2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）及答案

2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z与（z+2）?+8i都是纯虚数，则Z的共辄复数为（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

2.已知集合4=卜卜一1|>2},集合8="限+1<0},若=则加的取值范围

是（）

A.B.」C.[0,1]D,,0）U（01]

3.已知&=（sina,l-4cos2c）,加=（l,3sine-2）,ae（0,g）,若切区，则tan（a-?卜

（）

4.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现

在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪

花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是

“雪花曲线'’的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边

的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知图①中

正三角形的边长为3,则图③中的.丽的值为（）

5.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道

组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时

间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均

为8cm,细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的;（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每

秒钟漏下0.02cn?的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（）（万=3.14）

A.1895秒B.1896秒C.1985秒D.2528秒

6.在A,8,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设

这三个地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感

的概率为（）

A.0.515B.0.05C.0.0495D.0.0485

7.已知/（xh-V-cosx,若a=fe4,b=,=/（一；），则小b,c的

大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

8.在圆幕定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆。的切线，R为切点，QCD

为割线，则|QRf=|。叶|纱|.如图2所示，在平面直角坐标系x0y中，已知点A（-LO），

点尸是圆0：/+丁=4上的任意一点，过点8（1,0）作直线87垂直AP于点T,则

D.272

二、多选题

9.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品

同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价工元和销售量y件之间的一组数

据如下表所示：

X9095100105110

试卷第2页，共6页

y1110865

用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是y=-0.32x+a，相关系数，=-0.9923,则

下列说法正确的有()A.变量x与y负相关且相关性较强

B.3=40

C.当x=85时，>的估计值为13

D.相应于点(105,6)的残差为-0.4

22

10.已知椭圆C:£+方=1(〃>6>0)的左，右焦点分别为耳，用，长轴长为4,点P(⑸)

在椭圆C外，点。在椭圆C上，则()

A.椭圆C的离心率的取值范围是［孝,1)

B.当椭圆C的离心率为当时，|Q4|的取值范围是［2-6,2+6］

C.存在点。使得评「函=0

D-向卡赢的最小值为2

11.在正方体48a)-A£C1。中，AB=1,点P满足。户=4而+其中

九〃«()』，则下列结论正确的是()

A.当B7//平面儿8。时，BE不可能垂直C。

B.若8f与平面CCQQ所成角为:，则点尸的轨迹长度为5

C.当4=1时，正方体经过点A、RC的截面面积的取值范围为［迈，V2J

4

D.当a=〃时，|而|+|即|的最小值为匹正

12.已知函数〃x)=e*-x,g(x)=x-Inx,则下列说法正确的是()

A.g(e*)在(0,+8)上是增函数

B.Vx>l,不等式f(or)*/(lnx2)恒成立，则正实数。的最小值为一

C.若〃x)=f有两个零点.马，则.+%>0

D.若/(xj=g(x2)=r(f>2),且则的最大值为,

e

三、填空题

13.已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项

的个数为.

14.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子'’的称号，用其

名字命名的“高斯函数''为：设xeR,用［x］表示不超过x的最大整数，则>=［可称为高

斯函数.例如：3,［3.1］=3,若函数=则函数y=［〃x)］的值域为

⑸数列｛叫满足4=2,第U(〃eN，),则…—:----------

16.已知抛物线M：x2=4y,圆C：f+(y_3)2=4,在抛物线M上任取一点P,向

圆C作两条切线附和PB,切点分别为A,B,则瓦.画的取值范围是.

四、解答题

17.已知各项为正数的数列g,,｝的前”项和为S“，若4S“=d+2%+l.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

⑵设2=——，且数列出｝的前〃项和为7；,求证：|<7；,<1.

anan+l3

18.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生

体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：

锻炼

性别

不经常经常

女生4060

男生2080

(1)依据c=0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；

(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题

试卷第4页，共6页

活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传

出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第"次传球后

球在甲手中的概率.

