第五代数系统

第五代数系统第1页，共43页，2023年，2月20日，星期一2、代数系统在一个非空集合A上定义f1,f2,…fn个二元运算构成的系统叫代数系统。例1：<N,+－×÷>,<P(A),∩∪－⊕)>二、二元运算性质1、封闭性设*是定义在集合A上的二元运算，如果任意x,y∈A，x*y∈A，则称二元*运算在集合A上是封闭的。例2：<N,+，×>,<P(A),∩,∪,－,⊕)>，不封闭运算：<N,－÷>

2、交换性设*是定义在集合A上的二元运算，如果任意x,y∈A，x*y=y*x，则称二元*运算在集合A上是可交换的。例3：<N,+，×>,<P(A),∩,∪,⊕)>第2页，共43页，2023年，2月20日，星期一3、等幂设*是定义在集合A上的二元运算，如果任意x∈A，x*x=x，则称二元*运算在集合A上是等幂的。例4：<P(A),∩,∪>4、结合性设*是定义在A上的二元运算，如果任意x,y,z∈A,(x*y)*z=x*(y*z)，则称二元*运算在集合A上是可结合的。 例5：<N,+，×>,<P(A),∩,∪,⊕)>5、分配律设*和·是定义在A上的二元运算,如果任意x,y,z∈A,x*(y·z)=(x*y)·(x*z)，则称二元*运算对·在集合A上是可分配的。例6:〈N,×,+〉×对+可以分配。<P(A),∩,∪>,∩对∪可以分配。6、吸收律设*和·是定义在A上的二元运算,如果任意x,y∈A,x*(x·y)=x，(x·y)*x=x，则称二元*运算对·在集合A上是可分配的。例7:A∩(A∪B)=AA∪(A∩B)=A

第3页，共43页，2023年，2月20日，星期一7、削去律设*是定义在A上的二元运算，如果任意x,y,z∈A，x*y=x*z，y*x=z*x,最后得出y=z,则称二元*运算在集合A上是可削去的。例8：满足消去率A⊕B=A⊕C

不满足消去率A∩B=A∩CA∪B=A∪C二、通过运算表求运算性质说明：设<A,*>是一个代数系统，*是A上的二元运算，则该运算的一些性质可直接由运算表得到，具体如下：运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A；运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的；运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一个元素与它所在行(列)的表头元素相同。第4页，共43页，2023年，2月20日，星期一5.2运算中的特殊元素一、幺元（e）1、e元定义设*是定义在A上的二元运算，如果存在一个元素el∈A,任意x∈A,el*x=x，则称el为A中*运算的左幺元，同理，如果存在一个元素er∈A,任意x∈A,x*er=x，则称er为A中*运算的右幺元。如果e是A中*运算的左幺元又是右幺元则称e为*运算幺元。例1：<N,+>,e=0;<N,×>,e=1;<P(A,∩)>,e=A;<P(A,∪)>,e=Φ2、e元性质e元唯一。

第5页，共43页，2023年，2月20日，星期一二、零元

()1、零元定义设*是定义在集合A上的二元运算，如果存在一个元素∈A，任意x∈A，*x=，则称为A中*运算的左零元，同理，如果存在一个元素∈A，任意x∈A,x*=，则称为A中*运算的右零元。如果是A中*运算的左零元又是右零元则称为*运算零元。例2：<R,×>，零元是0；<P(A),∩>,零元=Φ;<P(A),∪>,零元=A2、零元性质设<A，*>是代数系统，如果|A|>1，该代数系统存在e元和零元，则幺元≠零元。反证法：设e=，则任意x∈A，x*e=x*==x=e,与|A|>1矛盾。第6页，共43页，2023年，2月20日，星期一三、元素逆元1、逆元定义设*是定义在集合A上的二元运算，e为幺元，如果A中某元素a存在

b∈A,b*a=e，则称b是a左逆元。同理，a*b=e，则称b是a右逆元。如果b既是a左逆元同时又是a右逆元，则称b是a逆元，记作a-1=b。例3：<I,+>,a-1=-a;<R-{0},×>,r-1=1/r例4:已知<A,*>运算表如下所示，求每个元素逆元。

