考研数学三历真题及答案

2003一填空题本共6小每题4分分24分.把案填在题中横线）（1设(x

xcosx0,

若,若,

其处_____.（）知线y

3

2

与x轴相切则b

可以过表为b

2

（f()g(x

a若x0其他

而表示全平面I

x)(y)dxdy（）n维向(,,

0,a)

T

,

；为n阶位阵，阵AE

1，a

，其的逆矩为，则（）设随机量X和的关数0.9,若ZX04，Y与Z相关系为_______.（体X服从参数为2的指数分布X,11n时YX依概率收于______.ini

,

n

为自总体X的简单随机样n二、选择（题小小4分满分24分每小题出的四选项中，只有项符合目求把所选项前的字母填在题后的括号内（1）设f(x)为恒等零奇数且f

存在，则函数x)

f(x)x(A)在x=0处左不在(B)跳断x=0.(C)在x=0处右不在(D)有可断[（）设可微数在点(x,y)

取得小值则列结论正确是(A)

(xy0

在y0

处导数等于零.（）fxy0

在y0

处的数大于.(C)

(xy0

在yy0

处导数小于零.(D)

(xy0

在yy0

处导数不存.[]（）设

aa2

，qn

an

n

，n,,，下列题正的(A)若

a

n

条件收，

p

n

与

q

n

都收敛n

n

n(B)若绝对收敛，则与都敛nnn

n

n(C)若件收敛，则与敛散性都不定nnn

n

n若绝对敛，则与敛散性都定]nnnn

n

n

bb

（）设三阶矩阵ba，若的随矩阵为则有a(A)a=b或a=b或(C)且(D)a且[]（）设,,2

均为维，结正是(A)若对于任一组不为的数,有k1s12s12线性关

(B)若

,

线性相关，则对于任意一组不全为零的数,k,k，都有1s

0.112ss(C)

线无的充必要件是向量组的秩为

,

线性无关的必条件是中意两个量性无关]（6）一硬独地两，进件：第一次出现正}，={掷第二出正面，12={正反面各出现一}，={正出现两次则事件(A)(C)

相立(B)23,,A两(D)

A,A,A相立3AA,两]34三题满分8分）设1试充定义使在[]续2四分分）设具有阶续偏导数且足

f

f

，,y)f[xy,(x

2

2

)]

,nng

.五题满分8分）计算二积其中积区

{(x,yx

2

2

六题分分求幂数

n

n

22n

)

的和数f(x)其极值题分分）设F(x)=f(x)g(x),其中数(以条件f

(x)(x，

(x)(x)，f(0)=0,

f(x)(x)2

x

.f

求所足的一阶微分程求F(x)的表式题分分）设数在，3]连续，在03）内可导，且f(3)=1.试必存在0,3，九题满分分已知次性程其

a

i

0

试论a,a和b足种关时2ni方程组；方组有非零解.在有非零解时，求此方程组的个基解系题分13分设二型f(x,xx)X3

T

ax

x

x

bxx(0)，3中次型的矩A的特征值之和为1特值积12.求a,b的值；利正交变换将二次为准，写所用正变和应正矩.分13分设机变量的概密为是的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分数.分13分设机变量与Y立，其中的分为X~

2..7

，而Y的率密度，求变U=X+Y的率度2003一、填空（本题，小4分，满分分.案在题中横线上）a若0x211Ta若0x211T1cos,（）设()x0,

若x其函数在处连则值范围是.若x,【分析当直按式导，当时求导【解】当时有显当时有lim

0f

，即导函数在处续x0（）知线yx

a

2

x与x轴切，则b可通表示为

2

a

6

.【分析线点率0即y此可确定点的坐应满足的条件，再据在切处纵坐为零，即可找到b

与a的关系【解】由题设，在处y

x

a

0，有x2a

.又在点坐标为，是0xb,0故

x2(a2x)

4a6【注】有关切线题注意率所足条件，同时点还满曲线方程（设f(x)(x

而D表示全平则Iyxdxdy0其他

.【分析】本积分区域为平，但有0x0yx时，被函数才不零，因实际上只需在满此不等式的区域积分即可【解】

I

x)(y)dxdy=

a

=

a

2

x

dy

2

[(x]dx

2

.0

x

0【评注若积数在区内为，则重分计只在分区与积数为的区域的公共分上积即.（）设维向量(,,0,a),；为n阶位阵，阵AE

1，a

，其的逆矩为，则-1.【析这

为n阶矩阵而2

为，接过E进行计算并意利用乘法的结合即.【解】由题设，有=

E

11aa

=

=

1a

a1n1i1n1i=

1a

)

,于是有

1，即0，得由于故2（）设随机量和的关系数为若ZX.4，则与相关系数为.【析】系计式可【】为=E(0E()()E(X)4E(=E(XY)–且DX.于是有

coY,)DY

=

v(Y)DXDY

XY

.9【注】运式：()DX，cov(,)co(X,).（体服参数为指数分布X,X来体的单机样当n1n时，Xni

i

依概率敛于【分析】查大数组相互独立有的随机量X当1n方差一致有界时其算术平均值依率收敛其数学期的算术平均值：【详解】2,X

,,

满足数定的条，且EX2DX)2iii

=

1)2

，因此根据数律有

1ni

X

i

依概率敛于ni

.二、选择（题小小题分，分分.每题给出的四个项中，有一项符合题要求把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设为恒等零奇数且存在，则数(x)

f(x)x(A)在x=0处左不在(B)跳断x=0.(C)在x=0处右不在(D)有可断[]【析】可出,再利点x=0的导数定义进讨论即可【详解】为的间，由为不恒等于零的函数知，是有(x)limxx0

f(x)x

x0

f()f()x

f

存在故为可去间点.x,【注】也可反例排除，例如f(x)=x,则此时,x0,故应(

可除(三，(x)【评注】f(x)在x连续则xxx

(x,f

)A..（）设可微数点xy)取得极值，下结论正确的是(A)(C)

