优化设计第二部分约束最优化方法补充全演示文稿

优化设计第二部分约束最优化方法补充全演示文稿现在是1页\一共有149页\编辑于星期三优选优化设计第二部分约束最优化方法补充全现在是2页\一共有149页\编辑于星期三原问题表述为：标准化后：线性规划问题－目标函数与约束函数均是线性的现在是3页\一共有149页\编辑于星期三线性规划问题相关定理1、线性规划问题的可行域D是凸集。2、若线性规划问题存在最优解，则目标函数的最优值可在某个极点（顶点）达到。x1x2Dz减小的方向最优解最优解：x1=x2=20现在是4页\一共有149页\编辑于星期三二、线性规划问题的单纯形求解算法介绍1947年提出，后有许多改造，形成许多变种。应用较广，具权威性。现举例说明该算法的基本思想现在是5页\一共有149页\编辑于星期三x1x2z下降的方向12345极点1－2－3－4？极点1－5－4？极点1－4？思想：从一个基本可行解（极点）出发，求另一个使目标函数值下降的基本可行解…..现在是6页\一共有149页\编辑于星期三引入松弛变量x3、x4、x5，原式化成标准形式现在是7页\一共有149页\编辑于星期三其中在中若令其中的两个未知量为零，则剩余的三个可由其解出。现在是8页\一共有149页\编辑于星期三1）如另x1=x2=0，则有x1x212345上面的解是可行解，x1=x2=0对应于点1——基本可行解——基变量现在是9页\一共有149页\编辑于星期三2）通过某些判定条件。令x5=x2=0新的解是可行解，x1=3，x2=0对应于点5——另一基本可行解x1x212345——基变量——非基变量现在是10页\一共有149页\编辑于星期三3）通过某些判定条件。令x5=x4=0x1x212345新的解是可行解，x1=4.2，x2=5.2对应于点5——最优基本解——基变量关键点：每次取三个基变量，根据一些判定条件选择。前后两次迭代的基变量相差一个。极点1－5－4——非基变量现在是11页\一共有149页\编辑于星期三一般形式的线性规划问题其中三、利用MATLAB求解线性规划问题现在是12页\一共有149页\编辑于星期三现在是13页\一共有149页\编辑于星期三现在是14页\一共有149页\编辑于星期三linprog(C,A,b,Aeq,beq，Lb,Ub)现在是15页\一共有149页\编辑于星期三>>C=[1;-3;1];>>Aeq=[2-11];>>beq=8;>>A=[-2-10;120];>>b=[-2;10];>>Lb=[0;0;0];>>x=linprog(C,A,b,Aeq,beq,Lb,[])Optimizationterminatedsuccessfully.x=0.80824.595910.9794现在是16页\一共有149页\编辑于星期三现在是17页\一共有149页\编辑于星期三现在是18页\一共有149页\编辑于星期三>>C=[-4;-1];>>A=[-12231-1]>>b=[4;12;3];>>Lb=[0;0];>>x=linprog(C,A,b,[],[],Lb,[])

Optimizationterminatedsuccessfully.x=4.20001.2000现在是19页\一共有149页\编辑于星期三现在是20页\一共有149页\编辑于星期三引例：某车间生产A和B两种产品。为了生产A和B，所需的原料分别为每台2与3个单位，所需工时分别为每台4和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位。每生产一台A和B分别可得利润6元和4元。应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？标准化后MATLAB求解现在是21页\一共有149页\编辑于星期三现在是22页\一共有149页\编辑于星期三四、二次规划问题其中现在是23页\一共有149页\编辑于星期三现在是24页\一共有149页\编辑于星期三quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq，Lb,Ub)现在是25页\一共有149页\编辑于星期三>>f=[-2;-6];>>H=[1-1;-12];>>A=[11;-12;21];>>b=[2;2;2];>>Lb=[0;0];>>x=quadprog(H,f,A,b,[],[],Lb)Optimizationterminatedsuccessfully.x=0.40001.2000现在是26页\一共有149页\编辑于星期三现在是27页\一共有149页\编辑于星期三习题：用Matlab求解下列优化问题现在是28页\一共有149页\编辑于星期三§2－2约束最优化方法概述

在工程实际中，所有设计问题几乎都是约束非线性规划问题。现在是29页\一共有149页\编辑于星期三

目前对于约束非线性最优化问题的解法较多，可以分为两大类。直接法：用原来的目标函数限定在可行域内进行搜索，且在搜索的过程中一步步的降低目标函数值，直到求出在可行域内的一个最优解。主要方法有：有约束变量轮换法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。间接法：将约束最优化问题通过变换，转成为无约束最优化问题，然后再用无约束最优化方法来求得最优解。主要方法有：消元法、拉格朗日乘子法、罚函数法等。

