理工类专业课复习资料-数学分析知识点总结

1章实数集与函数数集”上的(后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数)．为此，我1、实数|也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.l.对于正有限小数x=aaaa0x=aaaa其中22.0012.009999；32.9999下，大小的比较ak=bk,k=0,1,，则称x与y相等，记为x=y；若a0>b0或存在非负整数l，akbkklalblxyyx，分别记为x>y或y<x．对于负实数x、y，若按上述规定分别有x=y或x>y，则分别称为x=y与x<y(或y>x)．2)实数比较大小的等价条件(通过有限小数来比较)．定义2(不足近似与过剩近似)：x定义2(不足近似与过剩近似)：x=aaa为非负实数，称有理数xn=a0.a1an为实数x的n位不足近似；xn=xn+称为实数x的n位过剩近于负实数x=a0.a1 剩近似xn=a0.a1an.于负实数x=a0.a1 剩近似xn=a0.a1an. xn当n增大时不增，即有x0>x1>x2>．命题：记x=a0.a1an，y=b0.b1bn为两个实数，则x>y的等价条件nynyn3差、积、商(除数不为0)仍是实数．VabR,b>a>0不3n=N使得na>b．5)稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．R与数轴上的点有着一一对应关系．等式实数a的绝对值的定义为|a|=〈(a,a>0．aba|b|；b|b|4个重要不等式Vaaan=R+,记1G(ai)=G(ai)=n=|nai|,(几何平均值)\i=1)H(ai)===.(调和平均值)aa2+…+annaiai当且仅当a1=a2=…=an时成立.Vx有不等式(1+x)n>1+nx,n=N.对Vh>0,由二项展开式hn上式右端任何一项.[练习]P4．5(一实数及其性质5教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.证明中正确地加以运用.用教学重点：确界的概念及其有关性质(确界原理).教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一的术语和工具.3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理).1、区间(用来表示变量的变化范围)6(有限区间设a,b仁R且a想b.区间〈，其中l无限区间||||合称为点a的6邻域，记作U(a;6)，或简记为U(a)，即其中a称为该邻域的中心，6称为该邻域的半径.(2)点a的空心6邻域(3)a的6右邻域和点a的空心6右邻域(4)点a的6左邻域和点a的空心6左邻域7(1)(1)无界集EyEyy=,x=(0,1)卜也是无界数集.注：1)上(下)界若存在，不唯一；2)上(下)界与S的关系如何？看下例：有无穷多个).确界与确界原理8有x共n(即n是S的上界);(2)对任何a<n，存在x0=S，使得x0>a(即命题1M=supE充要条件1)Vx=E,x共M；2)Vc>o,3x0=S,使得x0>M-c.与M是上界中最小的一个矛盾.充分性(用反证法)，设M不是E的上确界，即3M0是上界，但M>M0.盾.上确界与下确界统称为确界.lnJ注：非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.命题3：设数集A有上(下)确界，则这上(下)确界必是唯一的.upAnsupAnnnnn=supA不Vx=A有x共nn,=supA不对n<n,，3x0=A使n<x0，矛盾.9(n)(n)1n=Z+\n+1)n=Z+\(n)(n)1n=Z+\n+1)n=Z+\n+1)2SA有S事A.则有supS>supA,infS三infA..supAysupAB界,不supA三infB.B证明：Vx=S,有x=A或x=B,由infA和infB分别是A和B的下界,有fA释.2.确界与最值的关系:设E为数集.(1)E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.(2)非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.(3)若maxE存在,必有maxE=supE.对下确界有类似的结论.4.确界原理:Th1.1(确界原理).设S非空的数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.个整数p，使得p不是E上界，而p+1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2,…,p.9和p+1，我们可以找到一个q0，0共q0共9，使得p.q0不是E上界，p.(q0+1)是E上界，如果再找第二位小数q1，…,如此下去，最后得到p.q0q1q2…，它是一个实数，即为E的上确界.的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得1)Vx=S，有x>n；2)存在x1=S，有x共n+1；xS使得x2共n.n1+．n1)对任何x=S，有x>n.n1n2；1)对任何x=S，x>n.n1n2…nk_；2)存在xk=S，xk共n.n1n2…nk．因此得到n=n.n1n2…nk…．以下证明n=infS． (ⅰ)对任意x=S，x>n； 教学目的：使学生深刻理解函数概念.