2022-2023学年苏教版（2019）必修第二册 9.2.1 向量的加减法 作业

9.2.1向量的加减法知识点一、向量加法运算1. 向量加法：已知向量和，如图所示，在平面内任取一点O，作，则向量就是向量与的和，即.这种通过几何作图构造三角形计算向量加法也叫做向量加法的三角形法则.规定：.2. 向量加法的平行四边形法则 如图所示，以点A为起点分别作向量，以AB、AD为邻边作，则以A为起点的对角线表示的向量就是与的和，记作.3. 向量求和的多边形法则 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，即. 特别地，当与重合时，即形成一个封闭的多边形，此时有.4. 向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：.5. 向量的三角不等式（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，有；（3）当反向且共线时，若，则与同向，；若，则与同向，.例：如图，正方形ABCD的边长为1，则|AB→A．0 B．2 C．2 D．22【分析】先化简可得|AB→+BC→+【解答】解：|AB→+BC∵四边形ABCD为正方形，∴AC→⊥BD由正方形的性质可知，对角线|AC|=|BD|=1+1∴|AC∴|AC故选：C．【点评】本题考查平面向量的加法，模长的计算，同时还涉及了两向量垂直的性质，属于基础题．知识点二、向量减法1. 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－.（1）零向量的相反向量仍是零向量；（2）若互为相反向量，则有.2. 向量减法：若，则向量就叫做与的差，记作. 两个向量的差仍是一个向量.3. 对向量减法的理解（1）两个向量的与的差可以理解为与的相反向量的和，即；（2）已知向量与，如图所示，在平面内任取一点O，作，则.方法：把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量.（共起点，连终点，指向被减）.例：化简AC→A．BC→ B．CA→ C．CB→【分析】根据向量减法的几何意义即可得出AC→【解答】解：AC→故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义．巩固练习一．选择题（共7小题）1．在△ABC中，点D为AC的中点，点E在线段BC上，且BC＝3BE，则DE→A．56AC→+23AB→ 【分析】直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可．【解答】解：如图：∵△ABC中，点D为AC的中点，点E在线段BC上，且BC＝3BE，则DE→=DA→+故选：B．【点评】本题考查的知识点是向量加减运算及数乘运算的几何意义，向量加法和向量减法的三角形法则．2．如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB→A．AC→-AD→ B．2AC→【分析】根据条件可得出CD∥AB，AB＝2CD，从而得出AB→【解答】解：∵C，D是半圆弧的两个三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，∴AB→故选：D．【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．3．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等腰直角三角形，F为线段AE的中点，设向量BC→=a→，A．-14a→+32b→【分析】由条件可得BD∥AE，且BD＝2AE，然后根据CF→=CB→+BA→【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等腰直角三角形，F为线段AE的中点，∴BD∥AE，且BD＝2AE，∴CF=-BC∵向量BC→=a→，故选：C．【点评】本题考查了平面向量基本定理和向量的运算，考查了运算能力，属基础题．4．如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则AG→A．12AB→+12AC→ 【分析】根据题意即可知道，G为△ABC的重心，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出AG→【解答】解：据题意得，G为△ABC的重心；∴AG→故选：C．【点评】考查重心的性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义．5．△ABC所在平面上一点P满足PA→A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6【分析】如图所示，由于点P满足PA→+PB→+【解答】解：如图所示，∵点P满足PA→∴PA→∴PC→∴△PAB的面积与△ABC的面积比＝AP：AC＝1：3．故选：B．【点评】本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于中档题．6．在△ABC中，AB→=c→，AC→A．23b→+13c→ 【分析】由AD→=AB→+【解答】解：∵AD→=AB→+∴AD=2故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是（）A．AB→+AC→=AD→ B．【分析】利用平面向量的三角形法则对选项分别分析选择．【解答】解：由已知及图形得到AB→AB→AB→AB→故选：C．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则的运用；注意向量的起点与终点位置；属于基础题．二．多选题（共3小题）8．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（）A．AB→=DC→ B．AD→+【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知AB→所以结论中错误的是C．ABD均正确．故选：ABD．【点评】数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题．9．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（）A．AB→+AD→C．AB→+AD→【分析】根据向量加法的平行四边形法则、向量加法的几何意义以及相反向量的定义即可判断每个选项的正误．【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则知AB→AC→AB→AC→故选：AC．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|CD|，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是（）A．AD→-AC→C．|OA→+2【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果．【解答】解：如图所示：在梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|CD|，所以：对于选项A：AD→对于选项B：利用向量的线性运算AB→对于选项C：由于DOAO=12，所以对于选项D：OA→故选：ABC．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三．填空题（共4小题）11．在矩形ABCD中，|AB→|＝2，|BC→|＝4，则|CB→+CA【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则即可得出CB→+CD→=CA→，从而得出CB【解答】解：如图，CA→=∴CB→∵|AB∴|CA∴|CB故答案为：45【点评】考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，以及勾股定理．12．计算4（a→+b→）﹣3（a→-b→【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解：4（a→+b→）﹣3（a→-b→）故答案为：a→+【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题13．AB→+DA→【分析】首先利用平面向量的三角形法则，将各向量的顺序调整为首尾相连，然后进行运算即可．【解答】解：AB→故答案为：AB→【点评】本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．14．已知OM→=23OA→+【分析】设AM→=kAB→，化为OM→=(1-k)OA→+kOB→【解答】解：设AM→=k则OM→化为OM→=(1-k)OA→+kOB→，与OM→=∴AM→故答案为：13【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）15．如图，已知向量a→，b→，请化简并求作出向量：（3a→-2【分析】根据向量的数乘运算去括号，再由加减运算化简即可．【解答】解：（3a→-2b→）﹣2（a→+12作出向量（3a→-2b→【点评】本题考查平面向量的线性运算．16．计算下列各式：（1）3（2a→-b→）﹣2（4（2）13（4a→+3b→）-1（3）2（3a→-4b→+c【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：（1）3（2a→-b→）﹣2（4a→-3b→）=6a→（2）13（4a→+3b→）-1（3）2（3a→-4b→+c→）﹣3（2a→+b→-3c→）=6a【点评】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．17．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB→=a，BC→=b，【分析】利用平行四边形ABCD的性质找出相等的向量，再利用向量的运算性质：MN→+BP【解答】解：∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，AB→=a，BC→∴c→∴c+a-b=OB【点评】本题考查2个向量加减