(a+/7)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0100.0050.001

%6.6357.87910.828

19.如图所示，正方形ABCC所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，AN//BM,

AN=AB=BC=2,BM=4,CN=2>/3.

⑴证明：平面ABC。；

(2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E,使得二面角E-8N-M的余弦值为立.

3

若存在，求出的C照E值；若不存在，请说明理由.

EM

20.在中，PA=PB,点C,。分别在PB,丛边上.

TT

(1)若=CD=\,求APCD面积的最大值；

(2)设四边形ABCD的外接圆半径为R,若NAPBe且A*BCCDD4的最大

值为1,求R的值.

21.已知动圆M与圆A:(x+石『+/=4及圆g：(x-石『+>2=4中的一个外切，另一

个内切.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)若直线/与轨迹C相交于尸、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过轨迹C与x轴正半轴

的交点。，证明直线/经过一个不在轨迹C上的定点，并求出该定点的坐标.

22.已知函数/(x)=x-J-alnx.

⑴若不等式〃x）WO在（1,田）上恒成立，求实数a的取值范围;

1

⑵证明：E;>

2

i=2iIni2〃(〃+1)

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动手，纯虚数的特征就是实部为0,虚

部不为0的虚数，可用复数的代数形式解.

【详解】设z=阮bX0,则(z+2/+8i=Si+2尸+8i=4+4M+附+8i

4-h2=0

=4—从+(你+8》为纯虚数，则有：解得：b=2,

46+8工0

故z=2i,则1=-23

故选：D.

2.B

【分析】将集合A化简，根据条件可得5=然后分机=0,“<0,加>0讨论，化简集

合B,列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】因为,一1|>2=》-1>2或％-1<一2,解得x>3或x<-I

即A=1x|x>3s3cv<—1},

因为Au8=A,所以8

当〃?=0时，B=0,满足要求.

当/”>0时，则加r+l<0nx<--,由

tn

可得―<-1=>m<1,B|J0<m<1

tn

当机<0时，则如+1<0=>X>---,由

m

可得-->3=>/n>,B|J--<m<0

m33

综上所述，me-1,1

故选:B.

3.B

【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知1-4cos2a=sina(3sina-2),再根据余弦

二倍角公式化简、解方程可得sina==3,进而可得tana==3,再根据两角差的正切公式即可

求出结果.

【详解】因为讳区，

答案第1页，共21页

所以1-4cos2a=sina(3sina-2),

1-4(1-2sin2a)=3sin2a-2sina,

5sin%+2sina-3=0,

.3、

所以sina=y或sina=-1,

3

又ae呜,所以sina=《,

3

所以tana=：,

4

3,1

所以tan(a-?tana-1_4_1

1+tancr]+37

4

故选：B.

4.C

【分析】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得

两；丽的坐标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

|加|=2,OM=(2cosy,2siny)=(l,V3),

|M?|=p即M户=(g,0),

网=g,由分形知PN〃OM,所以丽=’,乌

所以丽=W+M户+PM=W，呼），

所以。M，OM=lx3+gx£l=6.

26

故选：C.

答案第2页，共21页

A

X

【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解.

【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为|'4二|,高为与，

所以细沙体积为，乂3=1°24乃(cm]

3⑶381'J

1024

所以该沙漏的一个沙时为《F”~秒，

----------〜1vOJ

0.02

故选：C

6.D

【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.

【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感

的人当中，

故这个人患流感的概率为尸=；O

6%x*1+5%x+4%x---=0.0485,

5+7+85+7+85+7+8

故选：D

【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到

b=通过指数函数单调性得e4>eT=：>；,再根据幕函数性质证明

出e*>；,同取对数得到->ln-,则有e4>2>in],再利用/(%)单调性即可得到大小关

系.