(1)深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉(2)牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.将对此作进一步讨论.1．定义1设D,M仁R，如果存在对应法则f，使对Vx=D，存在唯一的一个数y=M与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:DMx|y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为f(x).全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D).即f(D)=y|y=f(x),x=D}.(1)函数定义的记号中“f:DM”表示按法则f建立D到M的函数关系，x|y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x|f(x).习惯上称(2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法yf(x),x=D.义域和对应法则.fx1,x=R,g(x)=1,x=R\0}.(不相同，对应法则相同，定Qx|x|,x=R,(x)=,x=R.(相同，只是对应法则的表达形式不同).(3)函数用公式法(解析法)表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域(自然定义域).此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即“函数y=f(x)”或“函数f”.(4)“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于a=D，f(a)称为映射f下a的象.a称为f(a)的原象.R(x)=〈qqqR(x)=〈qqq数为多值函数.本书中只讨论单值函数(简称函数).示方法1主要方法：解析法(公式法)、列表法(表格法)和图象法(图示法).2可用“特殊方法”来表示的函数.函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.(1x,>(借助于sgnx可表示f(x)=|x|,即f(x)=|x|=xsgnx).函数不是分段函数)例1)y=[x](取整函数)是一条大锯，画出图看一看.2)狄利克雷(Dirichlet)函数(1,当x为有理数,l0,当x为无理数,D(xl0,当x为无理数,没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.3)黎曼(Riemman)函数xpxpq=N+,为既约分数),函数的四则运算给定两个函数f,x=D1,g,x=D2，记D=D1D2，并设D丰0，定义f与g在F(x)=f(x)+g(x),x=D；G(x)=f(x)-g(x),x=D；H(x)=f(x)g(x),x=D.v=gtJ|2.v=gtJ|2.上定义f与g上定义f与g的商运算如下；L(x)=,x=D.g(x)注：1)若D=D1D2=0，则f与g不能进行四则运算.2)为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：ff+g,f-g,fg,.g1．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.E=mvE=mv|122抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数f(v)=mv2,v=gt，把v(t)代2入f，即得122f(v(t))=mgt.2y=f(u)=arcsinu,u=D=[-1,1],u=g(x)=2+x2,x=E=R.的定义域的交集不空(从而引出下面定义).2．定义(复合函数)设有两个函数y=f(u),u=D,u=g(x),x=E，值u，而u又通过f对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y=f(g(x)),x=E或y=(fg)(x),x=E.简记为fg.称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变量.量例y=f(u)=u,u=g(x)=1-x2.求(fog)(x)=f[g(x).]并求定义域.域例⑴f1(-x)=x2+x+1,f(x)=_______________.\x)x\x)xf(x)=()A.x2,B.x2+1,C.x2-2,D.x2+2.R进行复合，求复合函数.4说明例如：y=siunv=，复合成：定义域的变化.①y=loga,x=(0,1))y=logau,u=,z=1-x2.对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量.习惯上说函数y=f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.定义设f:X)R是一函数，如果Vx1，x2=X,由(或由f(x1)=f(x2)不x1=x2)，则称f在X上是1-1的.若f:X)Y，Y=f(X)，称f为满的.若f:X)Y是满的1-1的，则称f为1-1对应.f:X)R是1-1的意味着y=f(x)对固定y至多有一个解x，f:X)Y是1-1的意味着对y=Y，y=f(x)有且仅有一个解x.定义设f:X)Y是1-1对应.Vy=Y,由y=f(x)唯一确定一个x=X,由这种对应法则所确定的函数称为y=f(x)的反函数，记为x=f-1(y).