(xy(xy

在y的导数等于.（）(x,)在y处的导大于零在y导于.(D)fxy在y处的导存.[A【分析可微必有偏数存在，再根据取极值的要条件即可得结论.【解】微函数在点,取极，据值要知,y)y

即(xy

在y处数零故选A).【评注】本考查了偏导定义，(,y在y处即fy)；而f(,)y

在xx

的导即f,y).【评注2】本题可用排除法分析，取(x,yxy

，处且并(yy

，可除故正确选项aa（）设

a，qn

n

，,,，下列题正的是(A)若

a

n

条件收，则p与n

q

n

都敛n

n

n(B)若

a绝对收敛，则p与收.nnn

n

n(C)若

a

n

条件收，则与n

q

n

敛散性不.n

n

n若

a绝对收，则与散性都不定[Bnnnn

n

n【析】据对收敛与条件收敛的关系以及收敛数的运算性质即可找出答案【解】

若

n

a绝对收敛，即a收敛，当有级数收敛，再根pnnn

aa

，n

an

n

及收敛数的运算性质，与nn

n

q

n

都收，故应选B).

bb

（）设三阶矩阵Aba

，A的矩阵的为，必(A)a=b或a=b或(C)且(D)a且[C【】随阵秩为说明的为由此确定应的件【】据与其伴随矩阵秩的关知，，故有bbab

，有或ba但当，显然,必有且应选(C).【注】)阶矩阵与其随阵的秩间有下列关系：（设,,为向下论确是(A)若对于任一组不为的数,有ks

s

,,

线性关(B)若,

线性相关，则对于任意一组不全为零的数,k,k，都有s

.s(C)

,

线无关的充分必要条件是此向量组的秩为

,

线性无关的必条件是中意两个量性无关B]【分析】题及线相关性关念的解及线相关无关的价表现形式.应注意是找不正确的命题.【数k,k,都有s

s

则

,

必性关因为若

线性关则在组全零的数k,k使得sk

s

，盾见立若,线存而不是对数k,k有s

.s

不立(C)

线性无关则此向量为过来，向量组的秩为则s

线关，因成.

,

线性关其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见也成.综上述，应【评注】与其否命题等价的例如原命题：若在组不为零数,k，s使得122

s

成则,,s2

线性关其逆否命题为若任组全为的数，有1s122s

0，,

线性关在的学习过程中，经常注意这种命题与其逆否命题等价性（6）一硬独地两，进件：第一次出现正}，={掷第二出正面，12={正反面各出现一}，={正出现两次则事件(A)(C)

相立(B)23,,A两(D)

A,A,A相立3AA,两34【分析照相独立与两进行算即可注意应检查两立，再验是否相独立【解】因为PA)1

1，A)，(A)，A)，4且

P(A)1

，(A)13

，(A)3

，A)

(AA)0，可见有PAA)P()(A12

，(A)(A)()113

，(AA)P(A)P(A)2323

，(A)P(A)P()()313

，(P(A)P()24

.故AA两独立；,A,A不两互独立，应C).34【注】本题严格地说假定硬币是均匀的否则结论不一成.三题分8分）设1试充定义使得在[1]上续2【析只求出极限limf(x，定f(1)为此极限值可.【详解】因为limx)1

=

lim[x1

1)

]=

1lim1

1)sin=

1limx

sin

12222=

1

1

limx1

sin1)

sin

=

1

.1由于在[1上续因此义2f1

，1使在[1]上连.2【评注】实质上是一求极限题但这形表现出来，考了续概念在算程中也可先作变量代换，化求0的限，以适当简.四分分设f(u,v)具有二阶连续偏导数，满足

f

f

，,y)f[xy,(x

2

2

)]

,求g

.【析】的复合导问题：f(v)，xyv

(x

2

y

2

)

，直接利用合函求偏公即可，注意用

ff

【解】

，故

g

2

f2

2xy

f

x

2

f2

，所以x

y

)

f

x

y

)

f=

x

y

【评】考查半抽象复合函数求二阶偏导.五题满分分计算二积其中积区

{(x,yx

2

2

【分析】函数积分区域可以看出，应该用极坐标进行算.【解】变：xryrsin

，=

dre

r

dr.0令，则I

e

sintdt

.记

tt

，则=e

sint

e

cos]

=

cos

=e

t

sintdt]

=

A.此

(1

)

，【注】属常规题型明地应该选极标进行计算在二重积分为积分后，通过换元与分步积分（均为最础的要求可出结，综考查二重分、元积与分积分多个基础识.六题分分）求幂数

n

n

n2n

)

的和数f(x)其极值【析】逐项导后求和，再积分即可得函数，注意时和为求和再按通方法极.【解】上两边从到x积分，得由得令，求得唯一点x=0.由于f

，可f(x)在处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【注】函都是先项求导逐积转可求几数后再通过项积分、逐项导等逆运算最终确和函数.七题满分）设F(x)=f(x)g(x),其中数在足下条：f

()

，()

，f(0)=0,f(()2

.求所满的一阶微分方；求出表式【析】所足的微分程然有导数示先求，并将其余部分转化为用示，导出应的微分方程，然再求解相应的分方程.【解】=

()f

(=

[()]

2

f()g(xxnn

x

)

-2F(x),可见)所满足的微程为(2)

F(x

[

]=

e

x

[

4

dx]=

将代入式得C=-1.是【】没有直知方要先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式从题型来说比新颖，但具体微分方程的求解则不复杂，仍然基本要求的围八题分分）设数f(x)，上，在（，）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,试必存0,3，f

【分析】罗尔理只需证明在点c0)得()3)，然后在上应用f(0)f()f()罗尔定即可条等于最终用介值定可以达目.

