双线性变换法IIR数字滤波器设计

本文格式为Word版，下载可任意编辑——双线性变换法IIR数字滤波器设计数字信号处理试验报告

试验名称：双线性变换法IIR数字滤波器设计试验时间2023年12月19日学号：成绩：

202311103207

评语：

姓名：张锦龙

一、试验目的

1、把握用双线性变换法设计低通IIR数字滤波器的基本原理和算法。

2、把握用双线性变换法设计高通和带通IIR数字滤波器的基本原理和算法。3、进一步了解数字滤波器和模拟滤波器的频率响应特性。

二、试验原理与计算方法

１、双线性变换法设计IIR低通数字滤波器的基本原理和算法

双线性变换法设计数字滤波器，采用了二次映射的方法，就是先将整个s平面压缩到

??s1平面的一个?j~j的横形条带范围内，然后再将这个条带映射到z平面上，就能建

TT立s平面到z平面的一一对应关系。对于低通数字滤波器，映射关系为

21?z?12?1?zs?(1)?T1?z?1T1?z其中T为抽样周期。

用双线性变换法设计低通IIR数字滤波器的基本步骤，首先根据设计要求确定相应的模拟滤波器的传递函数Ha(s)，再应用(1)式得数字滤波器的传递函数H(z)

H(z)?Ha(s)s?2?1?z(2)

T1?z寻常可以给定的参数为：低通数字滤波器通带边界频率?1p?2?fp、阻带边界频率

?1s?2?fs和对应的通带衰减函数?p、阻带衰减函数?s。s1平面中的模拟角频率?1与数字角频率?的关系为线性关系???1T，在计算模拟滤波器的阶数N、极点si和传递函数Ha(s)之前，应作预畸变处理

?T22?fT2??tan1?tan(3)

T2T2模拟滤波器的阶数N、极点si和传递函数Ha(s)的计算方法与冲激响应不变法一致，可以采用Butterworth迫近或Chebyshev迫近。

２、双线性变换法设计IIR高通、带通、带阻数字滤波器的基本原理和算法

由于双线性变换法获得的数字滤波器频率响应特性中不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、带通和带阻滤波器的设计。IIR数字滤波器的设计寻常要借助于模拟低通滤波器的设计，由原型低通滤波器到其他形式（高通、带通、带阻）IIR数字滤波器的频带变换有模拟频带变换法和数字频带变换法。（1）模拟频带变换法

首先将给定的对数字滤波器(DF)的技术要求转换为一个低通模拟滤波器(AF)的技术

要求，根据这种要求用某种迫近设计出原型的低通模拟滤波器(LPAF)，计算出模拟滤波器的阶数N、极点si和传递函数Ha(s)，再依照双线性变换的变换关系，将模拟滤波器的传递函数Ha(s)转换为数字滤波器的传递函数H(z)。

表8-1中列出了将给定的对数字滤波器(DF)的技术要求直接转换为对一个低通模拟滤波器(AF)的技术要求的频率预畸变校正关系和转换公式。

表8-1双线性变换和频率预校正的计算公式变换类型低通变换变换关系频率预校正备注s??1?z1?z高通变换1?zs??1?z带通变换s?1?2zcos?0?z2?1?z22?tanT2?p2?p?tanT22?pT1?s??2tans2cos?0?cos?2?p?sin?2cos?0?cos?s?s?sin?s????2?fT其中，T为抽样周期，f为模拟频率中心频率sin(?1??2)sin?1?sin?2其中，?1,?2分别为数字带通cos?0?滤波器通带的上下边界角频率，或数字带阻滤波器阻带的上下边界角频率。带阻变换?1?z2s?21?2zcos?0?zΩp?Ωs?sin?2cos?0?cos?2sin?scos?0?cos?s例：数字高通滤波器的设计

首先将给定的数字高通滤波器的技术指标根据公式转换为模拟低通滤波器的技术指标，利用cheb1ord(Wp,Ws,ap,as,'s')函数求出chebyshev模拟低通滤波器的阶数N，再利用cheb1ap(N,ap)函数求出模拟低通滤波器系统函数Ha(s)的零极点，zp2tf(z,p,k)函数将零极点转换为系统函数系数；然后利用lp2hp由模拟低通滤波器的系统函数得到模拟带通滤波器的系统函数，bilinear函数则用于实现双线性变换法由模拟带通滤波器系统函数Ha(s)计算数字数字带通滤波器系统函数H(z)的系数。（2）数字频带变换法

首先将给定的对数字滤波器(DF)的技术要求转换为一个低通模拟滤波器(AF)的技术要求，用双线性变换法将原型的低通模拟滤波器(LPAF)映射为低通数字滤波器，再将数字低通滤波器根据相应的变换公式经频带变换到各型数字滤波器。例：数字高通滤波器的设计

函数[bhp,ahp]=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)用来实现从数字低通滤波器得到数字高通滤波器的有理函数。