恰为原函数的值域和定义域f:X)Yf-1:Y)Xf-1of=I:X)X(恒等变换)fof-1=I:Y)Y(恒等变换)(f-1)-1=f:X)Y从方程角度看，函数和反函数没什么别，作为函数，习惯yyy=f(x)的图形是关于对角线y=x对称的.但1-1对应的函数(有反函数)不一定是严格单调的，看下面例子(xf(x)=〈,l3-x,它的反函数即为它自己.0x：0x1.确定f:X)Y的定义域X和值域Y，考虑1-1对应条件.固定y=Y，解方程f(x)=y得出x=f-1(y).y=f(x)06y=f(x)2.按习惯，自变量x、因变量y互换，得y=f1(x).y=f(x)06y=f(x)例求y=sh(x)=：RR的反函数.解固定y，为解y=，令ex=z，方程变为2zy=z21z22zy1=0z=yy2+1 z=yy2+1得x=ln(y+，即y=ln(x+=sh1(x)，称为反双曲正弦.定理给定函数y=f(x)，其定义域和值域分别记为X和Y，若在Y上存在函数g(y)，使得g(f(x))=x,则有g(y)=f1(y).x应就行了；二是要证g(y)=f1(y).证要证y=f(x)的反函数存在，只要证f(x)是X到Y的1-1对应.Vx1，x2=X，若f(x1)=f(x2)，则由定理条件，我们有g(f(x1))=x1g(f(x2))=x2x1=x2，即f:XY是1-1对应.再证g(y)=f1(y).Vy=Y，3x=X，使得y=f(x).由反函数定义x=f1(y)，再由定理条件g(y)=g(f(x))=x.g(y)=f1(y)例f:RR，若f(f(x))存在唯一(3|)不动点，则f(x)也3|不动点.证存在性，设x*=f[f(x*)]，f(x*)=fof[f(x*)]，即f(x)是f*of的不动点，由唯一性f(x*)=x*，即存在f(x)的不动点x*.唯一性：设x=f(x)，x=f(x)=f(f(x))，说明x是fof的不动点，由唯一性，x=x*.从映射的观点看函数.设函数y=f(x),x=D.满足：对于值域f(D)中的每一个值y，D中有且只有一个值x，使得f(x)=y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上数，称这个函数为f的反函数，记作f1:f(D)D,(y|x)或x=f1(y),yf(D).3、注释a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射，称f1为映射f的逆映射，它把f(D)D；b)函数f与f1互为反函数，并有:f1(f(x))=x,xD,f(f1(x))=y,yf(D).c)在反函数的表示x=f1(y),yf(D)中，是以y为自变量，x为因变量.函数f1可以改写为y=f1(x),xf(D).法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.1.基本初等函数(6类)常量函数y=C(C为常数)；指数函数y=ax(a>0,a1)；对数函数y=loagx>0a,；ysinxycsy,tg=x；反三角函数y=arcsxi=,axrycoasrc,=tgx.学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理性质. 这样解决了中学数学仅对有理数x定义ax的缺陷．2．初等函数定义3．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，xxxx取整函数等都是非初等函数.例2．求下列函数的定义域.(1)y(1)y=；(2)y=ln|sinx|.x-13.初等函数的几个特例:设函数f(x)和g(x)都是初等函数,则(1)f(x)是初等函数,因为f(x)=.Cxmaxfxgxfxgx+f(x)-g(x)],0(x)=min恳f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x)].(3)幂指函数(f(x))g(x)(f(x)>0)是初等函数,因为(f(x))g(x)=eln(f(x))g(x)=eg(x)lnf(x).[作业]P15：3；4:(2)、(3)；5:(2)；7:(3)；11教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.fD的函数，若存在数M(L)，使得对每一个xD有f(x)M(f(x)>L)，则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上的一个上(下)界.注：(1)f在D上有上(下)界，意味着值域f(D)是一个有上(下)界的(2)又若M(L)为f在D上的一个上(下)界，则任何大于M(小于L)的数也是f在D上的上(下)界.所以，函数的上(下)界若存在，则不是(3)任给一个函数，不一定有上(下)界；(4)由(1)及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数M，使得对每一个xD有|f(x)|M，则称f为D上的有界函数.注：(1)几何意义：f为D上的有界函数，则f的图象完全落在y=M和(3)关于函数f在D上无上界、无下界或无界的定义.VxX,mf(x)M.证明如果f:X有界，按定义3M>0，VxX有f(x)M，即5=sin2t,不fx=t共26-M共f(x)共M,取m5=sin2t,不fx=t共26f(x)共M0，即3M0>0，使得对Vx=X有f(x)共M0，即f:X)有界.例2．证明f(x)=为(0,1]上的无上界函数.例3．设f,g为D上的有界函数.