问化为介于)的值，【】在0，上连续所以)在02]上在上必有最大值M最小值，是mf()M，mf()M，m(2)M.故由介值定理知至少存一[0,2]使因为且f(x在c,3]上续在c,3)可所以由罗定理知必在,3)(03，使f

【评注】定、微分中值理分定是知，般两起考.本题是典型的结合值定理与微分中定理的情形九题满分13分已知次性程其

a0.i

试论a2

和b满足何关时，i方程组；方组有非零解.在有非零解时，求此方程组的个基解系【析方程的个数未知的个相，问转化系数阵列式否为，而数列式的计算具有明显的征：所列应元素相加后相等.可先将所有列对应素相加然后提公因式，再将第一的-1）倍加其余各行可出式值.【】组的系列式=b

n

aiinnnn(1)当时且b，，程组有解ii(2)当时，方程组的同解方程组为由可，(i,,n)不全为.设得原方程组的一个基础解系为iii

aa

,

)

T

，

aa

)

，n

n

,).当

i

时有b，原方组的系矩可化为i（第行-1加到其余各行，再从第行到第同乘以）ii（第行倍第行的倍加到第行，再将第行移到最一行）n由得原方程组同解方程组为x

，，,xxn

.原方程的一个基础解为【评注】难点在

i

时的讨论，事实上也可样析此系矩阵的秩为存i在子不零，然,)T为方组的个非解，可作基础解系十题满分13分）设二型f(x,xx)Xax

x

x

bxx(b)，中次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积-12.求a,b的值；利正交变换将二次为准，写所用正变和应正矩.【析】值之为的角元和征积为的式由可求出a,b的值进步求出的特征值特征量将同特值特征量正（有必后将向量单化以为所造矩阵为求正矩.【】二次型的为设的特征为i).i

由设，有解得-2.

，由矩阵的征多式0

A

)2(

，

得的值2,对于,解齐次性程组2EA)x，其基础系22011

T

，,)

.对于解齐线方组E)，基础解系由于1

3

已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将1

3

单化，由此得

,

)

T

，,)T

3

,,

).令阵1

2

3

25015

10510205

，则为正交矩阵在正交变换下有Q

0AQ00

，且二型标形为【】求，也可先计算特多项式，再用根与系数的关系定：二型的阵对特征项为设的特征为，则1

2

3

a,

2

3

2

2

由设得2a)，解得一题分13分设机变量率为是分数求机量分布函数【析】布数的具形从确定然定求的函即.注意应确定的范围(0F())，再对段论.【详解】当x<1时，F(x)=0;当x>8时对于x]有设是随机变量的函.显，当y时，当y时G(y)=1.对于[01，有={

Xy}P{(y

}=

[(y]y若y,于是的布数为G(y)若0y

1

若y【】上，题任连续型随机量均，时仍从匀分:当时，G(y)=0;当G(y)=1;当时，(y){y}{(X)y}=

P{F

)}=

F(F

yy十二题满分分设机变量与Y独立其概布为

~

2.0.

，而Y的率密度为，随机量的概率密【分析求随量的，用函转求的率.意只两个可能的取值，求概时可用全概率公进行计算【解】是的函则概式知的布数为=

3{X}.P{X}=

P}P{YuX}

.由于和独立可.3{7P{}=03F).7F(u此得的概率密=0.f().7(【注】属题，两随变的布其一是续一离型要用概率公进计，似题前从出过具一的度综合.2004一填空题本题共小每题分，满分分.把案填在题中横线）sinx若lim(cosx)，则=______b0ef设数()关系式f[xg(y,y]=x+(y确，其中函数y可且g(y则

.x2ijij221000ux2ijij221000u(3)设(x)

2xe,21x2

，则(xdx

.(4)次型(xx,x)xx)1212

2

(xx)23

2

(xx)3

2

的为DX设变量服参为的分布则{X(6)设体服从分布(2),总体服从正布(μ,X,X,X22分别来自总体和简单机样本则

和,Y1

E

n()Y)

.二、选择（题小小4分满分分.每小题出的四选项中，只有项符合目求把所选项前的字母填在题后的括号内(7)数(x)

|x|)x(xx)

在列哪个区间内有.(A)0).(B)(0,(C)(1,(D)(2,]设()在，limf(x)a

，x

1)xx,x

，则(A)x0必是x的类间点.(B)x=0必是的第二间断点.=0是x的点.(x在点x=0处的连续性a值关[(9)设x=|(1，则=0是(x的值点但0,0)不曲=(x的点=0不是x)的值点但(0,0)是曲=(x的点=0是(x的值点且0,0)是线=(点.=0是(x的值，,0)也是曲线=(x的点[](10)设列：(1)若

(

22

)

收敛则收.n

若

收则收.