现在是30页\一共有149页\编辑于星期三

目前约束最优化问题的算法收敛速度的判断比无约束最优化问题困难，约束最优化问题的研究和进展情况远不如无约束最优化问题。在本章将主要介绍随机方向搜索法、复合形法、罚函数法。现在是31页\一共有149页\编辑于星期三§2－2约束随机方向搜索法一、基本原理

约束随机方向搜索法是解决小型约束最优化问题的一种较为有效的直接求解方法。约束随机方向搜索法是一种数值迭代解法，其基本思想可用二维最优化问题来进行说明。现在是32页\一共有149页\编辑于星期三等值线等值线等值线现在是33页\一共有149页\编辑于星期三现在是34页\一共有149页\编辑于星期三等值线等值线等值线现在是35页\一共有149页\编辑于星期三现在是36页\一共有149页\编辑于星期三二、初始点的选择现在是37页\一共有149页\编辑于星期三现在是38页\一共有149页\编辑于星期三现在是39页\一共有149页\编辑于星期三现在是40页\一共有149页\编辑于星期三三、随机搜索方向的产生现在是41页\一共有149页\编辑于星期三现在是42页\一共有149页\编辑于星期三现在是43页\一共有149页\编辑于星期三四、随机方向搜索的计算过程和算法框图现在是44页\一共有149页\编辑于星期三现在是45页\一共有149页\编辑于星期三现在是46页\一共有149页\编辑于星期三现在是47页\一共有149页\编辑于星期三随机方向搜索法计算框图现在是48页\一共有149页\编辑于星期三随机方向搜索法计算框图（续）一维搜索过程现在是49页\一共有149页\编辑于星期三例、用随机方向法求解下列优化问题取迭代13次，求得现在是50页\一共有149页\编辑于星期三kx1x2f(x)0-2.02.06.01-0.1681.1171.196┈┈┈┈4-0.0331.0241.025┈┈┈┈10-0.077-2.998-2.998┈┈┈┈13-0.00247-3.0-3.0迭代过程显示现在是51页\一共有149页\编辑于星期三一维搜索说明——简单过程搜索方向x1x201234不可行点现在是52页\一共有149页\编辑于星期三§2－3复合形法一、复合形法的基本原理现在是53页\一共有149页\编辑于星期三x1x2K=3K=4n=2K=6K=4n=3x1x2x3现在是54页\一共有149页\编辑于星期三复合形法的基本原理现在是55页\一共有149页\编辑于星期三现在是56页\一共有149页\编辑于星期三现在是57页\一共有149页\编辑于星期三现在是58页\一共有149页\编辑于星期三现在是59页\一共有149页\编辑于星期三现在是60页\一共有149页\编辑于星期三二、初始复合形的产生2012年12月6日现在是61页\一共有149页\编辑于星期三现在是62页\一共有149页\编辑于星期三现在是63页\一共有149页\编辑于星期三现在是64页\一共有149页\编辑于星期三现在是65页\一共有149页\编辑于星期三现在是66页\一共有149页\编辑于星期三现在是67页\一共有149页\编辑于星期三三、复合形法的迭代过程和算法框图现在是68页\一共有149页\编辑于星期三现在是69页\一共有149页\编辑于星期三现在是70页\一共有149页\编辑于星期三现在是71页\一共有149页\编辑于星期三现在是72页\一共有149页\编辑于星期三现在是73页\一共有149页\编辑于星期三现在是74页\一共有149页\编辑于星期三复合形法计算框图现在是75页\一共有149页\编辑于星期三复合形法计算框图（续）现在是76页\一共有149页\编辑于星期三复合形法计算框图（续）现在是77页\一共有149页\编辑于星期三四、复合形法算例现在是78页\一共有149页\编辑于星期三现在是79页\一共有149页\编辑于星期三现在是80页\一共有149页\编辑于星期三现在是81页\一共有149页\编辑于星期三现在是82页\一共有149页\编辑于星期三次数复合形顶点及目标函数值迭代终止判别值初始12270.015955280.009021各次迭代结果：现在是83页\一共有149页\编辑于星期三§2－4罚函数法一、罚函数法的基本原理现在是84页\一共有149页\编辑于星期三现在是85页\一共有149页\编辑于星期三一系列无约束优化问题的解逼近原问题的最优解现在是86页\一共有149页\编辑于星期三对罚函数的进一步说明现在是87页\一共有149页\编辑于星期三现在是88页\一共有149页\编辑于星期三总结求解过程现在是89页\一共有149页\编辑于星期三二、外点罚函数法(一)基本原理现在是90页\一共有149页\编辑于星期三现在是91页\一共有149页\编辑于星期三化成标准形式现在是92页\一共有149页\编辑于星期三现在是93页\一共有149页\编辑于星期三现在是94页\一共有149页\编辑于星期三外点法：罚函数的无约束最优解在可行域外部。现在是95页\一共有149页\编辑于星期三现在是96页\一共有149页\编辑于星期三现在是97页\一共有149页\编辑于星期三现在是98页\一共有149页\编辑于星期三外点罚函数法计算框图现在是99页\一共有149页\编辑于星期三现在是100页\一共有149页\编辑于星期三理论最优解X*数值最优解X*外点法现在是101页\一共有149页\编辑于星期三三、内点罚函数法(一)基本原理现在是102页\一共有149页\编辑于星期三现在是103页\一共有149页\编辑于星期三现在是104页\一共有149页\编辑于星期三现在是105页\一共有149页\编辑于星期三现在是106页\一共有149页\编辑于星期三现在是107页\一共有149页\编辑于星期三内点罚函数法计算框图现在是108页\一共有149页\编辑于星期三现在是109页\一共有149页\编辑于星期三现在是110页\一共有149页\编辑于星期三四、混合罚函数法内点形式的混合罚函数法现在是111页\一共有149页\编辑于星期三可直接令注：初始迭代点应在严格满足不等式约束的区域内。