证明：(1)x=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Dx=Df(x)f(x)=在R内有界.5x5x5x5解法一由xx2xx26x26：对Vx=R,总有f(x)共3,即f(x)在R内有界.解法二令y=,不关于x的二次方程2yx2-5x+3y=0有实数根.根2\22)ttx2\22) 5x253tgt5sint1f(x)=2=2 5x253tgt5sint1f(x)=2=2=2=2=()526 5 则称f为D上的增函数；若f(x1)<f(x2)，则称f为D上的严格增函数.(2)若减函数.证明：设x1<x2，x-x=(x1-x2)(x+x1x2+x)故x-x<0即得证.；更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.fff在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数.证明：设f在D上严格增函数.对Vy=f(D),有x=D,使f(x)=y.下面证明这样的x只有一个.事实上，对于D内任一x1士x,由于f在D上严格增函数，当x1<x时f(x1)<y，当x1>x时f(x1)>y，总之f(x1)士y.即Vy=f(D),都只存在唯一的一x=D,使得f(x)=y，从而结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8证明：y=ax当a>1时在R上严格增，当0<a<1时在R上严格递减.函数和偶函数x=D有(1)f(-x)=-f(x)，则称f为D上的奇函数；(2)f(-x)=f(x)，则称f为D上的偶函数.注：(1)从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称(中心对称)，偶函数的图象关于y轴对称；(2)奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)=x,x=[0,1]没有必要讨论奇偶性.(奇函数:y=sinx；；|非奇非偶函数:y=sinx+cosx设f为定义在数集D上的函数，若存在装>0，使得对一切x=D有(1)若装是f的周期，则n装(n=N+)也是f的周期，所以周期若存在，则函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，(2)任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1)y=x+1，不是周期函数；2)y=C(C为常数)，任何正数都是它的周期.列极限为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.，一直无尽地变234n周段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.小段，代替圆而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为nnln=2nRsin显然，这个ln不会等于l.然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长.n越大，近似程度越高.周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.nn即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微(张晋)早在思想在于“极限”.除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.cN确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.教学重点：数列极限的概念.cN应用.教学方法：讲授为主.若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称f:N+)R为数列.3)不严格的说法：说f(n)是一个数列. lnJ234lnJ435极限出如下(单位为尺)；l2nJl2nl2nJl2nJ2nlnJlnJn)的\n)n1111,23,1111a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.析.小，只要n充分大.任给无论多么小的正数G，都会存在数列的一项aN，从该项之后(n>N)，\n)nN\n)nN综上所述，数列〈1+卜的通项1+随n的无限增大，1+无限接近于1，lnJnnlim|lim|=1或n)的,1+)1.n)w并记作liman=a或an)a(n)w)n)w(读作:当n趋于无穷大时,an的极限等于a或an趋于a).由于n限于取正整n)wn)wan)a(n)w).]只要n>()p,取N=|()P|+12L2」gGn)wn)wGGn)wnann)wn)wn)w4nn)w4nn注意到对任何正整数k,n>2k时有n_k>,就有nnn_1)(n_2)27(n_1)(n_2)27.n227nn.n)wnaananBernoulli有nnn_1个nnn例7limnn=1.n)w证二：n=(nn)n=1(+nn_1)n>n(n_1)(nn_1)22! 不nn_1>nnnn)wn-4 3n21212n2-4n2-4n 3n2n-4 3n2n-4住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.an被确定下来，以便依靠它来求出N；③c的多值性.c既是任意小的正N使得当n>N时,有|an-a|<c,则N=101或更大的数时此不等式自然成立.