数学概念及其教学市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学概念及其教学数学概念概述数学概念学习心理分析数学概念教学基本要求和教法探讨第1页第1页数学概念概述数学概念意义

反应数学对象本质属性思维形式叫做“数学概念”。“属性”与“本质属性”；概念及其名称和符号数学概念产生和发展路径（1）从现实模型直接得来；（2）通过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；数量关系和空间形式第2页第2页概念内涵和外延概念内涵亦称内包，指概念所反应对象特有属性、本质属性。概念外延亦称外包，指概念所反应对象总和。例：“△ABC顶点”内涵是指点性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；外延是指A、B、C三点集合。注：（1）数学概念内涵和外延是在一定数学科学体系中来认识。比如，角概念在平面几何中和在平面三角中内涵和外延均不同。（2）概念内涵和外延是发展第3页第3页概念间关系（概念外延间同异关系）1、相容关系（1）同一关系（全同关系或重合关系）外延完全重合，内涵能够不同。比如：数0是扩大自然数集中最小数，又是正数与负数分界数，在数运算中它又是两个相等数差等；等腰三角形底边上高线、中线以及顶角平分线外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。注：研究概念间同一关系，能够对概念所反应对象得到较深刻、较全方面认识。另外，在推理证实中含有全同关系概念能够相互代换，使得论证简明。第4页第4页（2）隶属关系假如甲概念外延真包含乙概念外延，以下图所表示，那么，这两个概念含有隶属关系。其中，外延较大那个概念叫做属概念，外延较小那个概念叫做种概念。这两个概念外延和关系能够写成注：内涵和外延反比关系正方形内涵矩形内涵平行四边形内涵四边形内涵正方形外延矩形外延平行四边形外延四边形外延第5页第5页（3）交叉关系假如两个概念外延有且只有部分重合，那么这两个概念含有交叉关系或者叫做部分重合关系，以下图。用集合符号表示概念交叉关系，可设两个概念外延分别是集合和集合，假如是非空集合而且不是，那么这两个概念含有交叉关系。例：（1）整数和整数（2）等腰三角形和直角三角形第6页第6页（4）不相容关系（全异关系）假如两个概念外延间没有任何一部分重叠关系，那么这两个概念含有全异关系，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。全异关系又分为反对关系和矛盾关系。矛盾关系反对关系第7页第7页概念定义和原始概念把概念内涵用语言表示出来，就是给概念下定义。原始概念

点、线、面、空间、集合、元素、相应等。数学中惯用几种定义方式（1）属概念加种差定义方式四边形+两组对边分别平行=平行四边形（2）发生定义方式在平面上，射线绕它端点旋转所成图形叫做角。第8页第8页（3）揭示外延定义方式整数和分数统称为有理数。（4）商定式定义我们要求“”。第9页第9页下定义基本要求（1）定义应当相称无理数：有理数开不尽方根。×

平行线：两条不相交直线。×（2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）（3）定义普通不用否认形式不是有理数数是无理数。×（4）定义应当简明两组对边平行平面四边形是平行四边形。四个角都是直角平行四边形叫做矩形。（5）定义普通不用比方说法第10页第10页概念划分和分类把一个属概念分为若干个不相容种概念逻辑办法叫做概念划分。

概念分类是划分特殊形式，是依据概念所反应对象本质属性或特性所进行划分。概念分类要求：（1）排中律（2）同一律（3）无矛盾律（使用同一原则，逐层分类等）第11页第11页数学概念特点概括性逻辑性抽象性多质性发展性第12页第12页数学概念学习心理分析概念学习基本形式1.概念形成概念形成就是让学生从大量同类事物不同例证中独立发觉同类事物本质属性，从而形成概念。因此，数学概念形成实质上是抽象出数学对象共同本质特性过程。可概括以下：（1）区分各种刺激模式，经过比较，在知觉水平上进行分析、识别，依据事物外部特性进行概括。第13页第13页（2）分化出各种刺激模式属性。（3）抽象出各个刺激模式共同属性。（4）在特定情境中检查假设，确认关键属性。（5）概括，形成概念。（6）把新概念共同关键属性推广到同类事物中去。（7）用习惯形式符号表示新概念。第14页第14页“函数”概念形成过程：1、观测实例，写出变量间关系表示式：（1）以每小时80千米速度匀速行使汽车，所驶过路程和时间（2）由某一天气温改变曲线所揭示气温和时刻（3）用表格给出某水库贮水量与水深。2、找出上例中两变量之间关系共同本质3、区别正反例，找出本质属性（一一相应）4、概括出函数定义5、练习巩固成形第15页第15页

