑于星期三78例判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性极点-3具有负实部，是输入输出稳定的。解：1）外部稳定性（输入输出稳定性）现在是78页\一共有215页\编辑于星期三792）内部稳定性分析由

系统非渐近稳定，但是输入输出稳定。因为存在零极点对消，消掉了具有正实部的特征值λ=2。现在是79页\一共有215页\编辑于星期三802.线性时变系统对于系统，由于矩阵不再是常数矩阵，故不能应用特征值判据，需用状态转移矩阵中各元素均趋于零，不论取何值，当时，中每项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。若采用范数的概念来分析稳定性问题，则将带来极大方便，故首先引出矩阵范数的定义。现在是80页\一共有215页\编辑于星期三81

定义4-7

如果把矩阵A的全体看作是一个向量空间，那么也可把每一个矩阵视为向量空间中的一个向量。这样，矩阵A的范数可定义为上式的结果也是一个标量，表示将矩阵中每个元素取平方和后再开方。（4-31）

现在是81页\一共有215页\编辑于星期三82应用范数的概念讨论系统稳定性时，可以这样叙述：如果趋近于零，及矩阵中各元素均趋近于零，则系统在原点处是渐近稳定的。现在是82页\一共有215页\编辑于星期三83

定理4-8

线性时变系统，其状态解为，根据李氏稳定性定义，有下列稳定性充分条件：若存在某正常数N(t0)，对于任意t0和t≥t0，有≤N(t)则系统稳定；有≤N

（4-32）

（4-33）

现在是83页\一共有215页\编辑于星期三84则系统一致稳定；有则系统渐近稳定。若存在某常数N>0，C>0，则对任意t0和t≥t0，有

则称系统一致渐近稳定。（4-34）

（4-35）

≤现在是84页\一共有215页\编辑于星期三85按照李雅普诺夫关于稳定性的诸定义证明前三项结论是很容易的。对于最后一项，实际上是二、三两项的组合，因为≤≤N

满足了一致稳定条件；又因为所以有满足了渐近稳定条件。（4-36）

（4-37）

（4-38）

现在是85页\一共有215页\编辑于星期三863.非线性定常系统

实际系统常常是非线性的，为了便于研究，常常用微偏线性化的方法处理，也就是用与它近似的线性系统代替它。但是，运动的稳定性有严格的定义，不是一个可以用某种近似计算来处理的工程问题。那么，用一个线性系统近似地代替非线性系统，会不会在运动稳定性问题上得出错误的结论呢？这是一个需要严格论证的问题。现在是86页\一共有215页\编辑于星期三87

定理4-9

设非线性定常系统的自治状态方程为，对状态向量有连续的偏导数，在平衡状态处展成泰勒级数，则得式中，雅可比矩阵，它定义为（4-39）（4-40）

现在是87页\一共有215页\编辑于星期三88其中，包含对的二次及二次以上的高阶导数项。取展开式的一次近似式，得线性化方程为(1)若的特征值都具有负实部，则系统是在的足够小邻域内渐近稳定的。线性化过程中被忽略的高于一阶的项不会使运动变成不稳定。(2)若的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论被忽略的高阶导数项如何，系统的平衡状态总是不稳定的。现在是88页\一共有215页\编辑于星期三89(3)若的特征值中，没有正的实部但至少有一个实部为零，此时原非线性系统不能用线性化方程来判断其稳定性，平衡状态小范围局部稳定性取决于被忽略的高阶项，若要研究原系统稳定性，必须分析原始非线性方程。现在是89页\一共有215页\编辑于星期三90例4-1设非线性系统方程为则在的平衡点，其线性化方程的矩阵为现在是90页\一共有215页\编辑于星期三91特征方程为特征根为一对虚根，，对应临界情况，它不代表原非线性系统稳定性。现在是91页\一共有215页\编辑于星期三92例