所以有N个(有限个).反之，任给c>0，若在U(a;c)之外数列恳an}中nNan一a|<c，由此写出数列极限的一种等价定义(邻域定义)：去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响.n)wn)wn)wn)wn)wlimzn=an)w数列：n)wn)wP教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.保些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合.n)wnan)w题.还需要对数列的性质作进一步讨论.性质证一：假设a与b都是数列{an}的极限，则由极限定义，对Vc>0，|a-b|=|(an-b)-(an-a)|共|an-a|+|an-b|<2c又3N2=，当n>N2时有an-b<c不an>b-c=Mmaxaaa|,…,|aN|)注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如{(-1)n}必须用取定c，不能用任给c，否则N随c在变，找到的M也随c在变，界M的意义就不明确了.(1)若a>b，则存在N使得当n>N时有an>bnNnNanbnab式性质)证明：(1)取c=>0，则存在N1，当n>N1时|an-a|<bnb(2)(反证)如a<b，则由⑴知必3N当n>N时an>bn这与已知矛盾an>bn？a0，N1，当nN1时有an2an即liman0a若a0，则0，N2，当nN2时有|ana|a|ana|也都收敛，且(anbn)anbn，anbnanbn特别地，cancan，c为常数如再有bn0则{}也收敛，且证明：由于anbnan(1)bn，an，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.当nN2时bnb取Nmax(N1,N2)，则当nN时上两式同时成立.(1)|anbnab||(ana)bna(bnb)||ana||bn||a||bnb|Mn有|bn|M故当nN时，有|anbnab|(M|a|)(2)bnb0取N=max(N0,N2)，则当n>N时有bnb|bnb|k|b|k|b|11由c的任意性得lim=n)wbnbNNxxk)=xxk)，k=1k=1NNnxk)=nxk).k=1k=1ww但将上述N换成w，一般不成立.事实上x或n本身也是一种极限，两kk=1种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.nN时有lNN取N0=max(N1,N2,N)，则当n>N0时以上两式与已知条件中的不等式同时法.n)wn)w：k使得ka，从而当nk时有0……0……n!12kk1nk!n0由推论即可得结论aaamm个正数，证明naa…amax(a1,a2,…,am)证明：设Amax(a1,a2,…am)，则AnnmAm1nm1，由迫敛性得结论.nhn0.由此例也看出由xnznyn和xnayn,也推出zna.nn1(hn)n1nhnhn2…hnnhn2(n3)，0hn2 n1两边夹推出hn0，即nn1.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例；例3：求极限limn3nn9解limn4n26n1lim43n2n9n3limaa)nn43.n)wn)w1-a1-an)wnnn)wnn)wnn)wnn)wnn)wn)wnn)wn)wn(分子分母最高次数相同，为最高次系数之比即：有理式的极限〈l分子最高次低于分母最高次，则为0如lim=2n)w3n-10n-73 111例7：limn(-n) 111n)wn)w+n)w+11+12是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序要讲的“子列”.n1,n2n1,n2,,nk,N，使得当k>N时有ak-a<c.由于nk>k,故当k>N时有nk>N，从而也有 ank-a<c，这就证明了{ank}收敛(且与{an}有相同的极限)．k)wk)wk)wlima2k=limak)wk)wk)w 又{a6k-3}既是{a2k-1}又是{a3k}的子列，同样可得a2k-1=a3k.(10) (9)式与(10)式给出k)wk)wlima2k=limak)wk)wan敛．教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.教学难点：相关定理的应用.教学方法：讲练结合.限(极限的存在性问题)；若有极限，再考虑如何计算些极限(极限值的计算问本节将重点讨论极限的存在性问题.证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.又an}随n的增大(减少)而增大(减少)，它就有可能与其上界(或下界)非常接近，从而有可能存在极限(或收敛).为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列.减)数列.递增和递减数列统称为单调数列．又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理(单调有界定理)在实数系中，有界且单调数列必有极限.an沿数轴移向无穷远；(2)an无限趋于某一个定点A，即an)A(n)w).证明：不妨设{an}单调增加有上界，把{an}看作集合，有确界原理，sup{an}=p存在nn证明：从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. aa aannlannNcncn，设为Aanann议n)w求limxnn)w法,亦即迭代法).