a-1=a,b-1=d;d-1=b,c-1=c*abcdaabcdbbcdaccdabddabc第7页，共43页，2023年，2月20日，星期一2、逆元性质1)设<A,*>，存在幺元e，每个元素都有左逆元，且*运算可结合。则这个代数系统中每个元素的左逆元必定是其右逆元，并且每个元素逆元唯一。证明：设任意a,b,c∈A，且b是a左逆元，c是b左逆元(b*a)*b=e*b=be=c*b=c*((b*a)*b)=(c*(b*a))*b=(c*b)*a)*b=(e*a)*b=a*b所以b也是a右逆元。2)逆元唯一反证：设a有两个不相等的逆元b和c，则b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c总结：通过运算表求特殊元素A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同；A关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表行和列一致；设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的元素以及位于b所在行，a所在列的元素都是幺元。第8页，共43页，2023年，2月20日，星期一5.3半群semigroup基本定义一、基本概念1、广群设代数系统<A,*>，其中A是非空集合，*是A上的一个二元运算，如果运算*是封闭的，则称代数系统<A,*>是广群。例1：<N,+>,<N,×>,<P(A),∩>,<P(A),－>,<P(A),⊕>2、半群设代数系统<A,*>，其中A是非空集合，*是A上的一个二元运算，如果运算*是封闭的、可结合的，则称代数系统<A,*>是半群。3、子半群设代数系统<A,*>是半群，B⊆

A,如果*运算在集合B上满足封闭性，则<B,*>是<A,*>子半群。例2：<N,×>是<R,×>的子半群。4、独异点含幺元半群例3：<P(A),∩>，<P(A),∪>,〈N,+〉第9页，共43页，2023年，2月20日，星期一二、有限半群性质设代数系统<A,*>是半群，A为有限集合，则必然存在a∈A，a*a=a.证明：因为A是有限半群，根据半群封闭性：则任意b∈A，必有b1,b2,b3,…,bi,…bj

∈A

又根据半群是有限的，必然存在i和j,使bi=bj

，(j>i,j=i+p)

即有bi=

bi*

bp则bi+1=

bi+1*

bpbi+2=bi+2*

bp…bkp=

bkp*

bpbkp=(bkp*

bp)*

bp…bkp=

bkp*

bkp

令bkp=a,所以有a*a=a例4：设<{a,b},*>是半群，且a*a=b.证明a*b=b*a，b*b=?

证明：a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a第10页，共43页，2023年，2月20日，星期一三、独异点性质1、设<A,*>是一个独异点，则运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。2、设<A,*>是一个独异点，任意a,b∈A，且a,b都有逆元，则：

(a-1)-1=a(a*b)-1=b-1*a-1练习：设<R，*>是代数系统，其中R是实数集合，任意a,b∈R都有：a*b=a+b+a·b

证明：<R，*>是独异点，判断每个元素是否有逆元？设<S,*>是一个半群，a∈S，在S上定义·运算如下：任意x,y∈S,x·y=x*a*y,

证明：<S,·>也是一个半群。设A是一个非空集合，定义·运算：任意a,b∈A，a·b=a，证明<A,·>是半群。第11页，共43页，2023年，2月20日，星期一5.4群和子群基本概念一、群1、群定义设代数系统<A,*>，其中A是非空集合，*是A上的一个二元运算，如果：运算*是封闭的；运算*是可结合的；存在幺元；任意x∈A，存在它的逆元；则称代数系统<A,*>是一个群。例1:〈I,+〉，〈R-{0},×〉第12页，共43页，2023年，2月20日，星期一例2：设代数系统<I,*>，其中任意a,b∈I,a*b=a+b-1，证明<I，*>是群封闭性结合性：设任意a,b,c∈I,则左：(a*b)*c=(a+b-1)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-1-1右：a*(b*c)=a*(b+c-1)=a+b+c-1-1=a+b+c-1-1e元：设任意a∈I，则a*e=a+e-1=ae*a=e+a-1=ae=1逆元：设任意a∈I,存在b∈I?a*b=e,则a+b-1=1b*a=e,则b+a-1=1b=2-a第13页，共43页，2023年，2月20日，星期一例3<{0,1,2,3,4,5}+6>是群+6012345001234511234502234501334501244501235501234+6可结合通过运算表可知：运算封闭，e=00-1=0，,1-1=5，5-1=1，2-1=4，4-1=2，3-1=3第14页，共43页，2023年，2月20日，星期一2、群阶设<G,*>是群，如果G是有限集，则称<G,*>为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G是无限集，则称<G,*>为无限群。二、群的性质1、群中无有零元当群阶为1时，它的唯一元素视为幺元;|G|>1，且群有零元，则任意x∈G,x*=*x=≠ex不存在逆元。2、群中方程有唯一解