若lim，则发散.u若

()n

收敛则，收000002sinx22bdd000002sinx22bdd则上命题中正确的是(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)[(11)设在,b]连且0

f

，则列结论中错误是少一点(a,)，得(x)>f(a).少一点,)，使得(x>f(b至少存一点(,)，使得至少存一点(b)，使得(x)=[D设阶矩阵与价,则必有(A)当A(时|.(B)当A|a(a时|B.(C)当|时|B(D)当A|时,B[](13)设阶阵的随阵*若ξ,ξ3

是齐次线性方程组b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax0的基解系(A)不存在.(B)含个零解量(C)含两个线性无关的解向量(D)含三线性关解量](14)设变量X服从正态分布N(1)对给的0),数满足{X若{|x,则x等于(A)

u

2

.

u

2

.(C)

u

.(D)

.三、解答题本共小，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步.)(15)(本满分分求lim(0

12

)

.(16)(本满分分求

y)d

，其中是由x

和(x)

y

所围的D平面域如图.(本题分分设(x,g(x)在a,b连且足

xa

(t)dt

xa

(t)，b)，()a

ba

()dt.证明：

ba

xf(xdx

ba

xdx.(18)(本满分分设商品的需求函数Q=，中价格P20)Q为量(I)求求量对价格的弹性E(0)；(II)推

(1)

(其中为收，并弹性说明价在何范内化时，降低价反而使收益增加.(19)(本满分分设级数的函数为).求：(I)Sx)所足的一阶微分方程；(ISx)的式本题分分设1,201

T

,

α1,α,2

)

T

,

αb)

,

β13

T

,试讨当,b为何值,(Ⅰ(Ⅱ(Ⅲ

β不由α,α线示23β可ααα一地性表示求出表示式;23β可ααα性表示但表示不唯,出示.23(21)(本满分分设阶阵A

1bb

bb1b1

.(Ⅰ求的特征值和征向量(Ⅱ求可阵,使得P为对阵.(22)(本满分分设为随机事,P)

,

(|)

,

(A|)

,令求(Ⅰ二随机量X,Y)的率布(Ⅱ

X

与Y

的关系数;(Ⅲ

ZX

概率布.(23)(本满分分设机变量的分布函数为其中数0β.设1

,X

n

来自体简单机样本(Ⅰ当时未数的计;(Ⅱ当时未数的然估计;(Ⅲ当2时求参最大似然量2004一填题本题小每题分，满分分.把案填在题中横线）若lim

sinxe

(cosx)，=

，

.分】本题属极限求反问题sinxxx21sinxxx21详解】因为limx)且xx)0elim(e)，得a=限为xxxlim)lim)得b=x0ex0因此，a=1，

，以评】一般地，已知lim

(x(x

＝，若(x则(x若fx且则(x(2)设函数f,v)由关式f[(y,y]=x+(y确其数g(y)可，g(y则

f

(v)

.分】u=xgyv=y可到f(u,v的表达，再求偏导数可.解令u=yv=y，f,)=

ug(v)

g(v)

，以

(v)

，

f

(v)

.(3)设(x)

2xe,21x2

，

2

f(

.分】本属于求分段函数的定积分，先换元：x=t，用区奇数的积性质即.解令=t，

fx

ft)

f(dt＝

xedx

2

(dx

)2

.评】一般地对于段数的积分按分点分积区间行求.二型f(xx,x)xx)1212

2

(xx)23

2

(xx)3

2

的为.析】二的秩应的的秩亦即标准型中方项的项数,于利初等换或方法均可得到答.详一】为f(x,x)(x232

xx3

xx

于是次的阵

11A

,

1

2

1i221i22由初等换得

10

120

,

0

00

从而

即次的为详解二】为(x,x)(x23

x)

x

2

1

2

2

2

,其中1

112

x

.所以次型秩为随机变量服从参数为的数分,则{X

DX

1e

.分析】数分布分布函数和方差即得正确案】DX

2

,

X

的分布数为故P{X

DX{X

DX

1{X()λλ

1e

.评注本题对重要分布布的考查属本题型设体服从正分布(2

),体服从态分布(μ,2)

,,和分是来总体和的随机样本则11

X)ijij

σ

.

分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答.】因为X)ni

]

,

E[

j

()j

]

,故填.评注】本题是统计量特征的查二、选择（题小小题分，分分.每题给出的四个项中，有一项符合题要求把所选项前的字母填在题后的括号内(7)数(x)

|sin(x)x(x)

在列哪个区间内有.(A)0).(B)(0,(C)(1,(D)(2,A]析】f(在,b内连续，且极limf()与limf(存在，则函数()x

在a,内界详解】当,1,2时f连续，而f(xx

318

，f(x)

，lim0

f(x)

sin

，f(x)x1

，fx

，所，函数x在0)内有界，故(A).评】一般地如函数(x在间a,b上连续，则(x在区a,b上有界；函数(x在开间(a,)内连续，且极限f()与f(x)存，数(在开区间ab)内有界xa

xb

(8)设(x在，且limf(x，xg(x)

1)xx,x

，则(A)x0必是x的类间点(B)=0必是x的类间点=0是x的点(x在点=0处续性与的有.[D1分析】考查极限lim(x)是否存在，存在，是否等于即通元，x0x可将限limg()为f()x1详解】因为lim()limf()xx0xu

f()