注意到对Vn,有xn>a,有n)wlimxn=an)w准则.存在正整数N，使得当n,m>N时有|an-am|<c.时有|an-a|<c/2不当n,m>N时有|an-am|共|am-a|+|an-a|<cmVnanMVc>0，3N1，n,m>N1不|an-am|<c/23K，k>K不|ank-a|<c/2anaananN+1|+|anN+1-a|<c/2+c/2=cCauchy列、基本列(满足Cauchy收敛准则的数列)|an+P_an|<c小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.c)Cauchy准则把c_N定义中an与a的之差换成an与am之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性.不|an+p_an|共|an+p_an+p_1|+|an+p_1_an+p_2|+…+|an+1_an| clnq)cnN任给自然数p有|an+p_an|<<c.故由Cauchy收敛准则知数列{xn}收敛.cVNmNnNaman|>c0111111m mmmmmmnaman-1/2=1/2m022例5证明:任一无限十进小数a=0.b1b2…bn…0(<a<1)的不足近似值10,10102,,1010210n,b1b1+b2…b1+b2+10,10102,,1010210n,n)的\n)n)的\n)n)的\n)n)的\n)n)的\n)证明留在下节进行.lim(|1-1)|3nn)的\2n).n)”\2n+1).(P383(4)提示：考虑bn=,用双逼原理可求得bn)1,)|l\n)J|nnn2!\n)3!\n)\n)n!\n)\n)\n) n;(n+1)!\n+1)\n+1)\n)\n+1)\n)\n+1)\n)\n+1).综上,数列{xn}单调有界.|1+1|1+1|\n)(1)nn n 为证{xn}上方有界,考虑数列yn=1+n+1.可类证yn↘.事实上,nnnn2\n+2n)nnnn2\n+2n)显然有xn<yn.不Vn,有xn<yn三…三y1=4.即数列{yn}有上界.证法三(利用均值不等式)在均值不等式n三n三xai,(ai>0)中,令nxn-1x不xn-1三xn,即xn↗.n1|l\n)J|n1|l\n)J|ain不1_n↘.不xn<<4.证法四(仍利用均值不等式)n有界性证法可参阅上述各证法.用两则”.(n+1)bn.bn[(n+1)a_nb]<an+1,(0共a<b,n为正整数)取a=1,b=1+1,又有(|1+1)|n.1<1对Vn成立，不(|1+1)|n<2,不2n\2n)2\2n)x2n=1+2n<4.又由x2n_1<x2n,不xn<4.l第三章函数极限数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结f:N+)R(n)an);或f(n)=an,n=N+或f(n)=an.研究数列恳an}的极限，即是研究当自变量n)+w时，函数f(n)变化趋势.fnn只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n)+w.但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为x=R，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于x)+w为此，考虑下列函数:f(x)=〈l0,x=0.xwfx，也可考虑自变量x)_w时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量x)w时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量x)a时，f(x)的变化趋势,各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.面，我们就依次讨论这些极限.教学要求：掌握当x)x0；x)w；x)+w；x)_w；x)x；x)x_0时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当x)x0时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函设函数定义在[a,+w)上，类似于数列情形，我们研究当自变量x)+w时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A.这种情形能否出现呢？回答是可能此性质.例如f(x)=,x无限增大时，f(x)无限地接近于0；g(x)=arctgx,x无限增f(x)，g(x)这样当x)+w时，对应函数值无限地接近于某个定数A的函数称为“当x)+w时有极限A”.[问题]如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x)+w时函数极限的精确定义如下.2.x)+w时函数极限的定义c正数M(>a)，使得当x>M时有|f(x)一A|<c,则称函数f当x)+w时以A为limf(x)=A或f(x))A(x)+w).x)+w正数M的作用与数列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n.