第二章弹性力学的基本方程

第二章弹性力学的基本方程第1页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-6弹性力学问题的一般提法§2-7指标表示法§2-8迭加原理§2-9弹性力学问题解的唯一性原理§2-10圣维南原理第2页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-1

载荷应力1.外力的表示外力：直接施加在物体上引起物体的变形与内力．根据外力作用区域分为体积力和表面力

第3页，共75页，2023年，2月20日，星期一体积力：分布在物体的体积内，作用在物体内的所有质点上，例如重力、惯性力、电磁力等。

第4页，共75页，2023年，2月20日，星期一体力矢量表示为：

第5页，共75页，2023年，2月20日，星期一表面力：作用在物体表面上的外力，简称面力。例如，液体或气体的压力，固体间的接触力等，通常用面力矢量

第6页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.应力在载荷的作用下，物体的各部分之间要产生相互作用，这种物体内的一部分对另一部分的相互作用力，称为内力。

第7页，共75页，2023年，2月20日，星期一弹性体内一点内力集度表示为：

注意：同一点不同截面上的内力不同．第8页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.应力分量应力正负号的规定：正面上的应力分量与坐标轴的正方向一致为正，负面上的应力分量与坐标的负方向一致为正；反之为负。

第9页，共75页，2023年，2月20日，星期一应力分量：

第10页，共75页，2023年，2月20日，星期一1.微元体：首先，在物体内一点P的附近，用三组坐标面的平行平面截出一个微小的平行六面体单元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，如图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分量仍用和表示。

§2-2平衡（运动）微分方程第11页，共75页，2023年，2月20日，星期一

第12页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.力平衡微分方程由得：第13页，共75页，2023年，2月20日，星期一又称纳维叶(Navier)方程。第14页，共75页，2023年，2月20日，星期一3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。第15页，共75页，2023年，2月20日，星期一3.运动微分方程。如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert）原理，在体力项中引入惯性力：和这里为材料密度，t为时间。

第16页，共75页，2023年，2月20日，星期一运动微分方程：第17页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-3斜面应力公式应力边界条件过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面

的面积为dA，则三个负面的面积分别为

第18页，共75页，2023年，2月20日，星期一第19页，共75页，2023年，2月20日，星期一1.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：将各面面积代入得：第20页，共75页，2023年，2月20日，星期一同理可得：上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。

第21页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.斜面上的正应力与剪应力第22页，共75页，2023年，2月20日，星期一3.边界条件上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面外法线方向余弦．第23页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-4位移几何方程1.位移物体内各点位置的改变量称为位移。

用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：

(1)物体刚体位移(2)物体内质点间相对位移

第24页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.应变

线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z,和表示，即方向线元的正应变分别用,第25页，共75页，2023年，2月20日，星期一第26页，共75页，2023年，2月20日，星期一正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z直角的变化分和表示，方向三个正交线元别用，，符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应力的正负规定是一致的。

第27页，共75页，2023年，2月20日，星期一３.几何方程几何方程是物体变形过程的位移－应变关系．设弹性体内任一点Ｐ的位移分别为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影的变形分析来建立应变－位移关系．第28页，共75页，2023年，2月20日，星期一物体变形的位移及在坐标面上投影第29页，共75页，2023年，2月20日，星期一以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系第30页，共75页，2023年，2月20日，星期一以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系第31页，共75页，2023年，2月20日，星期一

P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级数在Ｐ点处展开：Ａ点：Ｂ点：第32页，共75页，2023年，2月20日，星期一

在小变形条件下：第33页，共75页，2023年，2月20日，星期一第34页，共75页，2023年，2月20日，星期一在小变形条件下第35页，共75页，2023年，2月20日，星期一同例分析平面yoz和平面zox可得：方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程第36页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-5广义Hooke定律1.简单应力状态

简单拉压：

纯剪切：

第37页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.复杂应力状态第38页，共75页，2023年，2月20日，星期一3.体积应变

称为体积应变

第39页，共75页，2023年，2月20日，星期一4.用应变表示应力同理第40页，共75页，2023年，2月20日，星期一令则第41页，共75页，2023年，2月20日，星期一于是式中中称为拉梅常数注意：是应变张量分量而不是剪应变分量．上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律