答案第3页，共21页

【详解】因为/(x)=-V一cosx,xeR,定义域关于原点对称,

f(-x)=-(-x)2-cos(-x)=-x2-cosx=/(x),

所以/(x)为R上的偶函数，

当xNO时,f'(x)=-2x+sinx,,设g(x)=-2x+sinx,

贝！Jg'(x)=-2+cosx,v-l<cosx<l,，g'(x)<0,

所以g(x)即f'(x)在［0,+8)上单调递减，所以r(x)<八0)=0,

所以f(x)在［0,位)上单调递减,又因为fM为偶函数，

所以fM在上单调递增，

-2ill

又因为已4>已7=上>上，

e4

11(1Y(5、।5

因为一=lne，e4=e,-«2.4<e,所以e，〉工

4IJUJ4

1515

所以lne4>ln］，即:>ln：,

444

_N15

所以e4>->In-,

44

所以小小3

即a<c<b.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次

求导，其次就是利用函数的奇偶性对“，Ac进行一定的变形得6=c=然后

就是比较m2的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幕函数的单调性进行合理

44

放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的

中间量放缩.

8.A

答案第4页，共21页

【分析】先利用为=g（丽+丽）和余弦定理得到|PQ|=；,2（附「+1）TAB「=2,可

33

得1PAi2+|冏2=10,即可求3乙4尸8=两丁阿，进而求得|PT|=网，再利用基本不等式

即可得到答案

【详解】连接尸。,

在钻中，因为。是AB的中点，

所以的=；（而+丽），平方得|而『=：（|百彳+|丽『+2]固•〔丽|cos/AP8）,

将cos/A映照2看篙目代入可得|「。|=乂2（|哂+阀＞函=2,

因为|圈=2,所以|承「+归到2=]0,

3

所以C°S4P公师网，

3

在RIAPBT,归71=归38$乙428=两，

Q.__

所以21PAi+3|PT|=2|PA|+网22a=6&,

当且仅当21P川=向即1pAi=半时，取等号,

故选：A

9.ABD

【分析】根据相关性、相关系数判断A,利用样本中心点判断B,将x=85代入回归直线方

程判断C,求得x=105时）'的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.

【详解】对A,由回归直线可得变量x,V线性负相关，且由相关系数"=0.9923可知相关

性强，故A正确；

_1-1

对B,由题可得x=g（90+95+100+105+110）=100,y=-（11+10+8+6+5）=8,

故回归直线恒过点（100.8）,故8=-O.32xlOO+a，即「40,故B正确；

答案第5页，共21页

对C,当x=85时，y=-0.32x85+40=12.8，故C错误；

对D,相应于点;（105,6）的残差工=6-（-0.32、105+40）=-0.4,故D正确.

故选：ABD.

10.ABC

【分析】根据点P（3，l）在椭圆C外，即可求出匕的取值范围，即可求出离心率的取值范围，

从而判断A；

根据离心率求出c,则制e[a-c,a+c],即可判断B；

设上顶点A,得到斯•再＜0,即可判断C；

根据|Q用+|Q闾=4利用基本不等式判断D.

【详解】由题意得。=2,又点网夜」）在椭圆C外，则＞£＞1,解得

所以椭圆C的离心率6=?=与乙＞,，即椭圆C的离心率的取值范围是（孝,1）,故A

正确；

当e时，c=也,b=,Ja2-c2=1＞所以|。用的取值范围是[a-c,a+c],即

[2-6,2+司，故B正确;

设椭圆的上顶点为A（0,匕），£（-c，0）,E（GO）,由于福・通'=/—。2=乃2一°2＜。，

所以存在点。使得西•丽=0,故C正确；

（|Q用+|Q周=2+22+2=4,

Wil"21rMiQF4的研

当且仅当I。甲=|Q闻=2时，等号成立，

又|Q片1+1。周=4,

所以向+血认故D不正确.

故选：ABC

11.BD

【分析】对A,作出如图空间直角坐标系A-孙z,由向量法结合向量垂直判断即可；

答案第6页，共21页

对B,由几何关系得出gP与平面CCQQ所成线面角NB/G，可得GP=1,则点P的轨

迹是以G为圆心，以1为半径的!个圆；

对c,由4=1得点P在。。上，利用几何关系可得△必。的面积最值在端点及中点位置;

对D,将平面CDD,与平面ABC。沿CR展成平面图形，线段AQ即为|而|+1*I的最小值,

利用余弦定理即可求.

