2023年高考最后一轮复习微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（解析版）

微专题19圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究【秒杀总结】1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2、定比点差法3、非对称韦达与对称韦达4、先猜后证5、硬解坐标【典型例题】例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)解：由椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，因为，可得，即，又由面积的最大值为，可得，即，因为，即，解得，所以椭圆的方程为.(2)解：由，，可得点四点共线，如图所示，设过点的直线方程为，即，联立方程组，整理得，设，则，联立方程组，可得，即，因为，，可得，所以则，所以为定值.例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆的焦距为2且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的左右焦点为，由焦距为2可得，①由椭圆过点可得②，由①②可得，所以椭圆C的方程为；（2）设，，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为，联立方程组消去y得，由，得，所以，．因为点，所以直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，，即，所以直线AD恒过点．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且．(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．【解析】（1）双曲线的离心率为，因为双曲线上点切圆C：于M，且，则，即，即，故双曲线E的标准方程为.（2）弦PQ过定点，理由如下：由（1）得，则，.则直线为，联立得，则，，，，，由得，.∴，∴为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心例4．（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.【解析】（1）由双曲线可得渐近线为，不妨取渐近线即由焦点到渐近线的距离为可得，即由题意得，得，从而双曲线的方程为.（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，由题意可知：直线的方程为，直线的方程为，联立直线与双曲线方程得，于是，从而，从而，联立直线与双曲线方程得，于是，从而，从而，于是，从而，化简得，从而过定点.例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点.(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，（ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值；（ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程.【解析】（1）以为圆心，为半径的圆经过点，，即，，，，，椭圆的方程为：.（2）（ⅰ）由（1）得：，可设，，由得：，即；由得：，，，，，；在中，由正弦定理得：，，，则由得：，，，即，，，，解得：或.（ⅱ）由题意知：圆方程为：；，；不妨令位于第一象限，可设，由（ⅰ）知：，若直线斜率存在，则，直线，由得：，，设，则，；当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；当时，不为定值，不合题意；若直线斜率不存在，则，，，此时，则直线，设，则，，，则时，，满足题意；综上所述：点在定直线上.例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆（a＞b＞0），左顶点为A，上顶点为B，且，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为．(1)求C的方程；(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，因为，直线的斜率为，所以，又，解得，所以C的方程为．（2）由题得，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my＋1，联立消得，，方程的判别式，设，则，则，因为，所以，即，所以，，所以，即，则点M是以，为焦点，长轴长为2的椭圆上的点．当直线l的斜率为0时，l与C相交于或，因为，则点M为，此时点M也是以，为焦点，长轴长为2的椭圆上的点，所以存在两个定点分别为，，点M到这两个定点的距离之和为定值2．例7．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知椭圆的离心率为，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，且．(1)求椭圆的方程．(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点的坐标为，且轴，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的半焦距为．依题意，，故①．联立解得，故②．联立①②，解得，，故椭圆的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，方程为．若直线过定点，则该定点在轴上．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立消去整理，得．设，，则，，设．所以直线的方程为．令，得．因为，所以．所以此时直线过定点．直线也过点．综上，直线经过定点．例8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交于两点不是左右顶点），且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）因为渐近线方程为，所以，焦点坐标到渐近线的距离为，解得：，因为，解得：，所以双曲线的方程为；（2）由题意得：，与联立得：，设，则，，，化简得：，解得：或，当时，恒过点，当时，恒过点，此时中有一点与重合，不合题意，舍去，综上：直线过定点，定点为，【过关测试】1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点的距离与C到定直线l：的距离之比为常数.