(2)limf(x)=A的邻域描述：Vc,3U(+w),当x=U(+w)时，x)+wf(x)=U(cA (3)limf(x)=A的几何意义：对Vc，就有y=A+c和y=A一c两条直线，x)+w在直线x=M的右方，曲线y=f(x)全部落在这个带形区域内.落在这个更窄的带形区域内.(4)现记f为定义在U(_w)或U(w)上的函数，当x)_w或x)w时，若函数值f(x)能无限地接近于常数A，则称f当x)_w或x)w时时以A为极limfx或f(x))A(x)_w)，x)_wlifmx=()或f(x))A(x)w).x)wlimfx一Vc>0,3M>0,当x<_M时，|f(x)_A|<c，x)_wlimf(x)=A一Vc>0,3M>0,当|x|>M时，|f(x)_A|<c.x)w(5)推论：设f(x)为定义在U(w)上的函数，则lifmx=()一limf(x)=limf(x)=A.x)wx)+wx)_w4．利用limf(x)＝A的定义验证极限等式举例x)+w例1证明lim1=0.x)wx例2证明1)limarctgx=_几；2)limarctgx=几.x)_w2x)+w2二、x)x0时函数的极限上节讨论的函数f当x)+w时的极限，是假定f为定义在[a,+w)上的函数，这事实上是U(+w)，即f为定义在U(+w)上，考虑x)+w时f(x)是否趋于某个定数A.本节假定f为定义在点x0的某个空心邻域U0(x0)内的函数，.现在讨论当x)x0(x才x0)时，对应的函数值能否趋于某个定数A数列.例1f(x)=1(x才0).(f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x)0时，f(x))1)x2-4例2f(x)=.(f(x)是定义在U0(2)上的函数，当xx2-4x-2f(x))4)例3f(x)=.(f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x)0时，f(x))?)A函数却无此性质.所以有必要来研究当x)x0(x丰x0)fx的变化趋势.我们称上述的第一类函数f(x)为当x)x0时以A为极限，记作x)x0和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定“当自变量x越来越接近于x0时，函数值f(x)越来越接近于一个定数A”)只要x充分接近x0，函数值f(x)和A的相差就会相当小)欲使|f(x)-A|都有|f(x)-A|<c.此即limfx(=)A.x)x02、x)x0(x丰x0)时函数极限的c-6定义定义2设函数f(x)在点x0的某个空心邻域U0(x0;6,)内有定义，A为定Ac称函数f当x趋于x0时以A为极限(或称A为x)x0时f(x)的极限)，记作limfx(=)A或(f(x))A(x)x0).x)x0(2)c是表示函数f(x)与A的接近程度的.为了说明函数f(x)在x)x0的过程中，能够任意地接近于A，c必须是任意的.这即c的第一个特性——任意找6，使得当0<|x-x0|<6时|f(x)-A|<c成立.这即c的第二特性——暂时固定(|f(x)-A|<c一|f(x)-A|共c)(3)6是表示x与x0的接近程度，它相当于数列极限的c-N定义中的N.定义中是要求由0<|x-x0|<6推出|f(x)-A|<c即可，故若6满足此要求，则 23性——多值性.f在x0处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.(5)定义中的不等式0<|x-x0|<6一x=06x,；fxAcfxUAcVcxUx，都有f(x)=U(A;c)一Vc>0,36>0，使得f(U0(x0,6))仁U(A;c).(6)c-6定义的几何意义.例1．设f(x)=x2-4，证明：limf(x)=4.x-2x)2例2．设f(x)=1(x才0)，讨论x)0时f(x)的极限.limsinx=sinx0；2)limcosx=cosx0.x)x0x)x0x)x0limxxx|<1).x)x0例6．证明limC=C,limx=x0.x)x0x)x0xax.axax.a就远离零点了.Vc>0,取6=min(,c)，则当0<x-a<6时,有例8．证明limx=a.x)a x)ax)a证lim=2.x)wx-2x>42xx>3xx>42xx>3x+4 x2-2 4-2=2.xx2-22x2-7x+352(x-1)(x-3)52x-1552x-12x-1.xx2x2_7x+352x_11x2x2_7x+352x_11练习：1)证明limx3_1=3;2)证明lim6x+5=6.x)1x_1x)+wx某些点左侧与右侧的解析式不同，如有定义，如义(讨论方法)，而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论f1(x)在x)0时的极限.侧极限”的概念.的定义Vc>0,36(<6,)>0，使得当x0<x<x0+6时有|f(x)_A|<c,则称数A为函数f当x趋于x0时的右极限，记作limf(x)=A或f(x))A(x)x0+)或f(x0+0)=A.x)xAx)x0_f(x))A(x)x0_)或f(x0_0)=A).注：右极限与左极限统称为单侧极限.fxxsgnxx、右极限.4．函数极限limf(x)与limf(x),limf(x)的关系.x)x0x)x0+x)x0_定理3.1limf(x)=A一limf(x)=limf(x)=A.x)x0x)x0+x)x0_x)x0+0.故limx)x0+0.同理当0<x0_x<6时，也有f(x)_A<c,故x0f(x)=A.有f(x)_A<c,又由x0f(x)=A,362>0,使得当0<x0_x<62时，有 fxAcminxx0<6时，有f(x)_A<c，故x)x0.limf(xx)x0