全国通用版讲义第2章 疑难规律方法

1指数与指数运算疑点透析1．如何理解n次方根的概念若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝eq\r(n,a)吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)，n为奇数,±\r(n,a)，n为偶数，a＞0,不存在，n为偶数，a＜0,0，a＝0))主要性质：①当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；②当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不可以理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r，s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．4．指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1化简÷eq\r(\r(3,a－7)\r(3,a13)).解原式＝例2求的值．解原式＝例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．难点之一：概念指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.以上函数中指数函数的个数是________．分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．解析对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．答案1难点之二：讨论指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．例2函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，求a的值．分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.解当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(3a,2)，所以a＝eq\f(3,2)；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(a,2)，所以a＝eq\f(1,2).综上可知，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).难点之三：复合指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．例3求函数的单调递减区间．分析指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．解由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\r(u)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).难点之四：图象指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．例4利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．分析可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．解如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，易知0.7－0.3＜0.4－0.3.评注图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．3对数与对数运算学习讲解1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a，N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．2．对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.3．对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．例1将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log3eq\f(1,27)＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝eq\f(1,27)；(2)25＝32；(3)log6216＝3；(4)log100.001＝－3，也可写成lg0.001＝－3.评注本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．例2求下列各式的值：(1)3log72－log79＋2log7eq\f(3,2\r(2))；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2\r(2))))2＝log7eq\f(23×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2\r(2))))2,9)＝log71＝0；(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝3.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．4换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．一、换底公式及证明换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab).证明设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.∴x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).二、换底公式的应用举例1．乘积型例1(1)计算：log89·log2732；(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．(1)解换为常用对数，得log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,3)＝eq\f(10,9).(2)证明由换底公式，得logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝logad.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．2．知值求值型例2已知log1227＝a，求log616的值．分析本题可选择以3为底进行求解．解log1227＝eq\f(log327,log312)＝a，解得log32＝eq\f(3－a,2a).故log616＝eq\f(log316,log36)＝eq\f(4log32,1＋log32)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．3．综合型例3设A＝eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)，B＝eq\f(1,log2π)＋eq\f(1,log5π)，试比较A与B的大小．分析本题可选择以19及π为底进行解题．解A换成以19为底，B换成以π为底，则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.评注一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝eq\f(1,logba).5精析对数函数一、对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．由对数的定义容易知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．二、对数函数的图象和性质1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭”；(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．2．对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具体解题时，还可利用特殊值法．例1函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0,x－1≠1,4－x＞0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1,x≠2,x＜4))，所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．答案{x|1＜x＜4，且x≠2}评注函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d与正整数1的大小顺序是()A．1＜d＜c＜a＜bB．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b解析作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a，b，c，d，于是c＜d＜1＜a＜b.答案B评注利用特殊值的办法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决.6三类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例1已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．分析由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．解因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.评注本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例2设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．分析由已知猜想f(x)是指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的抽象函数，从而猜想f(0)＝1且f(x)>0.解(1)将y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0.若f(x)＝0，则对任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f(x)≠0，从而f(0)＝1.(2)设x＝y≠0，则f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)>0，由x为任意实数，知f(x)>0.故对任意x∈R，都有f(x)>0.评注从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f(x)[1－f(0)]＝0，直接得出f(0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例3设函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，求不等式f(x＋3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))≤2的解集．分析由已知猜想f(x)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的抽象函数．解(1)将x＝y＝1代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，得f(1)＝f(1)－f(1)，所以f(1)＝0.(2)因为f(6)＝1，所以2＝f(6)＋f(6)，于是f(x＋3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))≤2等价于f(x＋3)－f(6)≤f(6)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,6)))≤f(6x)，而函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,6)≤6x，,\f(x＋3,6)>0，))解得x≥eq\f(3,35)，因此满足已知条件的不等式解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,35)，＋∞)).评注(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x1<x2，则f(x1)<f(x2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f”，从而使问题得以解决．7巧解指数、对数函数综合题指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指数、对数函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．1．共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指数、对数方程及互化等问题．例1方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.解析将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝eq\f(1,3)，故x＝－1.答案－12．亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．例2当a＞1时，在