x*a=b3、群满足削去率4、群中除e元外，无其它等幂元素反证：设存在a∈A且a≠e，a*a=a，则

a-1*a*a=a-1*aa=e第15页，共43页，2023年，2月20日，星期一5、有限群运算表中每一行或每一列都是G的元素的一个置换设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。设集合S={a,b,c,d}，则下例都是S置换。总结：群表中任何行（列）不会有相同的两个元素存在；

G中每个元素都会在群表每一行（列）出现并且只能出现一次；群表中没有两行（列）相同的。例5：利用子群性质写出1至4阶群表。

第16页，共43页，2023年，2月20日，星期一三、子群的判定及性质1、定义设<G,*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S,*>也构成群，则称<S,*>是<G,*>的一个子群。例6：已知<I，+>是群，S⊆I，其中S是能被2整除的数，则<S，+>是<I，+>子群。例7：设<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，证明<H∩K,*>也是<G,*>子群。证明：因为H⊆G，K⊆G，所以H∩K⊆G；封闭性：设任意a,b∈H∩K，即a∈H且a∈K，b∈H且b∈K；因为<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群,所以a*b∈H,a*b∈K,故a*b∈H∩K；e元：因为<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，所以e∈H,e∈K,故e∈H∩K;结合性：继承逆元：设任意a∈H∩K，即a∈H且a∈K，又因为<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，所以a-1∈H且a-1∈K,故a-1∈H∩K。综上所述，<H∩K,*>满足子群定义。第17页，共43页，2023年，2月20日，星期一2、性质设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的一个子群，那么，<G,*>中的幺元e必定也是<S,*>中的幺元。(用消去律证明)(群与子群共幺元)3、平凡子群设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的一个子群，如果S={e}或S=G，则称<S,*>是<G,*>的平凡子群。第18页，共43页，2023年，2月20日，星期一四、子群证明定理

1、有限子群证明:运算满足封闭性设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，则<B,*>必定是子群。证明：设任意b∈B，*在B上封闭，则b1,b2,b3,…,bi∈B，由于B是有限集合，所以必然存在i和j，使bi=

bj

(设j>i)。即bi=

bi*bj-i,

说明bj-i是G和B中幺元；如果j-i>1，则bj-i=bj-i-1*b，说明b-1=bj-i-1如果j-i=1，则b是幺元，说明b逆元是自己本身例8：<{012345}+6>是群<{0,3}+6><{0,2,4}+6>都是原群的子群,+6满足封闭性.

第19页，共43页，2023年，2月20日，星期一2、任意子群证明设<G,*>是群，S是G的非空子集，如果任意a,b∈S有：a*b-1∈S，则<S,*>是<G,*>子群。证明：幺元：任意a∈S，a*a-1=e∈S；又因为a*e=e*a，所以e也是S幺元；逆元：任意a∈S，e∈S,则e*a-1=a-1∈S;封闭：设任意a,b∈S，则b-1∈S,有a*(b-1)-1∈S；结合性：*运算结合性可继承。第20页，共43页，2023年，2月20日，星期一例9：设<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，证明<H∩K,*>也是<G,*>子群。证明：H⊆G，K⊆G，所以H∩K

⊆G设任意a,b∈H∩K

，即a∈H且a∈K

，b∈H且b∈K;因<H,*>和<K,*>都是<G,*>子群，所以b-1∈H，b-1∈K，故有：a*b-1∈H,a*b-1∈K。得出a*b-1∈H∩K

，故<H∩K,*>是<G,*>子群。练习：设<S,*>是群<G,*>的子群，令H={x|x∈G且x*S*x-1=S},证明：<H，*>也是群<G,*>的子群。证明：设a,b∈H,则a*S*a-1=S，b*S*b-1=S在b*S*b-1=S等式两边左乘b-1右乘b，得S=b-1*（b*S*b–1）*b=b-1*S*b则S=a*S*a-1=a*(b-1*S*b)*a-1=(a*b-1)*S*(b*a-1)=(a*b-1)*S*(a*b-1)-1得出：a*b-1∈