1=a令u)，又0，以，x当0时，(x(0，即在点=0处，当时，x(x(0)x

即0是x的第一类间断点，因此，x在点=处的连续性与值有关选评】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.设x=x(1，则=0是(x的值点但,0)不是线fx)点=0不是x)的值点但,0)是线=x)拐.=0是(x的值点且,0)是线=(x的点=0是(x的值，,0)也是曲线=(x拐点C分】由于(x在=0处的、二导不在可用义断极情，考查(x)在=0的左、侧阶的，拐况.】设<，当,fx>，而(0)=0，所以=是(x)极小点x=0是(不可导点当f(x)=，，当,f(x=x(1，所(0,0)是曲线f(x)的点选评】于值况，可查(x)在=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断有下列命题(1)若

(

2

2n

)

收敛则收.n

1000n22u11000n22u1n00000(2)若则收敛u若nu

则发.若收则，敛.

则上命题中正确的是(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)[B分可以举反级数质来明命正性】是误的如令u，显然，，而)收.

n是确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.是正确由可到不向于零发散(4)错误的，如令u，显，，都散，而nn

()收.选B).评】本主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型设

在a,上连续，且f,

f

0，下论误是少一x(a,b)少一,)

使f(x)使(x

>fa>fb(C)至存在一ab)

，得f

)0

.至少存在一)

，得f(x)

=0.[D分】用介定理极的保性可到三正的选，由除法选错误项】首先，由已知在a,上续，且f,

f

，由介定理，至少存一x)0

，使得

)0

；另外，

f(x)f()xa

，极限保号，少存在一点x)使

ff(a

，(x)fa

.理，少在点xb)使f(x)f()

.所以(A)(C)都确故选D).2sinx222xxxx0x22sinx222xxxx0x2x评注】本综合考查了介值理与极限的保号性有一定的难度设

阵A

与

价,则必有(A)当

A|aa0时

|B.(B)当|

A|aa0时

|.(C)当|A|时

|B.(D)当|0时

|B[D]分析】利用矩阵A

与

等价充要条:

r()r(B)立可得解】为0时

r(n,又与B等,故rB),即|B|,故(D).评】本题是等价、的考查属基题.设

阵A伴随矩阵A

*

0

若ξ,ξ,ξξ3

是齐次线性方程组Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程的基础解(A)不存在.(B)含个零解量.(C)含两个线性无关的解向量(D)有个性的向.B分要定解向个,实上只要确定未知的个数和系数矩的.解】因为础解系含向量个数nr(A,而根据已条A

*

,

于rA)等n

或.又Ax有不相等解解不,故r()n.从基础解系仅含一个解向量即选评本是对阵A

与其伴矩

*

的秩间的系方解构个识点的综合考查等于(14)设变服从正态布N(1)对给的0),数若{|x,则x

满足{X

,(A)

u

2

.

u

2

.(C)

u

.(D)

.分析】利用准正态分布密曲线的对称性和几意义即得解】由{|x,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得P{X

.正确答案C).评】本对标态分性质严地它的上分位概念考.题(本题共小题分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本满8分1求lim(2

)

.0分】先分化为“”型极限，再利用等无穷小罗必达法求解即.0解】(x0

1xxcosx)222=

limx0

2x

limx0

4xx

limx0

x

limx0

(xx

.【注】本属于求未定式极的基本题型，于算(16)(本满8分

00

”型极限，应充分利用等价无小换简计2d2dbd求

2

d

，中是圆22和)

所围的平区如).D分首先将积分区域为大圆D{(,

减去圆D,)()

，再用对性极坐标计算可.解令D{(,)

2

,{(,)|()

，对称，

r

3

d

r所以，D

)d

9

(3).【注】属于在极标下算重积分的本型对二积，常用称及将一个复杂区域划分为两或三个简单区域简化计算(本满分8分)设f(x,g(x)在a,b连且足

a

(t)dt

a

(t)，b)，()a

ba

()dt.证明：

ba

f()dx

ba

g.分】(x=f()x，()解令x)=f(xx)，()

F)dt，积分等转为函数不式可.F)dt，由设(xx,b，G()=(b)=0，().从

dx

dG(G(

)dx

G(，由于G)x,b，故有

()dx0，即

ba

F(dx

.因

ba

f()

ba

g)dx.评】引入变限积分转化为函等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法(18)(本满9分设商品的需求函数Q=，中价格P20)Q为量(I)求求量对价格的弹E(0)；ddddd682ddddd682推导其中收并弹性E说价格在何范内变化时，降低价格反而收益加PdQ析】由于0，所以E；由=PQ及可导

1)

.详】

E

P.QdP20(II)由RPQ，得PdQdP

)(1E)d

.又d

PP

，得P=当<P20，>，于是

，故<20时降格使增加.PP注当E>0，需求量对价格的弹性公式为.利需弹分析收益变情有以四常的公式dRdR1dRE)，，p，dpER

Ed

(收益对格弹).(19)(本满9分设级数的函数为).求：S()所满足的一阶微分方程；x)的式析对(x进求，可得到(x)所足的一方程，可(x的表达式解】

Sx，易S(0)0，x[

x

(x)]因(x)是值问题xx

,()

的解.程

的通为

Ce

，由始条件=0，得=1.x故

x

x，因此函数(

.评注】本题综合了级数求和问，年考类似的.本题分分设,)

,

α,α

)

T

,

α)

