文献综述大赛匿名经济统计学

Copula理论及模型在管理中的应用文献综 ：风险价值管理Copula函数厚尾LitureReviewofCopulaTheoryandModelintheapplicationofFinancialRiskManagementInthetraditionalriskmanagementtheory,weusuallyassumethattheassetreturnfollowsanormaldistribution,andusingthelinearcorrelationcoefficientasameasureoftheassetcorrelationindex.However,manyresearchresultsshowthat,thefinancialassets ehasthicktail,whicharenotconsistentwiththenormaldistributionassumption;whenthemarketfluctuations,thelinearcorrelationcoefficientcan’treflectthetailcorrelationcharacteristicsofassetyieldcurve.TheCopulafunction esthe ingsofthetraditionalrisktheory,providinganewmethodforthestudyofthecorrelationbetweenthetwoassets.ThispapersystematicallyreviewstheapplicationofCopulatheoryinfinancialriskmanagement,andputforwardrelevantfutureresearchprospects.Keyword:ValueatRisk Financialriskmanagement CopulaFunctionThickTail一、引20世纪90年代以来，伴随着经济全球化和金新进程的加快，世界各国的经济开坏，更进一步地使人们了管理的必要性和紧迫性险度量在管理中占据着的地位。Embrechtsetal.(1999)[1]要素，研究风险因素间的相依特性和结构形式以认识评估风险因素；Boyer1999),Eriketal.(2007)[2-3]也认为，充分考虑风险因间的相依关系对于组合风险的管理起着关键的作用。Copula理论为研究金融变量之间的相关性问题提供了一种新的方法，已被广泛地运用到管理当中。Cherubinietal.(2004)[4]，Copula模型可以将金融变量之间的相关性和相关结构分开来研究，不仅灵活的适合实际需要的Copula函数可以直接分析变量间的相依性。二、基于VaR及CVaR的度量方（一）VaRCVaR方法介风险价值法（ValueatRisk，VaR）是从风险管理的实践中产生的新型风险管理方法。PhilippeJorion(2007)[5]，所谓风险价值（VaR）是指在正常的的分位数。假设X表示随机损失，X的分布函数为FX(0,1)下的VaR

Prob

XX

的准确性，很大程度上依赖于对随机损失X的分布函数F()的选取。尽管VaR运用过程中还存在诸多的缺陷。PhilippeJorion(2007)，VaR法建立在金融资他金融资产的收益率多为正态分布的状况不同的是，Koedijetal.(1990)[6]及Reissetal.(2001)[7]均，实际中大多数金融资产的收益率序列表现出尖峰厚尾性和VaR方法的另外一个重要缺陷是，Artzneretal1997)[8]Embrechts(2000)[9]、Yamaietal.(2005)[10]等曾，在一般条件下VaR并非是一合的VaR值可能会大于组合中各资产的VaR的总和。因而，在实际应用过程中可能会出现不鼓励分散化投资的现象。鉴于VaR方法的不足，学术界纷纷提出新的风险度量指标，Rockafellaretal.(2000)[11]首先提出了一种基于VaR的修正（CVaR组合所的潜在损失大于给定置信水平的VaR值条件下的期望损失。用数

VaR f()表示资产组合的损失密度函数，w组成的权重向量，x表示由投资组合中各资产收益率所组成的向量，为置信相比于VaR方法而言，Pflug200012]、Acerbetal.(2002)[13]均在数学上证明了，CVaR除满足VaR所具备的正齐次性、单调性及变换不变性等条件外，还满足次可加性条件，所以，CVaR是一致性统计量。CVaR有效地弥补了VaR方法融风险度量与中得到了广泛应用。但CVaR方法对VaR方法的修正并没有起到一劳永逸的效果，和风险价值VaR类似，CVaR仍然建立在多元正态分布及组合资产线性相关的假设之上；CVaR未考虑尾部相关之间的相依影响，简单（二）对VaRCVaR方法的简要评通过上述对VaR及CVaR的介绍可知，不管是VaR还是CVaR，在对资产组述不对称的非线性相关结构，尤其是当发生重大波动时，无法反映金融资产收益分布的尾部相关结构。因此，线性相关系数在中数引入到管理中，可以更加准确地反映资产间的相关结构，尤其是资Copula理论在管理中的应用。三、基于Copula理论的度量方Copula函数是用来确定随机向量的联合分布和多个随量间相依结构的统计方法，Copula2050Sklar(1959)[15]首先提出来的，Sklar定理为Copula与分布函数之间建立对等关系奠定了基础。随后Copula函的发展，Embrechtsetal.(1999)最早把Copula连接函数引入到金融领域的分析当中，自Embrechts等把Copula理论引入到金融数量分析领域尤其是管理领域之后，Copula在金融领域的应用取得了许多有意义的成果，为金融领域许多建模研究的进一步完善提供了新方法和理论支持。现在，用Copula①花拥军.极值理论及其在沪 作为金融计量模型的相关结构几乎成了一种模式。应用Copula函数首先可以灵制边缘分布的选择，可应用Copula函数灵活地构造多种形式的多元分布。Copula函数并不会发生改变，进而由Copula函数导出的一致性和相关性测度的值也不变，所以Copula函数比一般的线性相关系数的测度具有更大的适用范围。Patton(2002)[17]在其文献中，运用Copula函数不仅可以描述随量于上述特点，我们可以利用Copula函数方便地处理具有厚尾、非对称相关、时（一）金融资产收益率分布的非对称结构与Copula建金融资产的相关结构与尾部相关性的度资产之间的相关信息，Embrechtsetal.(2003)[18]在建立分析模型时仅考虑变对称。Longinetal.(2001)[19],Angetal.(2002)[20]，在大幅下X、Y为两个连续的随量，所对应的边缘分布函数为F()、G()和Copula函数C(,)，则分布曲线的“上尾相关系数”与“下尾相关系数”可分别表示为