H<H，*>也是群<G,*>的子群。第21页，共43页，2023年，2月20日，星期一练习：设<G,*>是一群，存在x∈G,任意a,b∈G:定义a·b=a*x*b证明<G,·>是群。封闭性结合性任意a,b,c∈G,(a·b)·c=(a*x*b)·c=(a*x*b)*x*c=a*x*(b*x*c)=a*x*(b·c)=a·(b·c)幺元设任意a∈G，则a·e=a*x*e=a,并且e·a=e*x*a=a，解得：e=x-1元素逆元：设任意a∈G，则a·a-1=a*x*a-1=x-1,并且a-1·a=a-1*x*a=x-1,解得：a=x-1*a*x-1,所以a-1=(x-1*a*x-1)-1=x*a-1*x

第22页，共43页，2023年，2月20日，星期一古典代数与近世代数古典代数的研究对象：方程；以方程根的计算和分布为研究中心近世代数的研究对象：代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近视代数古典代数的发展过程一元一次方程，公元前1700年一元二次方程，公园前几世纪，巴比伦人一元三次方程：中国：在公元七世纪，一般的近似解法，唐朝数学家王孝通《缉古算经》；西方：16世纪，意大利数学家，卡丹公式一元四次方程化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程19世纪法国青年数学家伽罗瓦:五次以上方程无根式解第23页，共43页，2023年，2月20日，星期一近世代数创始人Galois（1811-1832）1830年12月因抨击校长在“七月革命”中的两面行为被开除。

1831年6月—7月，两次被铺

1832年5月29日，“请公开请求雅克比或高斯就这些定理的重要性而不是正确性发表的他们的看法。在这以后，我希望有人会发现将这堆东西整理清楚对他们是有益的”1829年三月，发表第一篇论文

1829年五月，《关于五次方程的代数解法问题》1831年，《关于用根式解方程的可解性条件》1829年，父亲自杀，两次投考巴黎综合工科学校被拒绝，进入高等师范学校学习第24页，共43页，2023年，2月20日，星期一1830年12月因抨击校长在“七月革命”中的两面行为被开除。1831年6月—7月，两次被捕1832年5月29日，“请公开请求雅克比或高斯就这些定理的重要性而不是正确性发表的他们的看法。在这以后，我希望有人会发现将这堆东西整理清楚对他们是有益的”1832年5月30日，决斗身亡1846年，LiouvilleL《纯粹与应用数学杂志》1870年，Jordan《论置换与代数方程》开创了置换群论的研究，彻底解决了一般方程的根式解难题。发展了一整套关于群和域的理论—伽罗瓦理论，创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程碑，标志着数学发展现代阶段的开始。第25页，共43页，2023年，2月20日，星期一天才挪威数学家阿贝尔穷牧师之子，七个兄弟姐们排行第二，家境贫寒，小时候由父亲和哥哥教识字。1815年进入中学。自学欧拉、泊松和拉格朗日著作，使他的老师霍姆伯大为叹服。1822年6月，阿贝尔靠霍姆伯的帮助，在克里斯蒂安妮亚大学念完了必须的课程。1824年—1826年，阿贝尔—鲁芬尼定理：五次方程不存在代数解（紧缩成只有六页的小册子），引人了交换群（阿贝尔群）的概念，Gauss扔到书堆里。寄过一份长篇论文给法国科学研究院拉让德，看不懂，转给柯西，扔角落里。以证明一般五次方程不能被根式解以及椭圆函数论的工作而享有盛名，其后椭圆函数论发展成为阿贝尔函数论，从19世纪起一直是大热门。工作还包括：为无穷级数理论奠定严密基础。许多重要的数学概念以他名字命名：阿贝尔群，阿贝尔族，阿贝尔函数和阿贝尔积分等。第26页，共43页，2023年，2月20日，星期一1829年4月6日，死于结核病，一生贫困，致死也不知道他的声望已经高不可没。死后两天，柏林大学寄来了教授聘书。第二年6月，法国科学院颁给著名的Grandprix(格兰披治)奖。1830年，在柯西的旧书堆里找出阿贝尔手稿，1841年，这篇诗般的手稿又一次丢失，直到1952年才在佛罗伦萨被重新发现。法国数学家Hermit:“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌500年。”第27页，共43页，2023年，2月20日，星期一5.5阿贝尔群一、交换群commutativeG（阿贝尔群AbelG）1、定义如果群<G,*>中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或交换群。注:关于运算表是对称的。2、判断设<G,*>是群，则其是阿贝尔群的充要条件是对于任意a,b∈G有：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)充分性：已知(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，证明是阿贝尔群。必要性：已知<G,*>是阿贝尔群，证明(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)第28页，共43页，2023年，2月20日，星期一例1：<{0,1,2,3,4,5},+6>是阿贝尔群+6012345001234511234502234501334501244501235501234运算表关于主对角线对称任意a,b∈{0,1,2,3,4,5},a*b=b*a第29页，共43页，2023年，2月20日，星期一例2：已知<I,*>是群，任意a,b∈I，a*b=a+b-1证明：<I,*>是阿贝尔群。3、性质阿贝尔群任何子群都是阿贝尔群。二、循环群cyclicG1、定义设<G,*>为群，若群G中的任意元素都由a的各次幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。即G={a1,a2,…an,…}.例3：证明<{0,1,2,3,4,5}+6>是循环群11=112=213=314=415=516=0,所以1为生成元51=552=453=354=255=156=0,所以5也为生成元可见循环群生成元不唯一,并且a如果为生成元,则a-1也为生成元.2、性质

