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好风光好风光恢复供货才自然数的基数理论和序数理论作业参考解答王海提供，李俊校核2009-9-28设,,均为自然数,用基数理论证明：若<,<,则<.证：设非空有限集合满足=,=,=.由<，则,满足=,s.t.,则有=.同样由于<，则,满足=,s.t.,则有=.由,故可建立一个从到的双射φ,使得φ()=,φ-1()=.又由于是的真子集,则的子集,s.t.φ()=,φ-1()=.那么即有=,又是的子集,又是的真子集所以===<=.即<.证毕.注意：证明始终要扣住定义，所以“非空有限集”“真子集”、“不交”（下一题）、“乘以某数的后继”（最后一题）等细节都必须一一交待。设,,均为自然数,用基数理论证明(+)+=+(+).证：设为两两不相交的非空有限集合,满足=,=,=.由于两两不相交,故其中任意两个集合之并与第三者仍不相交.即：(+)+表示集合与的并之后再与集合的并集的基数.同理+(+)表示集合与和的并之后的并集的基数.设={},={},={}.则由前面可知(+)+==,其中=.由于两两不交，则={,,}.同理+(+)==,其中=={,,}=.所以(+)+=+(+)得证.设,,是自然数，用序数理论证明=和=.证：先证=取定,设M是使得上面等式成立的=所有组成的集合..==,所以M..假设,即=.则====,即.根据归纳公理，故有.其中为全体自然数集.由的任意性，得=.证毕.再证=取定,设是使得上面等式成立的=所有组成的集合..==,即..假设,那么.即.由归纳公理，故有.其中为全体自然数集.由的任意性，得=.证毕.说明：在这个题目中，为什么我们要固定,而不是其他呢？是因为我们定义乘法时是放在乘号

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