,

β,,

T

,试讨当,b为何值,(Ⅰ(Ⅱ(Ⅲ

β不能由,αα线示β可由,α唯地线性表示并求出表示式;β可由,α线表,但式不一并表式.分】β可否由,α,α线表问化性组αααβ是否有的问题即易求解】数k,,k使得αααβ.(*)记A(α

α

α).对矩(,)

施初等行变换有

()

aa

a

a

a

.(Ⅰ当时有

()

.可r(A()

.方程组*),β能由,αα

线性示(Ⅱ当,且ab时有1111r()r(A,)3

方程组有一解：1

,

k2

,

k．此时可由,αα唯地线表,表为23β

)

α．2(Ⅲ当时对阵(Aβ)施等行换有(A,β)a

11a

110

1a

，

r(ArA,),

方程组(*)有无多，为1

,

2

1a

,

kc

，任意常数．β

可由,α线示但式不一其表示式为23

)α

)α．2】本题属常规型曾考过2000).(21)(本满分分设阶阵A

1bb

b1b

1

.(Ⅰ求A的特征值特征向量;(Ⅱ求可阵,得PAP为矩阵析】这具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题通常由解特方程|λE|0和次线方程组λE)x来解.】

当时，＝[λn)b][)]

n

,得

的征值为

，λ2

．对nb1

，解ξ1

T

，以的属于的征向量为1

1

(11,

)

T

(k为意不为零的常数．对

，得基础系为

2

(1

0,

0)

，10,,0)

，ξ,00n

T．故的属于的全部特向量为2ξξ3

ξ

(

k,k

是不为零常)．

当时，λ

|λA

λ

λ

,

λ特征为，意零列量均特征量．n(Ⅱ1当，有线性无关特向，令Pξξ,ξ)，则n

当时，E对意可矩阵P,有

E．【评注】本题通过查矩阵的特征值和特征向量而间考查了行列式的计算,齐次线方组的求解和矩阵的对角化问,属于有点合的试题.另外本题解思是易,只要意矩阵中含有一个未参数从而一般要讨论其不同取值情.(22)(本满分分设，B为个随机件且()

,

(|)

,

(A)

,令求(Ⅰ二随机量X,)率分布;(ⅡX与Y的关系数;(Ⅲ

ZX

概率布.分】题的关出(X,Y)的概率分布，是要二随机变量X,Y)的各值对转化为随机事件A和表示即可．【解】因为)()P(

)

1

(AB)，是)P|B)

，则有P(AB)

12

，{X{

()(A(AB)(A)(B)()

12

，，P{XY

(A(A)()B)()]

，(或

P{X0Y

1123

)，即X,)的率分布为：0101(Ⅱ一为)，EY()

16

1，(XY)，12EX

2

P(A

14

，EY2(B)

16

，DXEX2EX)

2

3

，DYEY2EY)

516

，(,Y)(XY)EXEY

，以与相关系数

Cov(X,Y)15DX15

．方法：布分别为X01Y01P

14

P

161则EX4

1，，DY=,E(XY)=,1612故(Y))

，从而(ⅢZ的可能取为0，，．{}{X0Y}

，P{}{}{}

，{}{X,}即的率分布为：

，012【评】题查二离随变联合概率布数特和维散机量数分布等计算问，属于综合性题型(23)(本满分分设机变量的分布函数为其中数,β设,12

,X

n

来自体的单机样本(Ⅰ当时未数的计;nˆnnˆn(Ⅱ当时未数的然估计;(Ⅲ当2时求参最大似然量分题一常题,只要注意求连续总体未知参数的矩估计和最大似估计都须已知度函,而由分函数导密度函.】时X概率密度为(Ⅰ由令

ββ

X

解得,所,参数的矩估计量为.(Ⅱ对总体样本值x,n

,似数为当(ii

1,,

,)

时()0取数得()nββxii对β数得d[lnL)]dββ

i

，i令

d[ln()]ndββ

i

x0，得i

lnxi

，i是的最似估量为β

lni

．i(Ⅲ当,X的概率密度为对于体的值x,x,,x2n

,似然数为当(ii

1,2

,n)

时，L()越大即的最大然估值为

min{,x,x}1

,于是的似估量为min{XX,X}1n

．2005一填空（本题，小题分分分把答案题线）2x极限limsin=.x微分程y满足初条件()2特解为（）设二元函数xe

ln(1y)

，则(1,0)（）设行向量组(211)，1,)，(,,a)，3,21)线性关，且，则（）从数中任取一，为再,X中取个数，记为则P{}=______.（）设二维随机变概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随事件{0}与{X相互独立，则

，.二、选择（题小小4分满分分.每小题出的四选项中，只有项符合目求把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取列哪值时函数(x)

2

x

恰有两个不同的零.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[]（）设1

2

,

I2

x

2

y

2

,

I3

cos(x

2

y

2

)

2

,其中D

D{(,y)xy2}

，则(A)

II3

1

.

（）.1(C)

I2

3

.(D)

I31

2

.]（）设n,2,若

a发，n

n

敛，则下结论正确的是nn

n(A)

n

a

2n

收，发.

（）收敛，发.2n(C)

(

n

a

)收.(D)

(

n

a

n

)收敛[]

（）设xxx,下列命题中正确的(A)f(0)是大值，()是小.2

（）极，()是极大值2（）值，()也极值(D)f(0)是极小值，)也极值.2[]（）以四命题，确是(A)若

在（，）连续，则在0，）内有界（若(x在0，）连续则)在0，1）内界（）若f在（1）有界则)在0，1）有界11(D)若()在（0，）内有界，则在（，）界.[]（阵()ij

满足*A

中*是的随为的置矩.若,111213为个相等的正数，则为11(A)

33

.3.(C)

13

.(D)

3

.（）设是矩阵的个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，11212线性无的充分必要条是(A)

1

.

