一阶线性微分方程_第1页
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文档简介

一阶线性微分方程第一页，共23页。5.3.1一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程为(利用分离变量法)齐次方程的通解为(5.12)第二页，共23页。例1求解初值问题：解方程写成第三页，共23页。线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比5.2.3一阶线性非齐次方程第四页，共23页。常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得第五页，共23页。一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解即非齐次通解

=齐次通解

+非齐次特解——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。通解y可以写成两部分之和：第六页，共23页。解方程变形为这里由公式，第七页，共23页。解方程变形为这是典型的一阶线性方程，于是方程的通解为第八页，共23页。解求导，得OxxyP(x,y)A(1,1)如图，依题意第九页，共23页。第十页，共23页。5.3.3可化为一阶线性方程的方程—Bernoulli方程Bernoulli方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第十一页，共23页。代入上式求出通解后，将代入即得第十二页，共23页。解方程可写成方程化为第十三页，共23页。练习用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第十四页，共23页。解分离变量法得所求通解为第十五页，共23页。解代入原式分离变量法得所求通解为另解这是关于x的一阶线形微分方程。第十六页，共23页。利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法.如齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、Bernoulli方程等都是通过变量代换来求解方程的。将变换为也是经常可以考虑的方法.第十七页，共23页。解如图，过P(x,y)的切线方程为第十八页，共23页。第十九页，共23页。第二十页，共23页。解用常数变易法求出另一个解.设是方程的

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