【详解】对A,建立如图所示的空间直角坐标系A-盯z,

则4(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),A(0,0,1),C,(1,1,1),D,(0,1,1),

所以西=,BIP=BIC+CP=BlC+A.CD+4G=(一九1,〃一1),

则B4；=(-l,0,l),=(-1,1,0),设平面AB。的一个法向量为”=(x,y,z),

所以二，令X=l,则y=z=i,即平面48。的一个法向量为"=(1,1,1),若

BDn=-x+y=0

与尸〃平面ABO,则加=0,即4=〃，

由耶•西=/I+〃—1=0,则2=〃=；，即尸为C。中点时，有用尸〃平面A8。，且8/，CR,

A错；

对B,因为BG_L平面CG。。，连接C/,则即为8尸与平面CG。。所成角，

答案第7页，共21页

若用产与平面CGRO所成角为:，则tanNBfG=q^=l,所以G尸=4G=1，

即点P的轨迹是以G为圆心，以1为半径的!个圆，于是点P的轨迹长度为B对；

42

对c,因为2=1,所以点P一定在鼻。上，又因为当〃=0或1时，△PAC的面积取最大值,

此时截面面积为近，

设R。的中点为H，由图形的变化可得当点尸在。”和RH运动时，所得截面对称相同，

于是当〃=!时，△P4C的面积取最小值名，此时截面面积为必，c错；

242

对D,如图，将平面CD"与平面A8CR沿CQ展成平面图形，

线段A。即为I厉1+1卒I的最小值，

3元r~

利用余弦定理可知4尸=A々-2AO,­DD,cos—=2+V2,

所以AQ=q2+四,D对.

故选：BD

【点睛】(1)容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题.本题A中，通

过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问

题；

(2)B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆

弧；

(3)C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成

讨论高的范围问题；

(4)D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.

12.ABD

答案第8页，共21页

【分析】A选项中，令/=6、>1,利用导数可求得g。)单调性，根据复合函数单调性的基本

原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得f(x)在(0,+8)上单调递增，由此可将恒成立

的不等式化为。2圆吧，令/?(》)=出(》>1),利用导数可求得/?(x)四，由aN/i(x)a可

XX

知B正确；C选项中，利用导数可求得f(x)的单调性，由此确定玉<0<£,若玉+%>0,

可等价转化为了(XJ>〃F),令歹(x)=/(x)-〃-x)(x<0),利用导数可求得尸(x)单调

性，从而得到尸(x)<0,知f(xj可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等

式化为/a)=/(lnw)=(>2),从而可确定多>%>1,结合〃x)单调性得到%=In%,

由此化简得到一半一=学，令夕⑺=也。>2),利用导数可求得e(。最大值，知D正确.

工2—再，t

【详解】对于A,当x>0时，eA>1,令t=e',则f>l,g(r)=f-lnf,

•rg'⑺=1-；=9,.・・当r>l时，恒成立，，g⑺在(1,行)上单调递增；

f=e"在(0,+8)上单调递增，

根据复合函数单调性可知：g(e,)在(0,+8)上为增函数，A正确；

对于B,当x>l时，lnx2>lnl=0，又“为正实数，二双〉。〉。，

•.•/'(x)=e*—1,.•.当x>0时，，4戈)>0恒成立，\/(x)在(0,+8)上单调递增，

则由/(ar)N/(In/)得：狈21nx即“之手，

令力(》)=受(》>1),则=

当尤w(l,e)时，”(x)>0；当xw(e,+oo)时，”(x)v0；

.•/(X)在(l,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，.♦/(x)max=Me)=：,

22

则正实数〃的最小值为上，B正确；

ee

对于C,1."'(x)=e*-l,.,.当x<0时，当x>0时，/«x)>0；

\f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+e)上单调递增；”(%)m="0)=1,则/>1；