(1)任何一个循环群必定是一个阿贝尔群，反之不定成立。证明：设<G,*>是一个循环群，生成元为a，则任意x,y∈G，必有r,s∈N,使得x=ar，y=as,则x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x第30页，共43页，2023年，2月20日，星期一例4:

设<{a,b,c,d},*>为阿贝尔群，其群表如下：*abcdaabcdbbadcccdabddcba没有生成元，所以不是循环群第31页，共43页，2023年，2月20日，星期一(3)

设<G,*>是生成元为a的有限循环群，|G|=n,则an=e,且G={a1,a2,…an=e},

其中e为群幺元，我们称n是an=e的最小整数(n为元素a的阶或者周期)。第32页，共43页，2023年，2月20日，星期一5.6陪集与拉格朗日定理一、陪集coset1、集合之积设<G,*>为群，任意A,B∈P(G)，其中A≠Φ，B≠Φ，则A*B={a*b|a∈A,b∈B}例1:<{a,b,c,d},*>，群表如下，其中子集A={a,b,c}，B={c,d}*abcdaabcdbbadcccdabddcbaA*B={c,a,d,b}第33页，共43页，2023年，2月20日，星期一2、左陪集关系设<H*>是群<G*>的子群，令RL={<a,b>|,a,b∈G,a-1*b∈H},称RL为子群H在G上的左陪集关系，并且称RL为等价关系。证明：⑴自反性a-1*a=e∈H，所以<a,a>∈RL,即RL满足自反性⑵对称性设<a,b>∈RL,即a-1*b∈H,故(a-1*b)-1∈H,即b-1*a∈H所以<b,a>∈RL,即RL满足对称性；⑶传递性设<a,b>和<b,c>∈RL，即a-1*b∈H,和b-1*c∈H，由子群H的封闭性得：(a-1*b)*(b-1*c)∈H,得到：a-1*b*b-1*c∈H，即有a-1*c∈H，所以<a,c>∈RLRL，即RL满足传递性接上例：设群<{abcd}*>,子群H={ac}，求RL={<a,a><b,b><c,c><d,d><a,c><c,a><b,d><d,b>}[a]RL={a,c},[b]RL={b,d}第34页，共43页，2023年，2月20日，星期一3、子群的陪集⑴定义设<H*>是群<G*>的子群，任意a∈G,则集合{a}H称为由a确定的H在G中的左陪集，简即为：aH接上例设子群H={ac}，求H的不同左陪集：aH=cH={a,c}dH=bH={b,d}观察知：[a]RL=aH,[b]RL=bH(2)陪集的性质·[a]RL=aH证明：设任意b∈[a]RL,则a-1*b∈H，即b∈aH，故得[a]RLaH。同理，设任意b∈aH，即存在h∈H，使得a*h=b,解得h=a-1*b,所以<a,b>∈RL,即b∈[a]RL，故aH[a]RL综上所述[a]RL=aH第35页，共43页，2023年，2月20日，星期一·若a∈H，则aH=H，原因：根据群表行（列）是原集合置换的性质·若b∈aH，则aH=bH，原因：[a]RL=aH，所以[a]RL=[b]RL·任意a,b∈G,则aH=bH不可兼或aH∩bH=Φ任意a∈G,H～aH构造双射函数,f(h)=a*h接上例：设群<{a,b,c,d}*>,子群H={a,c}，求子群H在G上的左陪集关系：RL＝{a,c}×{a,c}∪{b,d}×{b,d}＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,c>,<c,a>,<b,d>,<d,b>}第36页，共43页，2023年，2月20日，星期一二、拉格朗日定理lagrangetheorem已知群<G*>的子群为<H*>,|G|=n|H|=m,则m是n的因子。由于RL是G中的一个等价关系，所以RL不同的等价类是G的划分块：[a1]RL∪[a2]RL∪…∪[ak]RL