分析系统平衡态的稳定性。

2.线性化3.求线性化后的特征根4.由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部，系统在平衡状态处渐近稳定。解：1.求系统的平衡状态现在是92页\一共有215页\编辑于星期三93李雅普诺夫第一法的意义和贡献在于它使线性化研究方法有了坚实可靠的理论基础，从而使线性化研究方法在工程上成为现实可行的。现在是93页\一共有215页\编辑于星期三94线性离散系统稳定性分析定理

线性定常离散系统的零平衡状态xe是渐近稳定的充要条件是：系统矩阵G阵的所有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即现在是94页\一共有215页\编辑于星期三95例试确定系统在原点的稳定性

G阵的所有特征值的模都小于1，加上系统只有一个平衡状态，因此此离散系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。解求离散系统的特征值现在是95页\一共有215页\编辑于星期三964.2.2李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称李雅普诺夫直接法。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。通常，求非线性系统和时变系统的状态方程的解是很困难的，所以直接法显出更大的优越性，它不但适用于任意阶系统，而且是确定非线性系统和时变系统稳定性的更为一般的方法。现在是96页\一共有215页\编辑于星期三971.李雅普诺夫第二法中的二次型函数在李雅普诺夫第二法理论分析中，用到了一类重要的标量函数，即二次型函数。1）二次型函数的定义及其表达式（1）二次型函数的定义代数式中常见的一种多项式函数为其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次多项式或二次型。以上是对只含有两个变量

现在是97页\一共有215页\编辑于星期三98x和y的二次函数来说的；如果将变量个数扩展到n，仍具有相同的含义。定义4-8

设R是n维实空间，是它的一组基，x∈R，且则变量的二次齐次多项式称为R内关于基的一个二次齐次式或二次型。（4-41）

现在是98页\一共有215页\编辑于星期三99由于多项式的同类项可以合并，在式（4-41）中，当i≠j时，与为同类项，合并后可再平分系数分项，整理成对称系数，即例如

可见，任一二次型都可以整理成相应交叉项系数相等的对称形式。现在是99页\一共有215页\编辑于星期三100（2）二次型的矩阵表达式将二次型（4-41）式写成（4-42）现在是100页\一共有215页\编辑于星期三101其中是由各项系数排成的一个n×n矩阵，称为二次型（4-42）的矩阵。因为aij=aji，故A=AT为一对称矩阵。显然，二次型完全由矩阵确定。因此，二次型和它的矩阵是相互惟一决定的。矩阵的秩称为二次型的秩。现在是101页\一共有215页\编辑于星期三102例4-2

可见，任一二次型通过整理，都可以化成式（4-42）的矩阵形式，但它们代表一个标量函数。现在是102页\一共有215页\编辑于星期三103（3）二次型的标准型

只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如它是二次型中最简单的一种形式。根据线性代数理论，二次型具有以下性质：①二次型经线性非奇异变换后变成另一个二次型，但它们的矩阵都是对称矩阵，且秩相同。

现在是103页\一共有215页\编辑于星期三104②任意一个二次型都可以经过非奇异线性变换化成标准型，标准型的矩阵是对角阵。③二次型的标准型不是惟一的。④二次型函数（设是实对称矩阵），必存在一个正交矩阵，通过变换现在是104页\一共有215页\编辑于星期三105使之化为（4-43）

其中，—对称阵的特征值，且均为实数。现在是105页\一共有215页\编辑于星期三1062）标量函数的定号性设是欧氏状态空间中非零向量，是向量的标量函数。(1)如果对所有在域中的非零向量，有，且在处有，则在域内称为正定的，即例如，正定。（4-44）

现在是106页\一共有215页\编辑于星期三107(2)如果标量函数除了在原点以及某些状态处等于零外，在域内其余状态处都是正的，则称为正半定的，即例如，正半定。(3)如果是正定的，则称为负定的，即例如，负定。（4-45）

（4-46）

现在是107页\一共有215页\编辑于星期三108(4)如果是正半定的，则称为负半定的，即（4-47）例如，负半定(5)如果在域内，即可正也可负，则称为不定的。例如，不定。现在是108页\一共有215页\编辑于星期三1093）二次型标量函数定号性判别准则对于为实对称矩阵的二次型函数的定号性，可以用赛尔维斯特(Sylvester)准则来判定。（1）正定：二次型函数为正定的充要条件是，阵的所有各阶首主子行列式均大于零，即（4-48）