不妨设芭<*2，则必有王<。<七,

答案第9页，共21页

若％+X2>0,则々>-%>0,等价于/(七)>/(一不)，

又〃/)=〃％)，则等价于〃石)>，(一百)；

令尸(x)=/(x)-/(-x)(x<0),贝|JF(x)=e'+1一2,

Qx<0,ex>\,.-.e^+e^>2>/ex-e-'=2>即k'(x)>0,

・•・E(x)在(y,0)上单调递增，..打工人尸⑼二。，即〃x)<f(-x),

可知玉+七>0不成立，C错误；

对于D,由/(xj=g(x2)=f(r>2),&>弓>0得：e'1-A,=AJ-In^=elnV2-Inj^=r(/>2),

即/(X1)=/(lnx2)=r(r>2),

由C知：〃X)在(-8,0)上单调递减，在(o,+8)上单调递增；

/(l)=e-l<2,%,>1,则Inx2>0,

InrInrInfInf

"=1眸，即"3，...====即=丁；

令夕(。=罟。>2),则<()=.!F',

,当re(2,e)时，。'⑺>0；当re(e,+<»)时，^(?)<0；

“⑺在(2,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，,⑺,1ms=Q(e)=g,

即也一的最大值为！，D正确.

马一再e

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类

似于玉+々>。(〃与)=〃々))的问题的基本步骤如下：

①求导确定“X)的单调性，得到与工的范围；

②构造函数尸(x)=/(x)-"a-X),求导后可得尸(x)恒正或恒负；

③得到了(%)与"af)的大小关系后，将"与)置换为〃々)；

④根据々与“-为所处的范围，结合/(x)的单调性，可得到演与。一七的大小关系，由此证

得结论.

答案第10页，共21页

13.2

【分析】先算出”，再写出通项公式，确定x的次数为整数即可

【详解】的展开式有〃+1项，因为仅有第5项的二项式系数最大，所以”=8

/।(XYs_i6

—•一2炉=C”-2)”[6

\J\7

当r=2时一驾=-1,当r=8时,。一号=4,符合题意

6666

所以展开式中有理项的个数为2

故答案为：2

14.｛1,2,3,4)

【分析】分离常数，求出函数/(灯=*会4.|S的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.

、41

【详解】解：f(x)=——-=1+------,・・2>0,/.1+2、>1,0<-------<1,

')2、+12X+12*+1

则1<1+用<5,Bpi</(x)<5,

当1</(尤)<2时,[〃切=1；

当24/(x)<3时，卜(切=2；

当34〃x)<4时，卜(切=3；

当44f(x)<5时，卜(切=4,

综上,函数尸[〃明的值域为｛123,4｝.

故答案为：｛123,4｝.

,,2023

*5-衲

【分析】由已知整理得乎=八〃)，先利用累乘法求数列｛4｝的通项，再利用错位相减法求

其前2021项的和，从而得到结果.

【详解】由“用=亚土9%(〃€1<)得：也=亚察，

a…x&x生xq=2"-'^—x--.x—x—x2>1=(/?+1)-2"-1.

«„-1*出qI«n-\32JV'

答案第H页，共21页

设5“=q+/+…+。〃，

jaiJS“=2x2'>+3x2i+4x22+...+〃.2"2+(〃+i).2"T,

23,|,,

.•.2S„=2x2'+3x2+4x2+---+«-2'-+(n+l)-2)

,2(1-2"叫

.•.-S,=2+1+22+…+2"T_(”+1).2"=2+-^------+

1—2

=2+2〃-2-(〃+1>2"=-分2",

an

S〃=〃•2",即q+^---^n-'2",

20212021

S^,=202lx2,a2O12=2023x2,

.4O22_2023X220212023

4++,•,+氏02]2021x2~°J2021

故答案为：翳.

16.(-4,0]

【分析】设点八），由己知关系，可用P点坐标表示出|尸。.在RtAPAC,有

COS2/PC4=£*,进而可推出瓦•无=；~~13-4,根据光的范围，即可得到结果.