，并且每个划分块都和H等势。n=|G|=总结：推论1任何阶为质数的群只有平凡子群。推论2有限群G任一元素的阶（周期）必是|G|的因子。因为任意a∈G,由a为生成元构成的子群H={ai|任意a∈G,i∈N}，H一定是G子群。以<{0,1,2,3,4,5}+6>为例。推论3阶为质数的群一定是循环群，并且除e元外都是生成元。例2：设群<{abcd}*>,a为幺元，求下列选项可能为原群子群的是。A.{ab}，B.{abc}，C.{bc}例3：已知<H*>和<K*>是群<G*>子群，设H∩K是G子群，且|H|＝2,|K|＝3,且|G|=6.求|H∩K|=？第37页，共43页，2023年，2月20日，星期一练习：已知<{0,1,2,3,4,5}+6>为群，求其不同子群的不同左陪集关系及对应的不同的等价类；分别对应的集合的划分设<G,*>是一群，令R={<a,b>|a,b∈G,存在x∈G使得b=x*a*x-1},证明R是G上的等价关系。第38页，共43页，2023年，2月20日，星期一5.7同态与同构一、基本概念1、同态映射设<A,*>和<B,·>是两个代数系统，设f：A→B,对任意的a,b∈A，有：

f(a*b)=f(a)·f(b),则称f为<A,*>和<B,·>的同态映射，称<A,*>同态于<B,·>，记作：A~B。<f(A),·>是<A,*>同态像。其中f(A)={y=f(a),任意a∈A}B例1：f:<R,+>→<R,×>f(x)=2xf(x)是<R,+>→<R,×>的同态映射。注：两个代数系统之间不可能存在一个同态映射。2、特殊同态映射设f为<A,*>到<B,·>的同态映射，如果f是从A到B的一个满射，则称f为满同态；如果f是从A到B的一个入射，则称f为单一同态；如果f是从A到B的一个双射，则称f为同构映射。第39页，共43页，2023年，2月20日，星期一例2：上例是单一同态，但是不是满同态。f:<R,+>→<R,×>例3:f:<R＋,×>→<R,＋>f(x)=㏑x是同构映射3、自同态设<A,*>是一个代数系统，如果f是从<A,*>到<A,*>的同态，则称f自同态，如果f是从<A,*>到<A,*>的同构，则称f自同构。例4：f:<R,+>→<R,＋>f(x)=x是自同态也是自同构第40页，共43页，2023年，2月20日，星期一例5：设<A,*>是一个群，存在a∈A,如果f是从A到A的映射，并且任意x∈A都有f(x)=a*x*a-1,求证f是<A,*>到<A,*>的自同构。证明：设任意x,y∈A,f(x*y)=a*x*y*a-1