现在是109页\一共有215页\编辑于星期三110（2）负定：二次型函数为负定的充要条件是阵的各阶首主子行列式满足，即（3）正半定：二次型函数为正半定的充要条件是阵的各阶首主子行列式满足现在是110页\一共有215页\编辑于星期三111（4）负半定：二次型函数为负半定的充要条件是阵各阶首主子行列式满足

（5）实对称矩阵的定号性，由赛尔维斯特准则知，二次型的定号性由阵的主子式来判别，故定义阵的定号性与一致，则阵定号性的讨论现在是111页\一共有215页\编辑于星期三112可代表定号性的讨论。设二次型函数，则定义如下：当是正定的，称是正定的，记为；当是负定的，称是负定的，记为；当是正半定的，称是正半定的，记为；当是负半定的，称是负半定的，记为。现在是112页\一共有215页\编辑于星期三113例4-3

已知，试判定是否正定。解

阵的各阶主子式为

所以是正定的。现在是113页\一共有215页\编辑于星期三1144）李雅普诺夫函数李氏第二法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量（含动能和势能）随时间增长而连续地衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的邻域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直到平衡状态处达到最小值。现在是114页\一共有215页\编辑于星期三115

若能找到一个完全描述上述过程的所谓能量函数，则系统的稳定性问题也就容易解决了。可是，由于系统的形式是多种多样的，不能找到一种定义“能量函数”的统一形式和简便方法。为了克服这一困难，李雅普诺夫引出了一个虚构的广义能量函数，这个函数具有能量的含义，但比能量更为一般，它有如下一些基本特征：

现在是115页\一共有215页\编辑于星期三116①能量函数一定是状态变量的函数。因为状态变量可以对系统的动态行为进行完全描述，因此能量函数也一定是状态变量的函数。②是正定的③具有连续的一阶偏导数。根据以上特征构造一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，然后根据的符号特征来判断平衡状态处的稳定性。对于一个给定的系统，如果能找到一个正定的标量函数，直接利用及的符号特征判别出平衡状态处的稳定性，则这标量函数就称为李雅普诺夫函数。现在是116页\一共有215页\编辑于星期三1172.李雅普诺夫第二法

定理4-10

设系统的状态方程为，其平衡状态为。如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，在围绕状态空间原点的一个域内，使得对于非零状态和所有，满足条件：①是正定且有界，②是负定且有界，则系统原点的平衡状态在域内是一致渐近稳定的。

现在是117页\一共有215页\编辑于星期三118如果对状态空间中所有非零初始状态满足上述条件，且当时，有，则在原点处的平衡状态是在大范围一致渐近稳定的。现在是118页\一共有215页\编辑于星期三119定理的几点解释：（1）定理的物理意义：一个系统的自由运动过程，是因为其内部储存能量的缘故。例如，位移动能、旋转动能、电能、磁能。李雅普诺夫函数实际上是参照了物理系统的一般能量函数形式而构成的，它突出了两个特点：一是物理系统储存的能量显然总是正值，即；二是若能量是在不停地消耗，则。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。此观点明显符合渐储能元件电容C电感L质量M转动惯量J弹簧K能量方程Cu2/2Li2/2Mv2/2Jω2/2Kx2/2物理变量电压u电流i速度v转速ω长度变化x现在是119页\一共有215页\编辑于星期三120近稳定性的定义。（2）定义的几何意义：设x是n维向量，若存在表征能量的函数，取一常值，显然在状态所处的维空间中围成一个封闭的超曲面。当时，，于是这时的也使封闭超曲面扩展到整个状态空间，而将的所有状态均包含在内。讨论二维空间的情况，设李氏函数为二次标准型，则有现在是120页\一共有215页\编辑于星期三121若令，取一系列常值，则能量函数代表了不同能量的等值线，其几何形状为以原点为中心、以为半径的同心圆族。越逼近圆心，半径越小，代表的能量越小，当时，收敛于原点。当时，有，所以圆族可以扩展到整个状态平面。若，表示随着时间的推移，状态轨线与等值线不断相交，且从每个圆外向圆内穿过，最后当时，收敛于原点，如图4-6。现在是121页\一共有215页\编辑于星期三122图4-6能量等值线族于点型轨线（3）该定理给出了渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的，则系统一定是一致渐近稳定的。但如果找不到这样的，也并不意味着系统是不稳定的，何况对于复杂的系统。要想找到一个李雅普诺夫函数可能是十分困难的。退一步说，即使能否定李氏函数的存在，也不能就此断定系统现在是122页\一共有215页\编辑于星期三123不稳定。（4）李雅普诺夫函数的存在形式并不是惟一的，其中最简单的形式是二次型函数但在一般情况下，不一定都是这种简单形式，只有线性系统才具有二次型的形式。（5）此定理的适用范围十分广泛，对于线性系统、非线性系统时变系统及定常系统都具有同等作用，是一个最基本的稳定性判据定理。现在是123页\一共有215页\编辑于星期三124说明：