.(C)

1

.(D)

.[]（）批件的服从分布()中未.现从中随机抽取个零件，测得样均值20(cm)，样本标准差()，则置信度为的置信区间是(A)

120t4

1(16),t4

.05

16)).

(B)

(t

.

(16),20t

.1

(C)

20

14

t

.

115),t4

.05

15

(t

.

(15),t

1

(15)).

[三题本共9小题分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（题满分分）求lim(0

).（题满分分）设具二续数且(,)f()f)

g，22

2

（题分分）计算二积分

其中{(,)0

}（题满分分）求幂数2nn

)

2

在区间内和函数（题满分分）设在，上续，且f,（题分分）已知次性程123（）,13,12

0证：对任[0]有和中中cx0（ii）12322xcx2同解求的.（满分分）

,A设DC

B

为正定中分别为阶，阶对矩，为矩阵.(I)计算DP，其o

ACE

；（）用的结判矩阵BCTC否正矩阵，并证你的论.（满分分）设二随机变的密为）边率度(),f()；X（）2的率密度().(III)

1{YX22

}.（满分分）设X,)2n

为来自总体2

)的简单随机样本，为样本均值，记

i

i

,i

,

,n.求）方差DYi；ii（）与Y的差(1（）若(Y)2是的偏估计量，求常数2005一填空题（本题，小题分分分把答案题线）（）极limxsinx

x

2x

=2.【析本题属基本型，直接用无穷小量的等代换进行计算即可.【】limxsinx

2xx2

=

x

2

2（）x满初始条件(1)2的特为【分析】直积分即可【】原方程可化为C，代初始条件，所求特解为（）设二元函数xexln(1)

，则edx2)dy.(1,0)【分析】题型，直接套用应的公式即可【】

ny

,

x

,于是

)dy.(0)1（）设行向量组(211)，1,)，(,,a)，3,21)线性关，且，则.2【分】个维量线性相关，必有其应行列式为零由此即可确定【】有21121a3a

a)(2a得a

，但设，故.421（）从数中任取一，为再,X中取个数，记为则P{Y}

.【析】及到两次随机试验想用概率式且一试验的各种两结果即为备事组样本空间的分【】}{}P{2}

+

P{}{2X}=

P{X}{Y2X}+.130)48

+

P{}{2}（）设二维随机变概率分布为XY0100.4a10.1已知随事件{X}与{}相独立，则0.4,b=0.1.【】所有概和为得其利件立又一，可确定取值【解】知又件{}与{X}相互独立，是有P{,}P{}{}，即a)

,

由可解得二、选择（题小小题分满分分.每题给出的四个项中，只有一符合题要求把所选项前的字母填在题后的括号内）1nn1nn（7）当取下列哪个值时，函数(xx3x

2

x恰有两不同零点(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]【分】出可能点利单调性极值画函数对应简单图形进行分当恰好有一个极值零时函数恰有两不同零点【】x12=()(x)，可极值为，且f1)5a,f()4a可当，函数恰好个点，故应（）设1

x22d

,

I2

x

2

y

,

I3

cos(x2y2)2d

,其中D

D{(x,y)x

y

，则(A)

II3

1

.

（）.1(C)

I2

3

.(D)

I31

2

.A【分】于比较y、x2

2

与2y

2

2

在区域,yxy2

上大小【详解】{(,yx

y

上有xy

，而有由于在(0)上为单调减函数，于2因

x2d

cos(

y2)d

x

2)2d

，故选DD（）设n,2,若

a发，n

n

敛，则下结论正确的是nn

n(A)

n

a

2n

收，发.

（）收敛，发.2n(C)

(

n

a

)收.(D)

(

n

a

n

)收敛[D【析】除到答.

【】，则发，nn

n

收，n但

a

2

与均排(选项且2

a

)进一除(C),应n事实上级数n

a

n

)的部分和列极限在（）设x)xcos,下列命题中正的**3**3f(0)大，()是值（）是极小值，()是极大值.22（）值，()也极值(D)f(0)是极小值，)也极值2[B【】出f极的分条判断可.【】

显然,f

)2

，又sin

，且f

，故是小值，()是大2值，选（）以四命题，确是(A)若在0，）内连续，则在0，）内有界.（若()在（，）续则)在0，1）有界（）若在（，）有则)在0，1）内界(D)若()在（0，）内有界，则在（，）界.[C【析】反例用排除法找到确答案即可.1【】)=,则及

（1内但)（1内界排、

又()

在（，）界但

（，）内无界，除故应选（阵(a)ij

满足*A中*是伴阵为A的转阵.若,,111213为个相等的正数，则为11(A)

33

.3.(C)

13

.(D)

3

.[]【分】的伴随阵有关一般联到用行展开定理和相应公式AA

*

A

*

A.

.【详解】*A及

AE

，有ai,j,2,3其中为的余，ijijijij且AAA

2

或而AA3a2111213

0

于是，且.故确选项(A).（）设是阵的个不同的特征值，对应的特征向量分别,则，11212线性无的充分必要条是(A)

1

.

