热物理问题控制方程

热物理问题控制方程第一页，共64页。内容提要热物理问题的控制方程方程的物理分类方程的数学分类第二页，共64页。2.1热物理问题的控制方程热物理过程：流动、传热、传质、燃烧

三个基本的守恒定律： 质量守恒 动量守恒 能量守恒第三页，共64页。关于场论的一点复习梯度

散度

旋度第四页，共64页。2.1.1连续方程单位时间系统的质量增量=流入系统的净质量

+源项第五页，共64页。2.1.2动量方程(牛顿流体)单位时间内系统动量增量=外界流入净动量流率+体系外力之和第六页，共64页。分子粘性之外的粘性力广义源项第七页，共64页。2.1.3能量方程（用内能e表示）其中粘性耗散：单位时间内体系总能量增量=净能量流入率

+表面力做功+体积力做功第八页，共64页。用焓h表示第九页，共64页。用温度T表示对于固体和不可压流体：第十页，共64页。2.1.4化学组分方程约束条件：单位时间内某化学组分增量=对流、扩散净流率+化学反应产生率第十一页，共64页。2.1.5控制方程的通用形式非稳项对流项扩散项源项第十二页，共64页。2.2偏微分方程的物理分类和数学分类第十三页，共64页。2.2.1偏微分方程的物理分类第十四页，共64页。1.平衡问题平衡问题：其对应偏微分方程的定义域是一个封闭区域；定义域上每一点的解，依赖于封闭边界每一点上的边界条件。第十五页，共64页。平衡问题平衡问题不一定没有时间变量平衡问题的判断是基于是否定义在封闭边界内，或者说是基于控制方程是否为椭圆型方程第十六页，共64页。例2.1正方形导热体稳态温度分布第十七页，共64页。控制方程和边界条件第十八页，共64页。解析求解过程分离变量法得到系数：第十九页，共64页。Matlab求解该问题的演示运行Example2_1.m第二十页，共64页。数学上，平衡问题由椭圆型偏微分方程控制平衡问题例子：定常无粘不可压缩流动，稳态温度分布问题第二十一页，共64页。2.行进问题行进问题：亦称传播问题（propagationproblem），是一类瞬时问题（transientproblem）或类瞬时问题（transient-likeproblem）。这类问题对应的偏微分方程定义在开区域上，它们满足初始条件或者初始－边界条件，称之为初值问题或者初边值问题第二十二页，共64页。行进问题初值问题初边值问题第二十三页，共64页。行进问题数学上行进问题对应双曲型或者抛物型偏微分方程流体力学和热物理中，这类问题通常包括

对流问题

扩散问题 对流—扩散问题第二十四页，共64页。(1)对流问题对流问题：双向传播的一维声波传播、平面定常超音速流动、一维非定常等熵流动对应双曲型偏微分方程第二十五页，共64页。例2.2一维无界线性声波第二十六页，共64页。控制方程和初始条件第二十七页，共64页。求解过程引入坐标变换方程变为：积分：第二十八页，共64页。代入初始条件第二十九页，共64页。当满足

结果完全一样！第三十页，共64页。特征线对流问题：物理量传播的方向线第三十一页，共64页。依赖区和影响区过任意点P有两条特征线，构成两个特征区域，下游称为P点的影响区，上游称为P点的依赖区依赖区：为了唯一确定P点的值，依赖区上点的条件必须完全给定；影响区：当P点的值变化时，影响区内点的值也随着变化第三十二页，共64页。对线性波的情况(a=常数)，波形不变对于非线性波问题，波在传播中要变形若为压缩波，还可能逐渐发展成解为间断的激波第三十三页，共64页。(2)扩散问题例：非稳态导热、粘性流体中一个突然启动的作匀速运动的平板所引起的旋涡扩散控制方程对应数学上的抛物型方程第三十四页，共64页。例2.3一维导热杆的瞬态温度分布第三十五页，共64页。控制方程和初边条件第三十六页，共64页。精确解温度随时间呈指数衰减-具有耗散特性

第三十七页，共64页。特征线和依赖区任意时刻t，解域被垂直于行进方向轴的直线t=const区分为两个区域。此线称为该抛物型方程的特征线以此线为分界线，它的整个上游区域都是依赖区，整个下游区域均为影响区

第三十八页，共64页。（3）对流-扩散问题既包含对流，又有扩散，为对流扩散问题方程除了一阶的时间或类时间坐标导数外，含有一阶、二阶的空间导数项时间或类时间导数代表行进过程，一阶空间导数代表对流，二阶空间导数代表扩散

第三十九页，共64页。控制方程解的特征：非稳项对流项扩散项第四十页，共64页。物理分类

平衡问题

对流问题

行进问题扩散问题

对流扩散问题

第四十一页，共64页。2.2.2偏微分方程的数学分类

单个方程，多个方程单自变量，多自变量低阶导数，高阶导数第四十二页，共64页。二阶偏微分方程线性方程：系数a、b、c、d、e、f

均为常数或只是x、y的函数拟线性方程：系数仅为x、y、、x、y

的函数非线性方程：系数是xx、xy、yy的函数方程主部第四十三页，共64页。以下为线性方程的

数学分类方法第四十四页，共64页。引入坐标变换坐标变换的Jacobi

行列式转换为新坐标下的方程：第四十五页，共64页。系数最重要的特征：第四十六页，共64页。对于任何非奇异的坐标变换，的符号不变！线性方程的特征分类方法：第四十七页，共64页。三种类型方程形式的

简化和标准型式第四十八页，共64页。简化的方法是通过坐标变换

使方程的某些系数变成0其中系数A:

系数C：构造方程:假如：以此方程的一个特解作一个坐标，另一个特解作另一个坐标，则可简化为：A=C=0,B≠0

第四十九页，共64页。方程分类有两个特解只有一个特解没有实的特解第五十页，共64页。求解一阶方程改写为：定义隐函数

y(x)

第五十一页，共64页。特征方程和特征线是二阶线性偏微分方程的特征方程。特征方程的一般积分曲线，是其特征线！第五十二页，共64页。（1）双曲型方程积分双曲型方程的第二种标准型式当两族特征线方程变为以此为坐标系，则第五十三页，共64页。双曲型方程的第一种标准形式或

简称为标准形式

再引入坐标转化为第五十四页，共64页。物理实际数学上的双曲型方程对应物理上的对流传播问题二阶双曲型方程，过定义域上任意点，有两条实特征线构成两个特定区域—下游（前向）是影响区，上游（后向）为依赖区；特征线是物理量沿其传播的方向线，也是方程高阶法向导数的弱间断线；对非线性双曲型方程物理量在传播过程中可能形成间断。第五十五页，共64页。（2）抛物型方程当方程变为积分得到一族实特征线以此为坐标，则有A=0且B=0第五十六页，共64页。选取坐标转换：（积分得到实特征线）（构造得到非奇异坐标）抛物型方程的标准型式第五十七页，共64页。物理实际数学上的抛物型方程对应物理上的扩散问题；过定义域上任意点，只有一条实特征线将整个求解域区分为两个区域—下游（前向）是影响区，上游（后向）为依赖区物理量垂直于特征线的方向向前传播，并在瞬刻到达整个影响区，但受扰动的影响大小随传播距离迅速衰减，表明抛物型方程具有耗散性；穿过特征线，函数及其法向导数连续；对非线性抛物型方程，物理量在传播过程中不会形成间断，这是方程本身具有耗散特性所致第五十八页，共64页。（3）椭圆型方程当方程变为积分得到以此为坐标则第五十九页，共64页。引入坐标变换：椭圆型方程的标准型式第六十页