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点，记直线PM，PF，PN的斜率分别为，，，证明：为定值.【解析】（1）设动点，由题意知，，所以动点C的轨迹方程为C：.（2）当直线斜率不存在时，M，N的坐标分别为，，则.当直线斜率存在时，设直线方程为：.联立直线和椭圆的方程，化简得，则，，，，所以.即为定值，定值为22．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知圆和定点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设，过的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为，求证：为定值．【解析】（1）依题意，圆，则圆心，半径为4，因为线段的垂直平分线交于点M，所以，又因为，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以曲线E的方程为.（2）若直线的斜率等于零，则M，N两点与重合，不满足题意，所以可设，联立可得，即，所以，所以为定值.3．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）设椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点.【解析】（1）因为椭圆右焦点为，所以，因为椭圆经过点，所以，又，所以，解得（负值舍去），所以，故椭圆的方程为.（2）依题意，，则，设直线的方程为（且），直线的方程为（且），则直线与x轴的交点为，易得直线的方程为，联立，解得，则直线与直线的交点为，联立，消去，得，解得或，此时，则点P的横坐标为，故点P的纵坐标为，将点P的坐标代入直线的方程，整理得，因为，所以，即，因为，所以直线的方程为：，即，所以直线过定点.4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B．(1)求椭圆的方程；(2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点．【解析】（1）由题意可得：，则，∵，解得，∴椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为k，则直线，联立方程，解得或，∴，∵为圆的直径，点E在圆上，则，即，∴，则直线，故用去替代k得，∵，∴直线，即，∴直线经过定点．5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为，焦距为．(1)求双曲线E的方程；(2)P为直线上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．【解析】（1）设，，，又因为焦距为,可得,则结合，所以双曲线的标准方程为:.（2）设直线，，则，，直线，因为其过点，直线，因为其过点，,所以所以将代入上式，得化简为若当时，代入化简得，显然不成立，舍去，当时，代入化简得，即，即，当时，此时直线为，经过定点与点重合，显然不成立，舍去；当时，此时直线为，经过定点与点重合，显然不成立，舍去；所以，即，所以直线，即为，直线过定点.6．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．(1)求E的方程；(2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．【解析】（1）∵，∴，∴，又，，∴，，∴椭圆E的方程为．（2）∵直线与的倾斜角互补，且交于点，∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．设，，则，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立解得，，∴直线与交于点．设直线的方程为，与椭圆E的方程联立得，由题意得，，解得，又，，∴，∴直线与交于定点．7．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）设椭圆的左焦点为，右顶点为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作两条斜率分别为，的动直线，分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线段、中点，若，试判断直线是否经过定点，并说明理由．【解析】（1）由题意知，，解之得，故椭圆E的方程为．（2）设，，联立得，，因为在椭圆内部，则必有，故，，设直线，将代入，得，即，同理，，显然，，是方程的两根，则，因为，则，即，得，故直线，即，故直线经过定点．8．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆，离心率，P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若的周长为，(1)求椭圆E的方程；(2)若，M，N为椭圆上不同的两点，且，证明椭圆上存在定点Q使得四边形为平行四边形．【解析】（1）因为，所以，依题意，所以，联立解得，所以椭圆E方程为（2）当直线斜率存在时，设方程为，则直线的方程为，设点，联立方程，可得：，则，即，所以，同理，所以，即为方程的两个根，方程可化为，所以，所以，当直线斜率不存在时，方程与椭圆相交于，此时，所以直线过原点，若四边形为平行四边形，则取对称点时成立.9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）平面内定点，定直线，P为平面内一动点，作，垂足为Q，且．(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点R，试判断是否为定值．【解析】（1）设，因为，即，所以化简整理，得，所以动点P的轨迹方程为（2）法一：由条件可得直线的斜率必存在且不为0，可设，联立方程组消去y，得，设，则，设中点为，知，，∴线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，而，∴为定值．法二：设直线的方程为，联立方程组整理得，设中点为，则，由可得，∴，，又线段的垂直平分线方程为，令，得，∴，∴为定值．