limu*

G1(u*)|

F1(u*)]

u*

C(1u*,1u*)1u*

limu*

F1(u*)]

u*

u对于上述尾部相关系数，若up（或lo）存在且其值落在区间(0,1说明随量X、Y上尾（或下尾）相关；而若up（或lo）等于零，则说明随量X、Y相互之间独立。通过上述的分析可以知道，Copula相关的全部信息。因此，Juri(2002)[21]提出了尾部的Copula收敛理论金融资产收益率之间相关性的非对（二）金融资产的时变特性及其度一个较小的波动②。实际上，本身是一直处于动态发展变化的，市场内部的变动或外部环境的变迁都会对产生或大或小的影响，如国家宏观经济政策的调整、金融的爆发等都可能影响之间的相关关系。因此，在对进行风险分析时，对之间的动态相关关系及市场的波动特征进行建模是十分关键的。目前，时变相关的Copula模型主要集中于Copula-GARCH模型和Copula-SV模型。Copula-GARCH模性的角度出发考虑金融资产的风险水平。从20世纪60年始，大量的实2090年代，随着概Engle(1982)[22]ARCH（AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity）模型。ARCHARCHBollerslev(1986)[23]ARCHGARCH鉴于GARCH类模型将传统计量经济学中关于随机扰动方差的经典假设所以，目前学术界对基于Copula理论的多变量金融时间序列模型的研究几乎都是集中于Copula-GARCH模型。目前，Copula-GARCH模型在金融中的应用呈现根据变量边缘分布之间的相关性结构，可以选取不同的Copula函数予以刻画。Cherubinietal.(2004)[4]提出了多元正态Copula函数及多元t-Copula函数等；Genestetal.(1998)[24]、 setal.(1998)[25]提出了Copula函数族，具体包括GumbelCopula函数、ClaytonCopula函数、FrankCopula函数等。上述几种Copula函数，对变量间相关结构的描述各有，特别是尾部相关性指标。如具有非对称性的Gumbel和Clayton分布，可以用来描述变量间的Frank分布则更强调分布尾部相关性 .Copula理论及其在金融分析上的应用 运用Copula函数构建金融模型时，可分为两步进行：首先要确定边缘分布；其次是要定义一个适当的Copula函数，以便能很好地描述出边缘分布之间的相关性结构。结合Copula函数和GARCH模型，Copula-GARCH模型的一般式

nintii1

nihntii1

其中，CCopula数，即

Copula-SV模SV模型。SV模型最初是由Clark(1973)[26]，Taylor(1986)[27等人，与ARCH类模型不同，SV模型假定波动性是由潜在的随机过程产生的随量所决定的，而ARCH类模型将波动看作关于信息集的条件方差，所以SV模型在理论上更接近于金融现实。研究表明，SV类模型对金融数据的刻画能力优于ARCH类模型。从随机波动的角度研究金融变量的波动性质，然后通过Copula函数，构建基于Copula理论的多元Copula-SV模型的一般形式可表述为：