教学过程中需注意：（1）提供刺激模式应当是正例，并且数量要恰当；（2）注意选择那些刺激强度适当、改变性大和新奇有趣例子；（3）让学生进行充足自主活动，使他们经历概念产生过程，理解概念产生条件，把握概念形成规律；（4）在确认了事物关键属性，概括成概念以后，教师应采用适当办法，使学生认知结构中新旧概念分化，以免造成新旧概念混淆，新概念被旧概念所湮没；第16页第16页（5）必须使新概念纳入到已有概念系统中去，使新概念与认知结构中已有起固着点作用相关概念建立起实质和非人为联系；（6）教师语言中介作用很大，由于教师语言引导能够使学生愈加有放矢地对概念详细事例进行分析、归纳和概括；（7）教师一定要扎扎实实地引导学生完毕概念形成每一个环节。第17页第17页2.概念同化概念同化学习形式是利用学生认知结构中原有概念，以定义方式直接向学生揭示概念本质属性。由奥苏伯尔故意义接受学习理论可知，要使学生故意义地同化新概念，必须：

第一，新概念含有逻辑意义；第二，学生认知结构中具备同化新概念适当知识；第三，学生积极积极地使这种含有潜在意义新概念与他认知结构中相关观念发生互相作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中相关知识进一步分化和融会贯穿。第18页第18页概念同化阶段（1）揭示概念关键属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，讨论这个概念所包括各种特例，突出概念本质特性；（3）使新概念与已有认知结构中相关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念；（4）用必定例证和否认例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中相关概念分化；（5）把新概念纳入到相应概念体系中，使相关概念融会贯穿，构成一个整体。第19页第19页如“一次函数”概念给出名称、定义、符号：函数特例：等把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较用必定、否认例证让学生辨认：第20页第20页

教学过程中要注意：（1）同化方式学习概念，事实上是用演绎方式来理解和掌握概念。由于它是从抽象定义出发来学习，因此应注意及时利用实例，使抽象概念取得详细例证支持；（2）学习中必须通过概念分类这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解；（3）在引入概念同时，要求学生掌握一定智力动作，以预防出现知道概念定义而不知如何将它用于解题情况；第21页第21页（4）为学生及时提供应用概念进行推理、论证机会，在应用中强化概念，以预防由于没有经历概念形成原始过程而出现概念加工不充足、理解不深刻情况；（5）一定要将所学概念纳入到已有认知结构中，形成概念系统。第22页第22页概念教学基本要求和教法探讨概念引入——概念明确——概念系统化——概念利用1、概念引入（1）原始概念普通采用描述法和抽象化法或用直观阐明或指明对象办法来明确。“针尖刺木板”痕迹引入“点”、用“拉紧绳”或“小孔中射入光线”来引入“直线”办法是直观阐明法，“1，2，3，···叫做自然数”是指明对象法。第23页第23页（2）对于用概念形成来学习概念普通可通过观测实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准拟定义。（3）对于用概念同化来学习概念（a）用属加种差定义概念新概念是已知概念特例，新概念能够从认知结构中原有含有较高概括性概念中繁衍出来。（b）由概念推广引入概念讲清三点：推广目的和意义；推广合理性；推广后愈加广泛含义。第24页第24页（c）采取对比喻法引入新概念当新概念与认知结构中已经有概念不能产生从属关系，但与已经有旧概念有相同之处时可采取此法。关键是讲清不同之处，预防概念负迁移。（d）依据逆反关系引入新概念多项式乘法引入多项式因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。关键是讲清逆反关系。第25页第25页(4)发生式定义通过观测实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出结构过程，即揭示出定义合理性。2、概念明确定义必要理解；表示概念名称或符号正确使用；抓住掌握概念关键；举出必定例证和否认例证；充足揭示概念内涵；3、概念系统化4、概念利用和深化第26页第26页APOS理论指导下概念教学过程美国（杜宾斯）APOS理论Action（活动）Process（过程）Object（对象）Scheme（图式）代数式概念（1）通过运算活动，理解详细代数式

问题一有一列火车保持一定速度行使，每小时行使90km，这列火车行使路程与时间关系请填下表：时间123456路程第27页第27页问题二一些矩形，长是宽3倍，请填写下表：对于问题一，教师要引导学生能够得出表示“90□”，引导学生注意“□”表示是“时间”这一类意义数；对于问题二，让学生初步体会“同类意义”数表示各种关系。宽147.511长周长面积第28页第28页（2）过程阶段，体验代数式中过程教师提出下列问题：用字母符号代表“□”，如90t，与详细数有什么样关系？把各详细字母表示式子作为一个整体，含有什么样特性和意义？（需经重复体验、反思、抽象代数式特性：一个运算关系；字母表示一类数，如t和90t