第42页，共75页，2023年，2月20日，星期一上式还可进一步写成：第43页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-6弹性力学问题的一般提法

我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动）微分方程、几何方程和应力-应变关系；第44页，共75页，2023年，2月20日，星期一又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程第45页，共75页，2023年，2月20日，星期一运动微分方程：第46页，共75页，2023年，2月20日，星期一(2)几何方程方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程第47页，共75页，2023年，2月20日，星期一(3)应力-应变关系(本构关系)应力-应变关系(本构关系)第48页，共75页，2023年，2月20日，星期一用应变表示的应力-应变关系

三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有15个未知量15个方程，可以求解。

具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。第49页，共75页，2023年，2月20日，星期一（4）边界条件（ⅰ）应力边界条件（ⅱ）位移边界条件（ⅲ）混合边界条件第50页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-7指标表示法

力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文献中，在理论推导采用指标表示。

1.指标符号

具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的字母表示。

第51页，共75页，2023年，2月20日，星期一位移分量：

u、v、w可以写成，缩写后为

坐标：x、y、z可以写成

，缩写后为单位基矢量：可以写成，缩写后为应力分量：可以写成缩写后为第52页，共75页，2023年，2月20日，星期一应变分量：可用表示由此，向量可表示为在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取

在二维笛卡尔空间中，下标用小写希腊字母表示，并取

第53页，共75页，2023年，2月20日，星期一三阶线性代数方程组可表示为引用求和记号以后，还可以进一步简写为第54页，共75页，2023年，2月20日，星期一2.求和约定于是上式可表示为

在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，这就是爱因斯坦（Einstein）求和约定。

重复指标称为哑指标（或简称哑标）。

式中的i，不是求和指标。非求和指标称为自由指标。

第55页，共75页，2023年，2月20日，星期一注意:而3.求导数的简记方法

第56页，共75页，2023年，2月20日，星期一例如:第57页，共75页，2023年，2月20日，星期一4.克罗内克（Kroneker）符号

定义:于是第58页，共75页，2023年，2月20日，星期一(1)具有如下性质：

(2)(3)(4)第59页，共75页，2023年，2月20日，星期一5.置换符号

置换符号用表示,定义:

(a)循环序列：i,j,k取不同的值，第60页，共75页，2023年，2月20日，星期一(b)逆循环序列：i,j,k取不同的值(c)非循环序列：i,j,k中有两个以上的指标取相同值利用置换符号可以简化公式

（1）行列式第61页，共75页，2023年，2月20日，星期一可表示为（2）向量叉积可表示为第62页，共75页，2023年，2月20日，星期一当采用指标记法时,弹性力学问题的控制方程（在V内）（1）平衡（运动）微分方程

（2）几何方程：（在V内）（3）应力-应变关系：第63页，共75页，2023年，2月20日，星期一（在V内）（在V内）（在V内）（4）边界条件力的边界条件：（在内）

位移边界条件：（在内）第64页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-8迭加原理

考虑同一物体两组载荷情况:(在上）(在上)位移第二组:体力（在V内）面力(在上）第一组:体力（在V内）位移面力(在上）第65页，共75页，2023年，2月20日，星期一对第一组载荷应有(在V内)(在上）(在上）第66页，共75页，2023年，2月20日，星期一对第二组载荷应有(在V内)(在上）(在上）第67页，共75页，2023年，2月20日，星期一(在V内)(在上）(在上）将上面两组关系中的对应方程相加得若则(在上）第68页，共75页，2023年，2月20日，星期一上式表示在体力及面力作用下,约束位移为弹性力学问题的解为:应力：应变：位移：

对于大变形情况，几何方程将出现二次非线性项，平衡微分方程将受到变形的影响，因而叠加原理不再适用。

对于非线性弹性或弹塑性材料，应力-应变关是非线性的，叠加原理不成立。第69页，共75页，2023年，2月20日，星期一§2-9弹性力学问题解的唯一性原理唯一性定理：在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如果物体的整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。第70页，共75页，2023年，2月20日，星期一

证明：设对应于