10．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点在椭圆上，的长轴长为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.(1)求证：为定值；(2)若直线与轴交于点，求的值.【解析】（1）由题意知椭圆方程为.将椭圆平移至即，此时点平移至分别平移至，设直线方程为代入椭圆，整理得，两边同除以，令，则可看作关于的一元二次方程，的两不等实根，，即，直线方程为，的斜率为定值，即的定值.（2）设，，即，故，，11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和，并求出该定值．【解析】（1）因为、，所以，所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，得，，所以轨迹的方程为.（2）如图所示，设，设直线的方程为，.联立，化简得，则，故，则，设的方程为，同理：，因为，所以，化简得，所以，即，即，因为，所以，故该定值为0．12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值．【解析】（1）由题意知，解得：，∴双曲线C的标准方程为：；（2）证明：由（1）知，，设，①当l的斜率存在时，设l的方程为：，，即：，，，∵以EF为直径的圆经过点D，∴，又∵，，∴，又∵∴，即：化简得：，即：，解得：或，且均满足，当时，，直线l恒过定点，此时定点与D点重合，所以与已知相矛盾；当时，，直线l恒过定点，记为点；②当l的斜率不存在时，设l的方程为：，设，，或，则，此时，，∴，整理得：，解得：或∵或，∴，此时l恒过定点.综述：l恒过定点.又∵，即：，（∵D、E、F三点都在直线l上）∴点G在以DM为直径的圆上，H为该圆的圆心，即DM的中点，为该圆的半径，即的一半.故存在定点，使得为定值6.13．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.(1)求的方程；(2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.【解析】（1）由已知可得，.则，，由可得，，所以.，又点在双曲线上，所以.联立，可得，所以，C的方程为.（2）法一：设，，则，所以，，由可得，，所以，整理可得，.由已知可设直线的方程为（且）.联立直线与双曲线的方程可得，.，所以.由韦达定理可得，又，，.所以，由可得，，整理可得，，因为，不恒为0，所以应有，解得.所以直线l的斜率为定值.法二：设，则，.所以，，所以.又由题意知，所以.将双曲线平移至，即.则P平移至，A，B分别平移至，.设直线的方程为，代入双曲线可得，，所以，.两边同除以，可得，所以，所以.所以，直线的方程为，所以，所以直线l的斜率为定值.14．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知双曲线，其右焦点为，焦距为4，直线过点，且当直线的倾斜角为时，恰好与双曲线有一个交点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交双曲线于两点，交轴于点，且满足，判断是否为常数，并给出理由.【解析】（1）因为双曲线，所以其渐近线为，当直线的倾斜角为时，恰好与双曲线有一个交点，又经过焦点，可得此时直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，则，因为焦距为4，所以半焦距，又因为，所以，解得，故，所以双曲线的标准方程为.（2）为常数，理由如下：由题意，知双曲线的右焦点为，直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立，消去，得，显然，则，易知，因为，所以，所以，所以，所以为常数..15．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为．(1)求双曲线的方程；(2)设，为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【解析】（1）若双曲线的方程且，，则，将代入双曲线并整理得：，又直线与双曲线交于A，B两点，故且，由AB中点的横坐标为，所以，则，所以，，故.（2）由（1），不妨令，，当直线l斜率不存在时，，则，此时，，则交点为；当直线l斜率存在时，，代入并整理，得：，过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，故，令，则，，且，，联立直线与直线得，所以，则，可得或（舍），综上，交点Q在定直线上.16．（2023·浙江·高三校联考期末）已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线过点P，交C于A，B两点，且当时，．(1)求C的方程；(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明．【解析】（1）设斜率为且过点P的直线为l：，其中.设.当时，l：，将其与联立，消去x得：，由韦达定理有.又由抛物线定义知，又，结合，则.得C的方程为；（2）由（1）可得，P，则l：，将其与抛物线方程联立，消去x得：，则.设C在A点处的切线方程为，C在B点处的切线方程为.将与联立，消去x得：，因为抛物线切线，则联立方程判别式，又，则，得，同理可得.将两切线方程联立有，代入，，解得，得.则，又，则，同理可得.注意到，则等价，下面说明.，因，则.又，则，故.17．（2023·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.(1)若，求直线l的斜率；(2)若，证明：为定值.【解析】（1）设，因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，设直线l为，联立与得：，则，，因为，所以，故，解得：，当时，，此时，解得：，直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，当时，，此时，解得：，直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，综上：直线l的斜率为；（2）设，因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，设直线l为，令得：，故，联立与得：，则，，因为，所以，，解得：，，所以，故为定值-1.18．（2023