\PC\（%-1）+8

由已知，C（0,3）,r=2.

如图，设点。(毛，为)，则靖=4%,

|PC|2=年+(%-3)2=%2_2%+9=(%-1)2+8,

在RtZ\R4c中，有

答案第12页，共21页

4

谒"胃(为7『+8

-8

易知ZACB=2ZPCA,则cos4cB=2cos-ZPCA-1=-----^―-T,

(%-1)+8

则瓦而=|可函cosZACB=4----久----1

11------7----4

"[(%-1)一+8(%-1)+8

因为，为之0,所以当％=1时，瓦.丽取得最大值干-4=。,

O

又7中二7>°，所以，CACB>~4-

（%一1）+8

所以，瓦.丽的取值范围是（T,。].

故答案为：（T,0].

17.(l)a„=2«-1

(2)证明见解析

【分析】（1）利用公式4=E，“22时，4,=S“-S“T，代入化简得到数列｛%｝的递推公式,

即可求解通项公式；

（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.

2

【详解】（1）当〃=1时，4at=a,+2at+1,解得q=l；

当”22时，由4s“=。；+2。“+1,得4s,一=a,\+2%+1,

两式相减可得4%=a；-0式|+2%-2a„_,,a：-产2（a„+4_J,又%>0,

=2,即｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列，

因此，｛《,｝的通项公式为凡=2〃-1；

,、,211

⑵证明：由⑴可知勺=2〃7,所以"=⑵口）（2“+1）=罚一五7T，

T77,.11111.1

T=b.+4H---卜b,,=1---1------1---1------------=1-------,

"1-"3352/7-12n+l2n+\

因为不二>0恒成立，所以

2〃+1

答案第13页，共21页

2o

又因为小Y=%=（2〃+I）（2〃+3）>°'所以｛1｝单调递增，所以<24=4=屋

2

综上可得§47；<1.

18.（1）可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析

【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；

（2）利用事件，利用条件概率求出答案；

（3）设〃次传球后球在甲手中的概率为P“，〃=1,2,3…，得到pm=-gp“+；,利用构造

法得到亿以一；），即数歹是以-g为首项，为公比的等比数列，从

而求出通项公式，得到答案.

【详解】⑴2=200x（40x80-60x20）^9524>66357

100x100x60x140

故依据a=0.01的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A,选到的学生为男生

为事件B,

则〃（4?）=80,〃（A）=140

/.、n（AB）804

则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率==140=7；

（3）设〃次传球后球在甲手中的概率为P"，”=1,2,3…,

则有Pi=0，P„+i=^（l-P„）+0-p„=--/?„+1,

Ii3

=Pn

设P“+i+%=_2（〃“+兄），则Pn+\~2~~2^'

所以-?=；,解得：

1IfD廿411

所以p”+l_]=_/[p“一§J,其中Pl

答案第14页，共21页

故数列是以为首项，为公比的等比数列,

〃一I

所以小T

2

〃一

,,11111

故P“=］一§x1

242

故第〃次传球后球在甲手中的概率为§1-

19.（1）见解析

十+CE1

⑵存在‘说二5

【分析】（1）由面面垂直的性质可得再得出即可证明；

（2）设屋=2西，求出平面8EN和平面5MN的法向量，利用向量关系建立方程求出2即

可得出.

【详解】（1）证明：正方形ABCD中，BCLAB,

•••平面平面ABA/N,平面A5coe平面=BCu平面ABC。，

.,.3C_L平面又平面A8VW,

BC1BM,S.BC±BN,又BC=2,CN=2G,

BN=>JCN2-BC2=2A/2-y.-.'AB=AN=2,BN2=AB2+AN2,

:.AN1AB,又•：ANUBM,:.BM±AB,

又8CnBA=氏BA,8Cu平面ABCD,

•••平面ABC。；

（2）解：如图，以B为坐标原点，8c所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则B（0,0,0）M（2,0,0）,C（0,0,2）,。（2,0,2）,N（2,2,0）,“（0,4,0）,