%数字滤波器技术指标

>>wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;%对应的模拟滤波器技术指标

>>T=1;Fs=1/T;Wp=(2/T)*tan(wp/2);=(2/T)*tan(ws/2);

>>[cs,cd]=afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As);%Chebyshev模拟滤波器>>[blp,alp]=bilinear(cs,cd,Fs)%双线性变换

>>wphp=0.6*pi;%数字高通滤波器截止频率%低通－高通频带变换

>>alpha=-(cos((wplp+wphp)/2))/(cos((wplp+wphp)/2))>>Nz=-[alpha,1];Dz=[1,alpha];

>>[bhp,ahp]=zmapping(blp,alp,Nz,Dz)%数字高通滤波器的系统函数系数（3）IIR数字滤波器的设计

可利用MATLAB提供的函数直接设计相应的数字滤波器。

函数buttord和cheb1ord用来根据给定的技术指标求出滤波器的阶数N和边界频率wn，butter和cheby1则根据阶数和边界频率设计相应的数字滤波器。输入的参数不同则所设计的滤波器类型不同。

[N,wn]=buttord(wp,ws,Rp,As);[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As);[b,a]=butter(N,wn);[b,a]=cheby1(N,Rp,wp);

三、试验内容

（1）ChebyshevIIR数字带通滤波器满足如下技术指标

低阻带边界频率fs1?100Hz，高阻带边界频率fs1?600Hz，阻带衰减函数?s?18dB低通带边界频率fp1?200Hz，高通带边界频率fp2?400Hz，通带波动??2dB抽样频率f?2000Hz,记录所得的模拟滤波器的阶数N，画出模拟滤波器和数字滤波器的频率响应的幅频和相频特性曲线。

A.试验代码：

fs1=100;fs2=600;fp1=200;fp2=400;fsa=2000;As=18;Rp=2;

T=1./fsa%对应的模拟滤波器技术指w1=2.*pi.*(fp1./fsa)%Chebyshev模拟滤波器w2=2.*pi.*(fp2./fsa)

wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*Tws2=2.*pi.*(fs2./fsa)

cosw0=(sin(w1+w2))./(sin(w2)+sin(w1))w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2))./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2))./sin(ws2)

[N,omgn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')%返回模拟低通滤波器阶数N和边界频率

[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)%得系统函数零极点[blp,alp]=zp2tf(z,p,k);%由零极点得系数

[bhp,ahp]=lp2bp(blp,alp,w0,bw)%模拟低通到模拟带通

[bdf,adf]=bilinear(bhp,ahp,1)%双线性变换将模拟带通滤波器器转换成数字带通滤波器

[BPA,wa]=freqs(bhp,alp,fsa);[BPD,wd]=freqz(bdf,adf,fsa);subplot(2,2,1);plot(abs(BPA));

title('模拟带通滤波器幅频特性')subplot(2,2,2);plot(angle(BPA));

title('模拟带通滤波器相频特性')subplot(2,2,3);plot(abs(BPD));

title('数字带通滤波器幅频特性')subplot(2,2,4);plot(angle(BPD));

title('数字带通滤波器相频特性')

试验截图：

（2）ChebyshevIIR数字带阻滤波器满足如下技术指标

低阻带边界频率fs1?1000Hz，高阻带边界频率fs1?2000Hz，阻带衰减函数?s?20dB低通带边界频率fp1?500Hz，高通带边界频率fp2?3000Hz，通带波动??3dB抽样频率f?10kHz,记录所得的模拟滤波器的阶数N，画出模拟滤波器和数字滤波器的频率响应的幅频和相频特性曲线。

试验代码：

fs1=1000;fs2=2000;fp1=500;fp2=3000;fsa=10000;As=18;Rp=2;

T=1./fsa%对应的模拟滤波器技w1=2.*pi.*(fp1./fsa);%Chebyshev模拟滤波器

w2=2.*pi.*(fp2./fsa)

wp1=2*pi*fp1*T;wp2=2*pi*fp2*Tws2=2.*pi.*(fs2./fsa)

cosw0=(sin(w1+w2))./(sin(w2)+sin(w1))w0=acos(cosw0);bw=wp2-wp1Wp=(cosw0-cos(w2))./sin(w2)Ws=(cosw0-cos(ws2))./sin(ws2)

[N,omgn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,As,'s')%返回模拟低通滤波器阶数N和边界频率?n

[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)%得系统函数零极点[blp,alp]=zp2tf(z,p,k)%由零极点得系数

[bhp,ahp]=lp2bs(blp,alp,w0,bw)%模拟低通到模拟带通

[bdf,adf]=bilinear(bhp,ahp,1)%双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

[BPA,wa]=freqs(bhp,alp,fsa)[BPD,wd]=freqz(bdf,adf,fsa)subplot(2,2,1);plot(abs(BPA