.(C)

1

.(D)

.[D【析】组抽向量的线性无关性，可用义或转化为求秩即可.1.1.【解】令)2

，则k122由于,线性无关，是有1

，222

.当

时有,时A(21

线无关来A112线性关则然有否，与

=

线性关，应方法：于A()]2

],12

]

，可，线性无关的充要条件是122

故选（）批件的服从分布()中未.现从中随机抽取个零件，测得样均值20(cm)，样本标准差()，则置信度为的置信区间是(A)

120t4

1(16),t4

.05

16)).

(B)

(t

.

(16),20t

.1

(C)

1204

.

115),t4

.05

15

(t

.

(15),t

1

(15)).

[C【】差未知，求期望的区间计，用统计量：sn【】总体抽样分布的性质知，故度为的置区间是n(

t

2

(),

t

2

())

1，即t(),t4

.05

15

应三题本题共小题分分.解答应出文字说明、明过程或演步.）（题满分分）求(01

).【】"型定式，一般先通分，再用罗必塔法则1【】)lim01

21)

=

lim0

=

lim0

12

211211=

lim0

2

（满分分）x设)具有二连导，且(x,yf()yf(【分析】先求出二阶导数再代相应达式可.【解由已条可yyf))，2

g，求2

g2y2x1xf)ffxxy

，yf)f()f)xyyy

，x2

f

xf)f)yyy2yy

f

，所

2

22

2==

2yyxxf)ffxxyyyyf).x

2yx2ffxyy（题分分）算积分

其中D{,y)00}【分析】被积函数含有对值，应当作分区函数看待，利积分的可加分区域积分即可.【解】记{(xy)1

2

y

2

,(,}，D(,2

2y2

,y)D}，是

x

2

=

2y

dxdy

D

=

(r

rdr

(x

2

2

(x

y

D

D=+8

00

(x

2

2

0

(r

2

rdr=

3（满分分）1211111112111111求幂数2nn

)在间的和函数【析】级数和函数般采用逐求导或项积分转化为何级数已函数幂级数开式，从达到求和的目的.【解】()

(

，S(

n

，(

2n，则由

()()12

，().(

n

=

1

，())1

n

2n

2

(

,因

()1

0

t

2

dt

1

，于

S()

故以

()()12

110,

0.（题满分8分设在[0，上续，且f,

0证：对任[0]有【析可用参变易法化函数不式明，或据积函数的形式通过分积讨论【解】法设F()

()f

dt

f()

()g)

，则在，上数，且

F()f

)f

)[()g1，由]时f到

0因F，在，上单调递.F)

g()f

dt

f()

dtf1g(1)

，0

0而

(t)f

dt

(t)df(t)g()f(t)

1

(tgdt0

0

0

0=

f)()

f(

，0aa11a1Taa11a1T故此[01]，F(x由此得对何[]有方法：x)fdx()f(x)0

a0

(x)0=

f()g(

a

f()dx

，0=

fag(a)

f(xg

dx

f(x)

于[01]，，此

f(x)

f()

，[a1]，0

f(x)gdx

(a)gf()[g()g(a)]，0从而0

0

f(x)g

dx（题分分）已知次性程组x,123（）x,13x,12和xbxcx,（ii）1232x2xcx2同解求的.【析】方程组（）显然有无穷多，于方组（）也穷，可定，这求出）的通解，再代入方组）确定b,c即.【详】方程组（的知个数于方程个数，故程方组（）无穷多解为方程组（）与）解所以程组（）系数阵的小于方程（）系数矩施以初等行变

12

01

23511a

000

，从而时，方程（）的矩化

3

0

512

10

，故是组i）一基础系.将x23

代入方组（）可得c或,c.当c时，对方（系阵初变有中T中T

，显然时方组）与）解当c

时对方程组）系阵初变有

，显然时方组）与）不相同上，当时，方程组（与ii）解（满分分）A设DC

B

为正定中分别为阶，n称，为矩.(I)计算DP，其o

ACE

；（）用的结判矩阵BCTC否正矩阵，并证你的论.【析】第部分直接利用分块矩阵的乘法即可二分是讨论抽象矩阵的正定性一般定.【】(I)因P

T

mT

on

，有P

DP=

n

Eo

E=

o

Eo

E

C=

o

C

.（）阵C是正阵.由I)的果可知，矩阵合矩阵又D为正阵可矩阵为正阵.因矩阵为称矩阵故T，有(yy,,y)n

为对称矩阵对,)

T

及意的

,

Ao

oBC

A

C

A

C

故BC

A

C为正定阵.（满分分）设二随机变的密为）边率度

f(f()X

；dyy0,dyy0,（）X的概密度().(III)

{Y

1X22

}.【析】边率直公可求二维量函数的度般用分函数，即先定求分函，求导到应概密;直接用条件概率公式计算即.【解】I）X的缘概率密度f()X

=

f(x)

=

x0

x他.=

,0,其关Y的边概率密度f(y)

=

f(xy)

=

dx,,2其.=

y20,

y其（）()P{}P{X}Z

，1）z时，

F(){}

；2）z时

F(z{2}Z=

2

;3)当

时

F(z{2X}即分函数为

F(z)Z

z

0,14,

z

2

zz2,z.1z故求的概率密度为f(20

z其他.1（）2

}

P{XY{}

}

（题满分13分）设X,,(2)为来自体N(0,2n

)的单随样本，X为样本均值，记1iiii1iiii

i

i

,i

,

,n.求）的差,i2,,；ii（）与Y的差(1（）若