能量及能量的变化率表明，一旦系统因干扰偏离xe(x1≠0，x2≠0)，若系统具有正能量，将产生自由运动。若沿着状态矢量的运动轨迹时，系统能量又具有负的变化速度。这意味着，随时间增长，能量将不断耗散，从而趋于能量最小的平衡状态xe

，直至能量消耗殆尽，最后回到能量等于0的平衡状态xe，因此系统渐近稳定。反之，如果在运动中，系统能量具有正的变化速度，系统将不断从外界吸收能量，能量越来越大，肯定不稳定。现在是124页\一共有215页\编辑于星期三125

李雅普诺夫第二法又称直接法，从能量的观点来研究物理系统的稳定性问题。其基本思想是：系统所具有能量是状态矢量x的标量函数。平衡状态具有的能量最小。

对于一般系统，引入一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，一般与状态变量和时间有关V（x，t）；若不显含t

，记为V（x）。

李氏第二法利用系统的能量函数V（x）和的正负去判断系统的稳定性。二者均是x的标量函数。现在是125页\一共有215页\编辑于星期三126判据一

xe是平衡状态，如果存在一个对t具有一阶连续偏导数的标量函数V(x,t)且满足以下条件

设系统状态方程为此外，若||x||→∞，有V(x,t)→∞，则系统在xe处大范围渐近稳定。1）V(x,t)>0,正定；2） ,负定；则系统在xe处渐近稳定。x1x2xe现在是126页\一共有215页\编辑于星期三127例4-4a为正实数，试分析系统稳定性。

解：若应用李氏第一法：1.求系统的平衡状态2.线性化3.求线性化后的特征根4.由于系统的特征根实部为0，系统在平衡状态处稳定性无法判断，只能用李氏第二法。现在是127页\一共有215页\编辑于星期三128解二：用李氏第二法1）求平衡状态2)选取V(x)为正定的二次型

由判据一可知,系统在0平衡状态是渐近稳定的；由于||x||→∞，有V(x,t)→∞，系统也是大范围渐近稳定。现在是128页\一共有215页\编辑于星期三129例

给定线性时变系统，判定其原点xe=0是否是大范围渐近稳定。系统在原点处大范围渐近稳定。

t≥0解取正定矩阵则系统李亚普诺夫函数，及其对时间t的导数分别为现在是129页\一共有215页\编辑于星期三130例

试确定离散系统在原点的稳定性。由于离散系统不存在能量函数对时间的导数，而是代之以能量函数的增量解取正定实对称矩阵P为则系统能量函数为系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的现在是130页\一共有215页\编辑于星期三131例4-5

