matlab最佳平方逼近-2023修改整理

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最佳平方靠近实验

任兵（202220302025）

一、问题讲述

求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方靠近多项式。二、问题分析

由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(baCxf∈，假如存在

*01(){(),(),,()}nSxSpanxxx???∈

使得

[]22

*

()()()min()()()b

b

a

a

axb

xfxSxdxxfxsxdx

ρρ≤≤??-=-???

?

则称S*(x)是f(x)在集合01{(),(),,()}nSpanxxx???中的最佳平方靠近函数。

明显，求最佳平方靠近函数)()(0**

xaxSjn

jj??=∑=的问题可归结为求它的系数

*

*1*0,,,n

aaa，使多元函数dxxaxfxaaaIjnjjb

a

n2

010)()()(),,,(??

?

???-=∑?

=?ρ

取得微小值，也即点(*

*1*0,,,n

aaa)是I(a0,…，an)的极点。因为I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的须要条件，

0=??k

aI

(k=0,1,2,…,n)即

[]0

)()()()(20=-??

????-=??∑?=dxxxaxfxaI

kjnjjbak??ρ

得方程组

)

,,2,1,0(,

)()()()()()(0

nkdxxxfxdx

xxxakb

a

jkb

a

n

jj==??∑=?ρ??ρ

如采纳函数内积记号

,

)()()(),(,

)()()(),(dxxxfxfdxxxxkq

a

kjkb

a

jk?ρ???ρ????==

那么，方程组可以简写为

(,)(,)

(0,1,2,,)n

k

j

j

kja

fkn???===∑(1)

这是一个包含n+1个未知元a0,a1,…,an的n+1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为

000100010111110

1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf?????????????????????????

?????

???=??????

??????…………（2）此方程组叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程组。

明显，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(?0,?1,…,?n)。因为?0,

?1,…,?n线性无关，故Gn≠0，于是上述方程组存在唯一解

),,1,0(*

nkaakk==。从而绝对了函数f(x)在01{(),(),,()}nSpanxxx???中如

果存在最佳平方靠近函数，则必是

*

*0()()n

jjjSxax?==∑……………...

（3）三、试验程序

1、最佳平方靠近算法

（1）输入被靠近函数f(x)和对应的靠近区间[a,b]并挑选靠近函数系{∮（x）}

和权函数；

（2）解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得

到；

（3）由式（3）得到函数的最佳平方靠近。2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：（1）第一个程序（函数名：squar_approx.m）计算最佳靠近函数的系数，源代码如下：

functionS=squar_approx(a,b,n)％定义靠近函数

globali;globalj;％全局变量

ifnargin>clear

>>S=squar_approx(-1,1,2)

S=

0.9963

1.1036

0.5367

绘制两者的图形：

>>fun='exp(x)';

>>fplot(fun,[-1,1])

>>holdon

>>xi=-1:0.1:1;

>>yi=polyval(S,xi);

>>plot(xi,yi,'r:')

得到如下结果：

原函数exp(x)

二次靠近

（3）当求的是三次靠近时得到如下结果

>>S=squar_approx(-1,1,3)

S=

0.9963

0.9980

0.5367

0.1761

绘制图形如下：

>>fun='exp(x)';

>>fplot(fun,[-1,1])

>>holdon

>>xi=-1:0.1:1;

>>yi=polyval(S,xi);

>>plot(xi,yi,'r:')

得到