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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中,,,现将沿BD折起,则当直线AD与平面BCD所成角为时,直线AC与平面ABD所成角的正弦值为()A. B. C. D.2.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.23.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()A.6 B.7 C.8 D.94.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是()A. B. C. D.5.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.646.已知复数,为的共轭复数,则()A. B. C. D.7.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.8.已知抛物线:()的焦点为,为该抛物线上一点,以为圆心的圆与的准线相切于点,,则抛物线方程为()A. B. C. D.9.已知全集为,集合,则()A. B. C. D.10.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()A.10 B.11 C.12 D.1311.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.201712.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表,若记,分别为的方差,则_____.(填>,<,=)14.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.15.在中,内角所对的边分别是,若,,则__________.16.已知集合,若,且,则实数所有的可能取值构成的集合是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,且,求证:;(2)若时,恒有,求的最大值.18.(12分)已知函数.(1)若在上为单调函数,求实数a的取值范围:(2)若,记的两个极值点为,,记的最大值与最小值分别为M,m,求的值.19.(12分)设,,其中.(1)当时,求的值;(2)对,证明:恒为定值.20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为.(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程及的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到距离的取值范围.21.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.22.(10分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:分)数据,统计结果如下表所示.组别频数(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求;(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.(ⅰ)得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元概率现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列及数学期望.附:,若,则,,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
设E为BD中点,连接AE、CE,过A作于点O,连接DO,得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,根据题中条件求得相应的量,分析得到即为直线AC与平面ABD所成角,进而求得其正弦值,得到结果.【详解】设E为BD中点,连接AE、CE,由题可知,,所以平面,过A作于点O,连接DO,则平面,所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即点O与点C重合,此时有平面,过C作与点F,又,所以,所以平面,从而角即为直线AC与平面ABD所成角,,故选:A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题,涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解,在解题的过程中,注意空间角的平面角的定义,属于中档题目.2、B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.3、A【解析】
先令,找出的关系,再令,得到的关系,从而可求出,然后令,可得,得出数列为等差数列,得,可求出取最小值.【详解】解法一:由,所以,由条件可得,对任意的,所以是等差数列,,要使最小,由解得,则.解法二:由赋值法易求得,可知当时,取最小值.故选:A【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项,采用了赋值法,属于中档题.4、C【解析】
先确定摸一次中奖的概率,5个人摸奖,相当于发生5次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果.【详解】从6个球中摸出2个,共有种结果,两个球的号码之和是3的倍数,共有摸一次中奖的概率是,5个人摸奖,相当于发生5次试验,且每一次发生的概率是,有5人参与摸奖,恰好有2人获奖的概率是,故选:.【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率,考查独立重复试验的概率,解题时主要是看清摸奖5次,相当于做了5次独立重复试验,利用公式做出结果,属于中档题.5、B【解析】
根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.6、C【解析】
求出,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选:C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,属于基础题.7、C【解析】
设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.8、C【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标,根据轴、列方程,解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限,由于在抛物线上,所以,由于以为圆心的圆与的准线相切于点,根据抛物线的定义可知,、轴,且.由于,所以直线的倾斜角为,所以,解得,或(由于,故舍去).所以抛物线的方程为.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线的斜率,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.9、D【解析】
对于集合,求得函数的定义域,再求得补集;对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.10、D【解析】
利用等差数列的通项公式可得,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,构成等差数列可得即又解得:又所以时,.故选:D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.11、D【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.12、D【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、>【解析】
根据方差计算公式,计算出的表达式,由此利用差比较法,比较出两者的大小关系.【详解】,故.,.要比较的大小,只需比较与,两者作差并化简得①,由于为互不相等的正实数,故,也即,也即.故答案为:【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算,考查差比较法比较大小,考查运算求解能力,属于难题.14、【解析】
设正四面体的棱长为,求出底面外接圆的半径与高,代入体积公式求解.【详解】解:设正四面体的棱长为,则底面积为,底面外接圆的半径为,高为.∴正四面体的体积,圆柱的体积.则.故答案为:.【点睛】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法,考查计算能力,属于中档题.15、【解析】
先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【详解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案为:【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,考查三角形的内角和定理,属于中档题.16、.【解析】
化简集合,由,以及,即可求出结论.【详解】集合,若,则的可能取值为,0,2,3,又因为,所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.【点睛】本题考查集合与元素的关系,理解题意是解题的关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性,并设,则,,将不等式等价转化为证明,构造函数,利用导数分析函数在区间上的单调性,通过推导出来证得结论;(2)构造函数,对实数分、、,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最小值,再通过构造新函数,利用导数求出函数的最大值,可得出的最大值.【详解】(1),,所以,函数单调递增,所以,当时,,此时,函数单调递减;当时,,此时,函数单调递增.要证,即证.不妨设,则,,下证,即证,构造函数,,所以,函数在区间上单调递增,,,即,即,,且函数在区间上单调递增,所以,即,故结论成立;(2)由恒成立,得恒成立,令,则.①当时,对任意的,,函数在上单调递增,当时,,不符合题意;②当时,;③当时,令,得,此时,函数单调递增;令,得,此时,函数单调递减...令,设,则.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,函数在处取得最大值,即.因此,的最大值为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式,同时也考查了利用导数求代数式的最值,构造新函数是解答的关键,考查推理能力,属于难题.18、(1);(2)【解析】
(1)求导.根据单调,转化为对恒成立求解(2)由(1)知,是的两个根,不妨设,令.根据,确定,将转化为.令,用导数法研究其单调性求最值.【详解】(1)的定义域为,.因为单调,所以对恒成立,所以,恒成立,因为,当且仅当时取等号,所以;(2)由(1)知,是的两个根.从而,,不妨设,则.因为,所以t为关于a的减函数,所以..令,则.因为当时,在上为减函数.所以当时,.从而,所以在上为减函数.所以当时,.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.19、(1)1(2)1【解析】分析:(1)当时可得,可得.(2)先得到关系式,累乘可得,从而可得,即为定值.详解:(1)当时,,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒为定值1.点睛:本题考查组合数的有关运算,解题时要注意所给出的的定义,并结合组合数公式求解.由于运算量较大,解题时要注意运算的准确性,避免出现错误.20、(1),.(2)【解析】
(1)根据直线的参数方程为(为参数),消去参数,即可求得的的普通方程,曲线的极坐标方程为,利用极坐标化直角坐标的公式:,即可求得答案;(2)的标准方程为,圆心为,半径为,根据点到直线距离公式,即可求得答案.【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),消去参数的普通方程为.曲线的极坐标方程为,利用极坐标化直角坐标的公式:的直角坐标方程为.(2)的标
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