现在是112页\一共有149页\编辑于星期三现在是113页\一共有149页\编辑于星期三现在是114页\一共有149页\编辑于星期三现在是115页\一共有149页\编辑于星期三*§2－5MATLAB求解非线性规划问题与应用实例考虑如下约束优化问题A—线性不等式约束的系数矩阵b—线性不等式约束的右端向量Aeq—线性等式约束的系数矩阵beq—线性等式约束的右端向量C(X)与Ceq(X)是非线性约束函数返回的向量。Lb与Ub是变量的上下限。现在是116页\一共有149页\编辑于星期三x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,nonlcon)求解上述约束优化问题的MATLAB函数非线性约束函数，需要定义外部函数，计算并返回C(X)与Ceq(X)向量现在是117页\一共有149页\编辑于星期三例其中现在是118页\一共有149页\编辑于星期三x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,nonlcon)在Matlab命令窗口中输入》A=[-1-2-2;123]；》b=[0;72]；》x0=[10;10;10]；》[x,fval]=fmincon(‘-x(1)*x(2)*x(3)’,x0,A,b)结果：x*=[24,12,8]Tfval=-2.3040e+003现在是119页\一共有149页\编辑于星期三例定义两个外部函数，分别计算目标函数值与约束函数值。约束函数化成标准形式目标函数与约束函数均为非线性现在是120页\一共有149页\编辑于星期三function[C,Ceq]=fcon(x)g1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);g2=-x(1)*x(2)-10;C=[g1;g2];Ceq=[];functiony=fobj(x)y=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,nonlcon)现在是121页\一共有149页\编辑于星期三现在是122页\一共有149页\编辑于星期三现在是123页\一共有149页\编辑于星期三[x,fevl]=fmincon(‘fobj’,x0,[],[],[],[],[],[],‘fcon’)得解：x*=[-9.5474,1.0474]T,f(x*)=0.0236x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,nonlcon)现在是124页\一共有149页\编辑于星期三现在是125页\一共有149页\编辑于星期三例与前题的区别：多了一个等式约束。现在是126页\一共有149页\编辑于星期三function[C,Ceq]=fcon(x)g1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);g2=-x(1)*x(2)-10;C=[g1;g2];Ceq==-x(1)^2+x(2);functiony=fobj(x)y=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);[x,fevl]=fmincon(‘fobj’,x0,[],[],[],[],[],[],‘fcon’)得解：x*=[-1.1121,1.2367]T,f(x*)=1.9660现在是127页\一共有149页\编辑于星期三>>[C,Ceq]=fcon(x)C=0-8.6246Ceq=0最优解满足等式约束，且在第一个不等式约束的边界上。现在是128页\一共有149页\编辑于星期三现在是129页\一共有149页\编辑于星期三现在是130页\一共有149页\编辑于星期三例

与前题的区别：多了设计变量下限的约束。计算目标函数与非线性约束函数值的外部函数不变。[x,fevl]=fmincon(‘fobj’,x0,[],[],[],[],Lb,[],‘fcon’)>>Lb=[-2;2];现在是131页\一共有149页\编辑于星期三得解：最优解x*=[-1.4142,2.000]T

最优值f(x*)=2.3549[x,feval]=fmincon(‘fobj’,x0,[],[],[],[],Lb,[],‘fcon’)现在是132页\一共有149页\编辑于星期三现在是133页\一共有149页\编辑于星期三现在是134页\一共有149页\编辑于星期三轮式车辆前轮转向梯形四杆机构的优化设计后轮（驱动）前轮（转向）直线行驶梯形转向机构一般轮式车辆多为后轮驱动，前轮导向。

工程实例现在是135页\一共有149页\编辑于星期三转向中心Oαβ当车辆绕转向中心O作等角速转向时，要求全部车轮作无侧向滑动的纯滚动。现在是136页\一共有149页\编辑于星期三转向臂θ0转向臂连杆固连在一起，绕铰点转动θ0梯形机构形状改变，实现转向现在是137页\一共有149页\编辑于星期三转向中心Oαβ

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