设点E（a,b,c）,CE^ACM（0<A<l）,.-.（a,b,c-2）=A（0,4,-2）,

a=0

:.-b=4A,.-.E（0,4Z,2-2/l）,

c=2—22

:.BN=（2,2,O）,BE=（O,4A,2-2A）,

答案第15页，共21页

设平面B£N的法向量为%=（x,y,z）,

BN•丽=2x+2y=Q

BE•丽=4/ly+(2-24)z=0

.22—(22

令x=1,y=-1,z=-—11,-L

1^1

显然，平面BMN的法向量为前=（0,0,2）,

|21_8_1

即"(l-l)+4万373，即12属卜,6/12-42+2,

即3万+2；1-1=0,解得2=（或一1（舍）,

所以存在一点E,且

EM2

【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PC•尸。的最大值为1,再利用面积公式即可

求解；

（2）由四边形488存在外接圆，知四边形A8C。为等腰梯形，连接AC,设NCR4=6,

ZC4B=x,

利用正弦定理，表示AB,BC,CD,进而利用基本不等式求解.

【详解】（1）由已知NOPC=NAP8=。，

答案第16页，共21页

在#CD中，利用余弦定理知1=8?=PC1+PD2-2PCPDcosNPDC，

TT

结合基本不等式有后2PCPD-2PCPDcos^=PCPD,

当且仅当PC=PD=1时，等号成立，即PCPD的最大值为1,

S=-PCPDsm-=—PCPD<—

力p8cn2344

所以APCD面积的最大值为3

4

(2)四边形ABCD存在外接圆，.•.ND43+N£)C8=;r

又PA=PB,：.ZDAB^ZCBA,:.NCBA+NDCB=兀,

ABIICD,所以四边形ABC。为等腰梯形，

连接4C,设NC8A=6,ZCAB=x,

在ABAC中，由正弦定理得，—AB-=2R,

sin(4一工一，)smx

.・.BC=2Rsinx,AB=2Rsin(〃一x-6)=2Rsin(6+x)

同理，在△AC。中，由正弦定理得，CD=2Rsin(^-x),

所以AB•5。・COQ=16R2sin?xsin(6>-x)sin(6>+x)

=16R2sin2x(sin2^cos2x-cos20sin2x)

16R2sin2x^sin260-sin2x)-cos20sin2x]

=16Ksin2x(sin2^-sin2x)

・・・/APBe,-.0<x<(9<y,.-.o<sin2x<sin26>

-c/cc、、sin2x+(sin20-sin2x\

.J6R2sin2x(sin26>-sin2x)<16R2--------------------L2sin40,

当且仅当sin?x=sin?6-sin晨，即sir?x=gsii?6

•••ee(o,g,.•.sinZev],当且仅当时，等号成立,

即4R3但)，，即R=:

⑷99

答案第17页，共21页

p.

A匕----------------B

2

21.（1）^1-/=1；

4

（2）证明见解析，（号,。）.

【分析】（1）分别讨论与圆A外切圆B内切、与圆A内切圆8外切，结合双曲线的定义即可

求得方程；

（2）分别讨论直线/的斜率存在不存在的情况，其中斜率存在时，设直线/的方程为丫=辰+机,

由而.而=0,结合数量积坐标运算及韦达定理，即可化简得出，"与k的关系，即可进一

步讨论定点

【详解】⑴依题意，4（-75,0）,B（百0）,

当动圆〃与圆A外切且与圆B内切时，有|M4|-2=|MB|+2,即口例-|用网=4,

当动圆M与圆A内切且与圆B外切时，有|M4|+2=|历同一2,Bp|MA|-|MB|=-4,

即||M4|-|MB||=4（＜2石=|AB|）,

动圆的圆心〃的轨迹C是以A、B为焦点的双曲线，其中a=2,c=右，.•力=1,

・•・轨迹C的方程为二-丁=1；

4

（2）证明：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为、=丘+“，P（x，y）,Q（2，%），

由『得（1-4J12）X2-Skfn