设系统的状态方程为试确定平衡状态的稳定性。

解方程为线性方程，写成矩阵形式为

由于矩阵为非奇异常数矩阵，所以系统的平衡状态是惟一的，位于原点。现在也选现在是131页\一共有215页\编辑于星期三132取标准二次型为李氏函数，即按定理4-10要求，不能作为该系统的李氏函数，也就是说，应用这个来判别，由定理4-10得不出系统稳定性的结论。其原因在于要求是负定的，这就提出了一个问题：能否根据负半定的条件，直接判定系统稳定性？李雅普诺夫给出定理4-11的形式。（正定）（负半定）

现在是132页\一共有215页\编辑于星期三133定理4-11

设系统的状态方程为，假定平衡状态，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，在围绕状态空间原点的一个域内，使得对于非零状态和所有，满足条件：①是正定且有界，②是负半定且有界，③对任意和所有，在时不恒等于零，则系统原点的平衡状态在域内是一致渐近稳定的。

现在是133页\一共有215页\编辑于星期三134如果对状态空间中所有非零初始状态满足上述条件，且当时，有，则在原点处的平衡状态是在大范围一致渐近稳定的。定理4-11的证明从略。但强调说明如下。现在是134页\一共有215页\编辑于星期三135定理4-11中为什么附加了条件③就可以满足渐近稳定的要求呢？这是因为是描述能量函数的衰减变化速率的，系统若要稳定，负的变化率就必须保持，直至衰减到0。若条件②只要求是负半定的，则在时，可能会出现，此时对应于有两种可能的情况：（1）恒等于零，此时，表示能量保持常量不再变化，即意味着状态运动轨迹保持在等值线上不会趋向原点。非线性系统中的极限环便属于这种现在是135页\一共有215页\编辑于星期三136情况（二维相平面）。此时系统一定不是渐近稳定的，见图4-7（a）。图4-7轨线相切于能量等值线现在是136页\一共有215页\编辑于星期三137（2）不恒等于零，只在某个时刻暂时为零，而其它时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止，故状态的运动轨线不会停留在某一定值上，必须要趋向于原点，所以系统一定是渐近稳定的，见图4-7（b）。按照定理4-11条件③讨论例4-5中负半定的情况，即。当，即当时，会出现式中，*表示任意非零值。现在是137页\一共有215页\编辑于星期三138由于此时有上式说明，由于的变化率不等于零，即的值不会停留在某一常值上，故中是暂时的［见图4-7（b）中切点］，不会恒等于零。因此，也不会恒于零。按照定理4-11，系统是大范围渐近稳定的。现在是138页\一共有215页\编辑于星期三139例

分析非线性系统的稳定性。

1)系统的平衡状态为xe=02)选择能量函数由判据二可知，系统在平衡状态是稳定的。现在是139页\一共有215页\编辑于星期三1403)考察在系统方程的非零状态运动轨迹上是否恒为零。假设意味只有零平衡状态才满足。

与假设条件矛盾，故假设情况不会发生在方程的解运动轨迹上。因此，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。现在是140页\一共有215页\编辑于星期三141

定理4-12

设系统的状态方程为，假定平衡状态，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，满足条件：

(1)是正定且有界，

(2)是负半定且有界，则系统原点的平衡状态在域内是李雅普诺夫意义下的一致稳定。定理4-12的证明从略，但强调说明如下。

现在是141页\一共有215页\编辑于星期三142由于定理包含了在某一值恒等于零的情况，其含义同定理4-11中的说明“（1）”，此时的，系统的能量不再变化，故系统的运动不会趋于原点，而保留在某个极限环上，处于稳定的等幅振荡状态。故系统满足李氏意义下的一致稳定，但不是渐近稳定。现在是142页\一共有215页\编辑于星期三143例4-6

设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解显然，原点为系统的平衡状态。选二次型正定函数为李氏函数，即可见，在任意给定的值上均保持为零。系统在李雅普诺夫意义下是稳定的，但非渐近稳定。

现在是143页\一共有215页\编辑于星期三144

定理4-13

设系统的状态方程为，且平衡点，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数。且满足条件：①是正定的，②是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。

现在是144页\一共有215页\编辑于星期三145

定理4-13的证明从略，但强调说明如下:当存在