uiyy

exp(hit

iihit

(,,)| C

),,()|I t t(,,)| C

),,F

)|I

t

1 t

(,,|)、C(,,|)为N元Copula),,N(),,N(分别表示标准正态分布，即

,,NtF(),,F()分别表示均值为0、方差为1的正规化t-分布，即, 01的正规化t-分布。这就是说，Copula-SV模型中变量的边缘分布由波动为SV模型刻画的t-分布来描述，同一Copula-SV模型中各变量的边缘分布的t-分布的自由度可以是相同的，也可以是不同的，由于Copula-SV模型不限制其变量边缘分布的选择，因此在实际应用中更灵活，与现用Copula模型测度多金融资产的组合风传统的用VaR方法或CVaR方法求多个资产组合的VaR时，一般假设资产VaR。这种方法显然不符合的实际情况。与单个资产的VaR的计算不同，在资产组合VaRVaR计算没于Copula理论和GARCH模型或SV模型，既可以通过Copula函数反映金融资产收益率的联合分布，也可以通过GARCH模型或SV模型描绘金融资产收益的时变特性。所以，通过建立Copula-GARCH或Copula-SV模型以测度金融资产组合的VaR值对的管理具有重要的意义。四、Copula模型在管理中的应用研究展金融高频数据的研究是金融计量经济学的一个全新的领域。研究表明，高频收益数据具有非正态性，在较短时间内有厚尾趋势，数据的峰度随着数据频率的增加而增大③。在低频数据领域，采用自回归条件异方差（ARC）模型和随机波动（S）值得注意的是，低频收益的波动不能全面揭示金融资产收益实时的动态变化特征，而高频数据包含了更加丰富的日内收益波动信息。所以，采用高频数据对的波动进行研究已经成为金融定量研究领域的一个热点问题③，。高频金融时间序列研究：回顾与展望[J].西北农林科技大学学报（社会科学“已实现波动（RV）模型是Andersenetal.(1998)[28]一种波动率的种估计方法不同于ARCH类模型和SV类模型，它没有模型，不需要进行复杂的（RV）GARCH模型和SV模面对变化迅速的大环境，各个金融变量之间的关系不能仅仅用线性关系进行刻画这一事实，加上Copula函数在描绘变量相关结构方面具有线性相关系数无法比拟的优势。所以，将Copula（RV）模型参考文Embrechts,P.A.，McNeil,A.，Straumann,D.Correlationanddependenceinriskmanagement:propertiesandpitfalls[Z].RiskManagement:ValueatRiskandBeyond,1999.Boyer,B.H.，Gibson,M.S.，Loretan,M.Pitfallsintestsforchangesincorrelations[J].InternationalFinanceDiscussionPaper,1999,No.597Erik,K.，Kees,K.，Marno,V.selectingcopulasforriskmanagement[J].JournalofBanking&Finance,2007,(31):2405-2423.Cherubini，U.，Luciano，E.，Vecchiato，W. Copulamethodsinfinance[M].EnglandJohnWiley&Sons.，2004PhilippeJorion.Valueatrisk:thenewbenarkformanagingfinancialriskNewYork:McGraw-Hill,KoedijkKG.，SchafgansMA.，DeVriesCG.Thetailindexofexchangeratereturns[J].JournalofInternationalEconomics,1990,(29):93-108ReissRD,ThomasM.Statisticalysisofextremevaluesfrominsurance,finance,hydrologyandotherfields.Basel:BirdhouseVerlag,2001ArtznerP.，DelbaenF.，etal.Thinkingcoherently[J].Risk,1997,(10):68-71[9]EmbrechtsP.Extremevaluetheory:potentialandlimitationsasanintegratedriskmanagementtool[J].DerivativesUse,TradingandRegulation,2000,(6):449-456[10]YamaiY.，YoshibaT.Value-at-riskversusexpectedshortfall:apractical[J].JournalofBankingandFinance,2005,(29):997-1015.[11]RockafellarRT.，UryasevS.OptimizationofConditionalValue-at-Risk[J].JournalofRisk,2000,(2):21-41PflugG.“Someremarksonthevalueatriskandtheconditionalvalueatrisk,”inProbabilisticconstrainedoptimization:methodologyandapplication[M].Boston:S.Uryasev.KluwerAcademicPublisher,AcerbiC.，TascheD.Onthecoherenceofexpectedshortfall[J].JournalofBankingandFinance,2006,(7):1487-1503WuLang.MixedEffectsModelsforComplexData[M].Canada:ChapmanandHall,2009SklarA.1959.Fonctionsderepartitiona’ndimensionsetleursmarges.Publicationsdel’InstitutdeStatistiquedel’Universite’deParis,8:229-231Nelsen.R.B.AnintroductiontoCopula[M].NewYork:Springer,PattonA.J.Skewness,AsymmetricDependenceandPortfolios.WorkingPaperofLondonSchoolofEconomies&PoliticalScience,2002Embrechts,P.A.，Lidskog,F.，McNeil,A.Modelingdependencecopulasandapplicationstoriskmanagement[C].HandbookofHeavyTailedDistributionsinFinance,ed.Rachev,Elsevier,2003,Chapter8:329-384[19]Longin,F.，Solnik,B.Correlationstructureofinternationalequitymarketsduringextremelyvolatileperiods[J].JournalofFinance,2001,(2):649-672Ang,A.，J.Chen.Asymmetriccorrelationsofequityportfolios[J].ReviewofFinancialStudies,2002,(63):443-494JuriA,WutrichM.V.Copulaconvergencetheoremsfortailevents[J].MathematicsandEconomics,2002,(30):405-RobertF.Engle.AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity