第五代数结构

第五代数结构第1页，共109页，2023年，2月20日，星期一

教学重点：代数系统概念、运算及性质、群与子群、循环群，陪集与拉格朗日定理的概念。

教学难点：陪集与拉格朗日定理、交换群和循环群、环与域等概念

教学学时：18学时第2页，共109页，2023年，2月20日，星期一第1节代数系统的基本概念一、代数运算的定义设A为非空集合1、一元运算：A→A的一个映射f:A→A,称为A上的一元代数运算，简称一元运算。例:R上每一个数映成它的倒数。f:R→Ra

或f:R→R

第3页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、二元运算称为A上的一个二元代数运算简称二元运算。类似地可以定义A上的n元运算。通常用○，☆，﹡，+，×等来表示二元运算，简称算符。例在Z+上定义运算﹡，+，任意x,y∈Z+x﹡y=x,y的最大公约数，x+y=x,y的最小公倍数。则6+4=24,12﹡15=3,12+15=60第4页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、代数系统：

定义2:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作<A,f1,f2,…fk>。注意：

1、这里f1,f2,…fk为运算符，如+，-，∩，∪。

2、代数系统要求运算的封闭性，若不封闭，则研究其没有意义。

3、集合相同,定义运算不同,也是不同的代数系统

4、每个代数系统,有各自成立的运算律,只有成立的运算律才能使用。

第5页，共109页，2023年，2月20日，星期一如（1）自然数集N上的加法和乘法，但减法和除法却不是；

(2)矩阵的加法和乘法；

(3)一个集合的幂集的交、并、差等运算；

(4)非零实数集上的乘法和除法运算等。

(5)但x,y∈N，可能x-yN称减法在N上不是封闭的；

(6)非零整数集上的除法却不是封闭的；（7）矩阵乗法是n阶方阵集合Mn(R)上的运算,Mn(R)的子集Nn(R)=非奇异矩阵全体，矩阵乗法对Nn（R）是封闭的。因两个非奇异矩阵的乗积仍是非奇异矩阵，但两个非奇异矩阵的加法未必是非奇异的。因而加法在Nn（R）上不是封闭的。封闭性第6页，共109页，2023年，2月20日，星期一<I,×><R,+><(S),><(S),>集合运算封闭性交换性结合性I整数集.乘法x.y

Ix.y=y.xx.(y.z)=(x.y).zR实数集＋加法x+yIx+y=y+xx+(y+z)=(x+y)+zＳ的幂集并运算ＡＢ(S)ＡＢ＝ＢＡＡ(BＣ)＝(ＡＵＢ)ＣＳ的幂集交运算ＡＢ(S)ＡＢ＝ＢＡＡ(ＢC)＝(ＡＢ)Ｃ几种特殊的代数系统及其运算的性质第7页，共109页，2023年，2月20日，星期一是否封闭+-*|x-y|MaxMin|x|I√√√√√√√N√×√√√√√{x|0≤x≤10}×××√√√√{x|-10≤x≤10}××××√√√{2x|xI}√√√√√√√第8页，共109页，2023年，2月20日，星期一一、代数运算的性质1封闭性：设﹡为集合A上的二元运算，如果任意x,y∈A,都有x﹡y∈A,则称二元运算﹡在A上是封闭的。例1设R为实数集合，如下定义R上的二元运算﹡：任意x,y∈R,x﹡y=x例2设A={x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭，对加法运算呢？§2运算及其性质第9页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、交换性：

设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有x*y=y*x，则称该二元运算*是可交换的。例3：设Q是有理数集合，★是Q上的一个二元运算，对Q上任意的元素a,b.有a★b=a+b-a·b问运算★是否可交换？解：因为a★b=a+b-a·b=b+a-b·a=b★a

所以运算★是可交换的第10页，共109页，2023年，2月20日，星期一

3、结合律设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈A都有（x*y）*z=x*(y*z),则称该二元运算*是可结合的。

例设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a,b∈A,有a★b=b,证明★是可结合运算。证明：因为对于任意的a,b,c∈A，

(a★b)★c=b★c=c,a★(b★c)=a★c=c,

所以(a★b)★c=a★(b★c)第11页，共109页，2023年，2月20日，星期一

4、可分配性设*，Δ是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈A都有

x*(yΔz)=(x*y)Δ(x*z)且(yΔz)*x=(y*x)Δ(z*x)

则称运算*对于运算Δ是可分配的。例设集合A={α，β}，在A上定义两个二运算*和Δ如表所示。运算Δ对于运算*可分配吗？运算*对于运算Δ呢？

*αβΔαβααβαααββαβαβ第12页，共109页，2023年，2月20日，星期一

5、吸收律设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有x*(xΔy)=xxΔ(x*y)=x

则称运算*和运算Δ满足吸收律。

例：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和★，对于任意x,y∈N,有

x*y=max(x,y)和x★y=min(x,y)

验证运算*和★满足吸收律。解：a*(a★b)=max(a,min(ab))=aa★(a＊b)=min(a,max(a,b))=a第13页，共109页，2023年，2月20日，星期一6、等幂性设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x∈A,都有x*x=x,则称运算*是等幂的。

例5：设2S是集合S的幂集，在2s上定义两个二元运算，集合的“并”运算∪和“交”运算∩，验证∪、∩是等幂的。解：对于任意的A∈2s，有A∪A＝A，A∩A＝A，因此，运算满足等幂性。第14页，共109页，2023年，2月20日，星期一1、幺元/单位元设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素el∈A,对于任意的元素x∈A都有el*x=x,则称el为A中关于运算*的左幺元；如果有一个元素er∈A,对于任意的元素x∈A都有x*er=x,则称er为A中关于运算*的右幺元；如果A中的一个元素e,它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元。显然，对于任一x∈A,有e*x=x*e=x。二、几个特殊元素例：实数集上加法运算，0是单位元；乘法运算则1是单位元，Mn（R）上的矩阵加法运算，零矩阵是单位元；而乘法运算单位矩阵是单位元。对于幂集2A上的运算是单位元，而

运算则A是单位元。第15页，共109页，2023年，2月20日，星期一＊αβγδαδαβγβαβγδγαβγαδαβγδ＋αβγδααβδγββαγδγγδαβδδδβγ例6：设集合S={α,β,γ,δ}，在S上定义两个二元运算*和☆，如表5-2.2所示，试指出左幺元或右幺元。第16页，共109页，2023年，2月20日，星期一性质

定理1设*定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元和右幺,则el=er=e

，且A中的幺元是唯一的。证明：存在性：∵el是左单位元，则el*er=er∵er是右单位元，则el*er=el∴el=er且记为e，则e是单位元唯一性：如e也是A上关于*的单位元，则e=e*e=e∴单位元是唯一的第17页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、零元定义5-2.8设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素θl∈A，对于任意的元素x∈A都有θl*x=θl,则称θl为A中关于运算*的左零元，如果有一个元素θr∈A，对于任意的元素x∈A都有x*θr=θr,则称θr为A中关于运算*的右零元。如果A中的一个元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。显然，对于任一x∈A，有θ*x=x*θ=θ

例：实数集上加法运算，无零元，乘法运算则0是零元；Mn（R）上的矩阵乘法运算，零矩阵是零元；矩阵加法也无零元；对于幂集2A上的运算的零元是，而运算的零元是A。第18页，共109页，2023年，2月20日，星期一性质：①定理2设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元θl和右零元θr，那么，θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的。②定理3设<A,*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e。第19页，共109页，2023年，2月20日，星期一

3、逆元

定义设代数系统<A,*>，这里*是定义在A上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的幺元。如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b,使得b*a=e,那么称b为a的左逆元；如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元；如果一个元素b,它既是a的左逆元又是a右逆元，那么就称b是a的一个逆元。

例：Z上的加法运算，则逆元就是相反数，而对N上的加法运算，只有0存在逆元是0；设A是集合，S是A的映射全体，单位元是恒等映射，而只有双映射才是可逆的；例：Mn（R）上矩阵乘法，单位元是单位矩阵，而逆元就是逆矩阵，当A是非奇异矩阵时，才可逆。第20页，共109页，2023年，2月20日，星期一注意：①如果b是a的逆元，则a也是b的逆元，简称为a与b互为逆元，一个元素x的逆元记为x-1②一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元，而且一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至一个元素的左逆元可以不唯一。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedacd第21页，共109页，2023年，2月20日，星期一性质：定理4设代数系统<A,*>,这里是定义在A上的一个二元运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元。如果*是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。证明：设a,b,c∈A,且b是a的左逆元，c是b的左逆元。因为（b*a）*b=e*b=b

所以e=c*b=c*(e*b)=c*((b*a)*b)=(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b=(e*a)*b=a*b

因此，b也是a的右逆元。设元素a有两个逆元b和c,那么

b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c

因此，a的逆元是唯一的。第22页，共109页，2023年，2月20日，星期一运算性质判断的一种方法：<A,*>是一个代数系统，*是A上的一个二元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直接看出。那就是：1、运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。2、运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3、运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同。4、A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中元素都与该元素相同。5、A关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。6、设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列的元素以及其b所在行，a所在列的元素都是幺元。第23页，共109页，2023年，2月20日，星期一作业：

P178:1、2P184:1、2+-*|x-y|MaxMin结合性√×√×√√交换性√×√√√√存在幺元√×√×××存在零元××√×××第24页，共109页，2023年，2月20日，星期一*abcaabcbbcaccab*abcaabcbbaccccc*abcaabcbabccabc*abcaabcbbbccccb第25页，共109页，2023年，2月20日，星期一§3半群一、基本概念1、广群定义1一个代数系统<S,*>,其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果运算*是封闭的，则称代数系统<S,*>为广群。2、半群定义2一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果（1）运算*是封闭的。（2）运算*是可结合的，即对任意的x,y,z∈S,满足（x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统<S,*>为半群。第26页，共109页，2023年，2月20日，星期一例1

Sk={x|x∈I且x≥k}，k≥0，则<Sk,+>是一个半群例2：S＝{a,b,c}*abcaabcbabccabc第27页，共109页，2023年，2月20日，星期一3、独异点定义3含有幺元的半群称为独异点。例：代数系统<R,+><I,+><I+,·><R,·>都是含有幺元的半群，也是独异点。但是代数系统<N-{0}，+>是一个半群，但不是独异点。4、子半群定理1设<S,*>是一个半群，B包含于S，且*在B上是封闭的，那么<B,*>也是一个半群。通常称<B,*>是半群<s,*>的子半群。

第28页，共109页，2023年，2月20日，星期一例：设·表示普通的乘法运算，那么<[0,1],·>、<[0,1),·>和<I,·>都是<R,·>的子半群。解首先，运算·在R上是封闭的，且是可结合的，所以<R,·>是一个半群。其次，运算·在[0，1]，[0，1)和I上都是封闭的，且[0，1]、[0，1)和I都是R的子集。因此，由定理5-3.1可知<[0,1],·>、<[0，1],·>和<I,·>都是<R,·>的子半群。二、性质1、定理5-3.2

设<S，*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S,使得a*a=a.(有限半群中存在等幂元)第29页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明 任意b∈S，因为＊是封闭的，所以有b*b∈S，b2=b*b∈S，同理，b3=b2*b=b*b2∈S…..bi=b*bi-1∈S 又S是有限的，所以必存在j>i，使得bj=bi,令p=j-i，则有bi＝bj=bp*bi，即对任意q≥i，有bq=bp*bq。 又因为p≥1,存在k≥1,使得kp>=i成立 对S中的元素bkp,有 bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)＝…=bkp*bkp

令a=bkp，则有a*a=a。第30页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、定理5-3.3设<S,*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。

证明设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的a,b∈S且a≠b时，总有e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e

所以，在*的运算表中不可能有两行或两列是相同的。

例题3设I是整数集合，m是任意正整数，Zm是由模m的同余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m分别如下：对于任意的[i],[j]∈Z[i]+m[j]=[(i+j)(modm)],[i]×m[j]=[(i×j)(modm)]试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不相同。

第31页，共109页，2023年，2月20日，星期一+501234001234112340223401334012440123*501234000000101234202413303142404321第32页，共109页，2023年，2月20日，星期一3、定理5-3.4设<S,*>是独异点，对于任意a,b∈S,且a,b均有逆元，

则a)(a-1)-1=a

b)a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1作业：P190:3、6证明a) a*a-1=a=a-1*a=e b)(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e第33页，共109页，2023年，2月20日，星期一第四节群与子群一、基本概念

1、群定义5-4.1设<G,*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果（1）运算*是封闭的。（2）运算*是可结合的。（3）存在幺元e。（4）对于每一个元素x∈G,存在着它的逆元x-1∈G

。则称<G,*>是一个群。第34页，共109页，2023年，2月20日，星期一*060120180240300006012018024030060601201802403000120120180240300060180180240300060120240240300060120180300300060120180240例R={0°,60°,120°,180°,240°,300°}任意a,b∈R,a*b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转度数。第35页，共109页，2023年，2月20日，星期一例：设＊为实数集R上的二元运算，任意x,y∈R有

x＊y=x+y-2xy,

说明运算是否为可交换的、可结合的？确定运算的幺元、零元和所有幂等元及可逆元素的逆元。第36页，共109页，2023年，2月20日，星期一解（1）封闭性任意x,y∈R有x＊y=x+y-2xy∈R。（2）结合律任意x,y，z∈R有(x＊

y)＊

z=(x+y-2xy)＊

z=(x+y-2xy)+z-2(x+y-2xy)z=x+y+z-2xy-2xz-2yz+4xyz而x＊

(y＊

z)=x＊

(y+z-2yz)=x+(y+z-2yz)-2x(y+z-2yz)=x+y+z-2xy-2xz-2yz+4xyz(3)幺元任意x∈R有x＊0=0＊x=x,故0为<R,＊>的幺元第37页，共109页，2023年，2月20日，星期一（4）任意x∈R,设y为x关于运算＊的逆元，则有x+y-2xy=0,解得第38页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、无限群定义5-4.2设<G,*>是一个群。如果G是有限集，那么称<G,*>为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G是无限集，则称<G,*>为无限群。注意：广群、半群、独异点、群之间的关系二、群的性质1、定理5－4.1

群中不可能有零元。证明（反证法）当群的阶为1时，它的唯一元素视作幺元。设|G|>1且群<G,*>有零元θ。那么群中任何元素x∈G,都有x*θ=θ*x=θ≠e,所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾。第39页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、定理5-4.2设<G,*>是一个群，对于a,b∈G,必存在唯一的x∈G,使得a*x=b。证明存在性：设a的逆元是a-1，令x=a-1*b则a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b唯一性：若另有一解x1,满足a*x1=b则a-1*(a*x1)=a-1*b即x1=a-1*b＝x第40页，共109页，2023年，2月20日，星期一3、定理5-4.3(消去律)

设<G,*>是一个群，对于任意的a,b,c∈G,如果有a*b=a*c或者b*a=c*a,则必有b=c。证明设a*b=a*c，且a的逆元是a-1，则有

a-1*(a*b)=a-1*(a*c)(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*c4、定理5-4.5代数系统<G,*>中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。证明因为e*e=e,所以e是等幂元。现设a∈A,a≠e且a*a=a则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e

与假设a≠e相矛盾。第41页，共109页，2023年，2月20日，星期一

置换定义5-4.3群S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。

例：

第42页，共109页，2023年，2月20日，星期一*eabceeabcaaecbbbceaccbae例：(Klein四元群)第43页，共109页，2023年，2月20日，星期一性质5定理5-4.4群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。证明:入射首先证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都是c,即有

a*b1=a*b2=c且b1≠b2

由消去律可得b1=b2,这与b1≠b2矛盾。第44页，共109页，2023年，2月20日，星期一满射要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于b=a*(a-1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。第45页，共109页，2023年，2月20日，星期一三、子群1、定义①定义5-4.5设<G,*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S,*>也构成群，则称<S,*>是<G,*>的一个子群。②定义5-4.6设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的子群，如果S={e}，或者S=G，则称<S,*>为<G,*>的平凡子群第46页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、性质定理5-4.6设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的一个子群，那么，<G,*>中的幺元e必定也是<S,*>中的幺元。证明设<S,*>中的幺元为e1,对于任一x∈S,S是G的子集,则必有e1*x=x=e*x,故e1=e。第47页，共109页，2023年，2月20日，星期一例题3<I,+>是一个群，设IE={x|x=2n,n∈I},证明<IE,+>是<I,+>的一个子群。证明（1）对于任意的x,y∈IE,不妨设x=2n1,y=2n2,n1n2∈I,则

x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)，而n1+n2∈I所以x+y∈IE，即+在IE上封闭。（2）运算+在IE上保持可结合性。（3）<I,+>中的幺元0也在IE中,存在幺元0

。（4）对于任意的x∈I,必有n使得x=2n,而

-x=-2n=2(-n),-n∈I

所以-x∈IE,而x+(-x)=0,因此，<IE,+>是<I,+>的一个子群。第48页，共109页，2023年，2月20日，星期一3子群的判定方法（1）设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*>的子群。证明

1、存在幺元bi=bj=bi*bj-i，bj-i是单位元，也在B中，

2、每个元素都有逆元。如果j-i>1,则bj-i=b*bj-i-1,则b的逆元是bj-i-1,也在B中，如果j-i=1，bi=bi*b，则b即为单位元，其逆为自身。所以结论成立。第49页，共109页，2023年，2月20日，星期一例4：设G={p=<p1,p2,p3,p4>|pi∈{0,1}}，⊙是G上的二元运算，定义为，对任意的X=<x1,x2,x3,x4>,Y=<y1,y2,y3,y4>∈GX⊙Y=<x1∨y1,x2∨y2,x3∨y3,x4∨y4>，其运算∨如表所示。证明<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},⊙>是群＜G,⊙＞的子群∨01001110第50页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明首先证明<G，⊙>是一个群(封闭、结合、单位元、逆元)。任意X=<x1,x2,x3,x4>,Y=<y1,y2,y3,y4>，Z=<z1,z2,z3,z4>∈Gxi∨yi∈{0,1}，则X⊙Y∈G(xi∨yi)∨zi=xi(∨yi∨zi)，则有(X⊙Y)⊙Z=X⊙(Y⊙Z)又<0,0,0,0>是单位元，且X⊙X=<0,0,0,0>，即任一元素的逆元是其本身。其次{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>}是G的子集，且⊙在{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>}上是封闭的，所以结论成立。第51页，共109页，2023年，2月20日，星期一（2）设<G,Δ>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有aΔb-1∈S,则<S,Δ>是<G,Δ>的子群。第52页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明：1、G中的单位元e也是S中的单位元。对任意的a∈SG，所以有e=aΔa-1

∈S，且aΔe=eΔa=a，即e也是S中的单位元。2、S中每一元素都有逆元。

任意的a∈S，因为e∈S，所以eΔa－1

∈S，即a－1

∈S。3、Δ在S上是封闭的。 任意的a,b∈S，有b-1

∈S，又b=(b-1)-1，所以aΔb=aΔ(b-1)－1

∈S4、Δ在S上是可结合的。 所以<S,Δ>是<G,Δ>的子群第53页，共109页，2023年，2月20日，星期一例：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，试证

<H∩K,*>是<G,*>的子群。证明：任意a,b∈H∩K,因为<H,*>和<K,*>都是子群，故b-1∈H且b-1∈K,即b-1∈H∩K由于*在H和K中的封闭性，故a*b-1∈H且a*b-1∈K,即a*b-1∈H∩K.故<H∩K,*>是<G,*>的子群第54页，共109页，2023年，2月20日，星期一1802-1829Abel(1802-1829)挪威著名数学家

1824年Abel解决了用根式解五次方程不可能性问题，他还对幂级数的收敛性，椭圆积分等作了许多研究工作，但知道Abel去世不久，人们才认识到他的价值。他除了五次方程之外，还研究了更广的一类代数方程，后人发现这是具有交换性的加罗华群的方程。为了纪念他，后人称交换群为Abel群。第55页，共109页，2023年，2月20日，星期一第五节阿贝尔群和循环群一、交换群/阿贝尔群1、定义如果群<G,*>中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。

例1：S={a,b,c,d}，双射函数f：f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,并构造复合函数fi，构造集合F={f0,f1,f2,f3},则<F,。>是一个阿贝尔群。第56页，共109页，2023年，2月20日，星期一。f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2例2：非奇矩阵关于矩阵乘法构成的群。f0=

f0(x)=xf1=f(x)f2=f。f(x)=f(f(x))f3=f。f2(x)=f(f2(x))f4=f。f3(x)=f(f3(x))第57页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明充分性：设对任意a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b所以a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1即得a*b=b*a因此，群<G,*>是阿贝尔群。必要性：设<G,*>是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G有a*b=b*a因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)2、性质定理5-5.1设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。第58页，共109页，2023年，2月20日，星期一二、循环群1、定义定义5-5.2设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。例如，60°就是群<{0°，60°，120°，180°，240°，300°}，★>的生成元，因此，该群是循环群。第59页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、性质①、定理5-5.2任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明设<G,*>是一个循环群，它的生成元是a,那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈I，使得x=ar

和y=as

而且

x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此，<G,*>是个阿贝尔群。第60页，共109页，2023年，2月20日，星期一②、定理5-5.3设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且G={a=a1,a2…an-1,an=e}，其中，e是<G,*>中的幺元，n是an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。证明：反证法

1、n是最小的。若存在m<n,使am=e因为<G，*>是循环群，则其元素可写为ak的形式，且有k=mq+r，即ak=amq+r=ar

2、每个元素都不同，即ai≠aj第61页，共109页，2023年，2月20日，星期一*abcdaabcdbbadcccdbaddcab例3：1、是群(封闭、结合、单位元、逆元)2、有生成元作业：P200

1、4注：循环群的生成元不唯一。第62页，共109页，2023年，2月20日，星期一第七节陪集与拉格朗日定理一、陪集

1、定义5-7.1设<G,*>是一个群，A,B∈2G且A≠Φ，B≠Φ，记AB={a*b|a∈A,b∈B}和

A-1={a-1|a∈A}，分别称为A，B的积和A的逆。

2、定义5-6.2设<H,*>是群<G,*>的一个子群，a∈G，则集合{a}H（H{a}）称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集），简称为H关于a的左陪集(右陪集)，记为aH(Ha).元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。其中，aH={a*h|h∈H}，Ha={h*a|h∈H}第63页，共109页，2023年，2月20日，星期一例求群<Z4,＋4>之子群<{0,2},+4>的所有左、右陪集，Z4＝{0，1，2，3}。解所在的右陪集有

H0={0,2}0={0,2}H1={0,2}1={1,3}H2={0,2}2={2,0}H3={0,2}3={3,1}

所以有H0＝H2，H1＝H3，H0∪H1＝Z40H=0{0,2}={0,2} 1H=1{0,2}={1,3}2H=2{0,2}={2,0} 3H=3{0,2}={3,1}第64页，共109页，2023年，2月20日，星期一+4[0]12300123112302230133012＋402002220第65页，共109页，2023年，2月20日，星期一二、拉格朗日定理(对有限群)1、定理5-6.1

拉格朗日定理Lagrange）设<H,*>是群<G,*>的一个子群，那么：

(a)R={<a,b>|a,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且<a,x>∈R}，则[a]R=aH(b)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。第66页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明自反性a-1*a=e∈H对称性<a,b>∈R有a-1*b∈H

所以有(a-1*b)-1=b-1*a∈H传递性<a,b>∈R，<b,c>∈R则

a-1*b∈H，b-1*c∈H

所以有(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*c∈H

即<a,c>∈R

b∈[a]R当且仅当<a,b>∈R,即a-1*b∈H又a-1*b∈H等价于b∈aH即[a]R=aH第67页，共109页，2023年，2月20日，星期一(b)

R是G的一个等价关系，则G必可划分为[a1]R,[a2]R[a3]R….[ak]R,即有

H中任意h1≠h2，a∈G则有a*h1≠a*h2，所以|aiH|=|H|=m，因此

2、推论1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。第68页，共109页，2023年，2月20日，星期一

3、推论2设<G,*>是n阶有限群，那么对于任意的a∈G,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群<G,*>中的幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群H={ai|i∈I,a∈G}，一定是G的一个子群。如果H的阶是m，那么由定理5-5.3可知am=e,即a的阶等于m。由拉格朗日定理必有n=mk,k∈I+,因此，a的阶m是n的因子，且有。

an=amk=(am)k=ek=e第69页，共109页，2023年，2月20日，星期一*eabceeabcaaecbbbceaccbae例1：(Klein四元群)第70页，共109页，2023年，2月20日，星期一又因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群。例2任何一个四阶群只能是四阶循环群或者Klein四元群。

证明：设四阶群为<{e,a,b,c},*>，其中e是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2。a*b不可能等于a,b或e,否则将导致b=e,a=c或a=b的矛盾，所以a*b=c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此，这个群是Klein四元群。第71页，共109页，2023年，2月20日，星期一作业P211：1、2、3、6第72页，共109页，2023年，2月20日，星期一第七节同态与同构一、同态与同构1、基本概念

①同态映射定义5-8.1设<A,★>和<B,*>是两个代数系统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运算，设f是从A到B的一个映射，使得对任意的a1,a2∈A,有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)，则称f为由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，称<A,★>同态于<B,*>,记作A~B。

把<f(A),*>称为<A,★>的一个同态象。其中f(A)={x|x=f(a),a∈A}是B的子集。第73页，共109页，2023年，2月20日，星期一f(a)=f(b)abf(a)*f(c)=f(b)*f(c)ca☆cb☆cf(c)第74页，共109页，2023年，2月20日，星期一说明：⑴由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多个不同的同态；⑵f的作用是使得<A,Δ>,<B,*>中相对应的运算后的运算结果仍保持对应关系，即<A,Δ>中的元素先进行Δ运算再取像与元素先取像再在<B,*>中进行的相应运算，其结果是一样的。⑶f是一个“保持运算”的映射，即f将运算Δ传送到运算*，若A中的元素a,b进行Δ运算后结果为x,则x在B中的像f(x)恰好就是a,b在B中的像f(a),f(b)经*运算后的结果。第75页，共109页，2023年，2月20日，星期一例1代数系统<I,×>与<B,⊙>之间，⊙正负零正正负零负负正零零零零零第76页，共109页，2023年，2月20日，星期一

②、同构定义5-7.2设f是由<A,★>到<B,*>的一个同态，如果f是从A到B的一个满射，则f称为满同态；如果f是从A到B的一个入射，则f称为单一同态；如果f是从A到B的一个双射，则f称为同构映射，并称<A,★>和<B,*>是同构的，记作A≌B。

③、自同构定义5-7.3设<A,★>是一个代数系统，如果f是由<A,★>到<A,★>的同态，则称f为自同态。如果g是由<A,★>到<A,★>的同构，则称g为自同构。第77页，共109页，2023年，2月20日，星期一例f:R→R,f(x)=5x

＜R，＋＞＜R，＊＞f:N→Nkf(x)=xmodk ＜N，＋＞＜N，＋k＞f:I→Hf(n)=dn(H={x|x=dn})＜I，＋＞＜H，+＞第78页，共109页，2023年，2月20日，星期一例1：A＝{a,b,c,d},B={1,2,3,4}+ABCDAABCDBBAACCBDDCDABCD*123411234221133244341234F(A)=1,F(B)=2,F(C)=3,F(D)=4G(A)=4,G(B)=3G(C)=2,G(D)=1<A,+>－－<B,*>第79页，共109页，2023年，2月20日，星期一★abaabbba⊕偶奇偶偶奇奇奇偶※0180001801801800第80页，共109页，2023年，2月20日，星期一④、同态核

定义5-7.4

设f是由群<G,★>到群<G’,*>的同态映射，e’是G’中的幺元，记Ker(f)={x|x∈G且f(x)=e’},称Ker(f)为同态映射f的核，简称f的同态核。2、性质①、定理5-7.1

设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。第81页，共109页，2023年，2月20日，星期一

证明自反性：因为任何一个代数系统<A,★>可以通过恒等映射与它自身同构，即自反性成立。

对称性：设<A,★>≌<B,*>且有对应的同构映射f,则f的逆也是由<B,*>到<A,★>的同构映射，即<B,*>≌<A,★>，所以对称性成立。

传递性：如果f是由<A,★>到<B,*>的同构映射，g是由<B,*>到<C,Δ>的同构映射。那么g☉f（函数的复合）就是<A,★>到<C,Δ>的同构映射。因此，同构关系是等价关系。第82页，共109页，2023年，2月20日，星期一

②、定理5-7.2

设f是从代数系统<A,★>到代数系统<B,*>的同态映射。（a）如果<A,★>是半群，那么在f作用下，同态象<f(A),*>也是半群。（b）如果<A,★>是独异点，那么在f作用下，同态象<f(A),*>也是独异点。（c）如果<A,★>是群，那么在f作用下，同态象<f(A),*>也是群。第83页，共109页，2023年，2月20日，星期一（a）封闭性：设<A,★>是半群，且<B,*>是一个代数系统，如果f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，则对于任意的a,b∈f(A)，必有x,y∈A使得f(x)=a,f(y)=b

因为<A,★>是半群，必有x★y=z，所以a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A)

结合性：*在f(A)上是可结合的。对于任意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得

f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c

因为★在A上是可结合的，所以

a*(b*c)=f(x)*(f(y)*f(z))=f(x)*f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)=f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)=(a*b)*c

因此，<f(A),*>是半群。第84页，共109页，2023年，2月20日，星期一（b）设<A,★>是独异点，e是A中的幺元，那么f(e)是f(A)中的幺元(f(e)∈f(A))。这是因为对于任意的a∈f(A)必有x∈A使f(x)=a，所以a*f(e)=f(x)*f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)*f(x)=f(e)*a

因此，<f(A),*>是独异点。第85页，共109页，2023年，2月20日，星期一（c）设<A,★>是群。对于任意的a∈f(A)必有x∈A使f(x)=a因为<A,★>是群，故x有逆元x-1,且f(x-1)也属于f(A)，而

f(x)*f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)*f(x)所以，f(x-1)是f(x)的逆元。即。因此，<f(A),*>是群。第86页，共109页，2023年，2月20日，星期一

③、定理5-7.3

设f是由群<G,★>到群<G‘,*>的同态映射，则f的同态核K是G的子群。证明由定理5-7.2可知，设群的幺元为e,则

e’=f(e)。设k1,k2∈K,则f(k1★k2)=f(k1)*f(k2)=e‘*e’=e‘故k1★k2∈K。对任意的k∈K,由定理5-7.2可知故k-1∈K.因此，<K,★>是<G,★>的子群。

第87页，共109页，2023年，2月20日，星期一二、同余

1、定义定义5-7.5

设<A,★>是一个代数系统，并设R是A上的一个等价关系。如果当<a1,a2>,<b1,b2>∈R时，蕴涵着<a1★b1,a2★b2>∈R,则称R为A上关于★的同余关系。由这个同余关系将A划分成的等价类就称为同余类。注：在A上的等价关系不一定是A上的同余关系，因为同余关系必须与定义在A上的二元关系密切相关第88页，共109页，2023年，2月20日，星期一+ABCDAAADCBBACDCCDABDDDBAＲABCDA√√B√√C√√D√√+ABCDAAADCBBAdaCCbABDcDBA第89页，共109页，2023年，2月20日，星期一2、性质①、定理5-7.4设<A,★>是一个代数系统，R是A上的一个同余关系，B={A1，A2，…,Ar}是由R诱导的A的一个划分，那么，必定存在新的代数系统<B,*>,它是<A,★>的同态象。②、定理5-7.5设f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，如果在A上定义二元关系R为：<a,b>∈R当且仅当f(a)=f(b)，那么，R是A上的一个同余关系。第90页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明定义二元运算：任意Ai,Aj∈B，取a1∈Ai,a2∈Aj，如果a1★a2∈Ak，则Ai＊Aj=Ak∈B，因为R是A上的同余关系，则Ai＊Aj=Ak

是唯一的。 作映射：f(a)=Aia∈Ai f是满射任意x,y∈A,设x∈Ai,y∈Aj

且x★y∈Ak f(x★y)=Ak=Ai＊Aj=f(x)＊f(y)第91页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明：自反性：因为f(a)=f(a),所以<a,a>∈R。

对称性：若<a,b>∈R,则f(a)=f(b)即f(b)=f(a),所以<b,a>∈R.

传递性：若<a,b>∈R,<b,c>∈R则f(a)=f(b)=f(c),所以<a,c>∈R。因为，若<a,b>∈R,<c,d>∈R,则有

f(a★c)=f(a)*f(c)=f(b)*f(d)=f(b★d)所以，<a★c,b★d>∈R。因此，R是A上的同余关系。作业：P221

2、4、12第92页，共109页，2023年，2月20日，星期一第9节环与域一、环

1、定义定义1设A是非空集合，在A上定义﹡和o两个二元运算，且满足：(1)<A,﹡>)是交换群，(阿贝尔群)(2)<A,o>是个半群(3)运算o对﹡是可分配的即a,b,cA,有ao(b﹡c)=aob﹡aoc,(b﹡c)oa=boa﹡coa。则称代数系统<A,﹡,o>为环第93页，共109页，2023年，2月20日，星期一例1:整数集合Z，对于数的加法和乘法是个环，称为整数环。<Z,+,x>例2:实域上的n阶矩阵的全体组成的集合Mn(R),在矩阵的加法和乘法下构成一个环，称为n阶方正环。<Mn(R),+,·>例3:用Z[x]表示x的所有整系数多项式构成的集合，对于多项式的加法和乘法，构成一个环，称为整系数多项式环，记作<Z[x],+,·>例4:仅有数字0构成的集合{0}，对数的加法和乘法，构成一个环<{0},+,·>，称为零环。另见书例1P223第94页，共109页，2023年，2月20日，星期一证明封闭性显然成立结合性由运算表可知e是零元，a,c是右幺元，且有x*b=e。所以对任意的x,y,z∈K，都有(x*y)*z=x*(y*z)。★eabceeabcaaecbbbceaccbae当z=e或z=b时，有(x*y)*z=e=x*(y*z)当z=a或z=c时，有(x*y)*z=x*y=x*(y*z)所以结合性成立●eabceeeeeaeaeabebebcecec第95页，共109页，2023年，2月20日，星期一下面来证明●对★是可分配的一方面有(y+z)*x=(y*x)+(z*x)，因为当x=e或x=b时，有(y+z)*x=e=e+e=(y*x)+(z*x)当x=a或x=c时，有(y+z)*x=(y*x)+(z*x)另一方面有x*(y+z)=(x*y)+(x*z)，因为如果y=z则y+z=e,此时有x*(y+z)=x*e=e(x*y)+(x*z)=(x*y)+(x*y)=e第96页，共109页，2023年，2月20日，星期一如果y与z中有一个等于e，则左可分配成立。如果y,z均不等于e，且y≠z则有3种情况：（1）x*(a+b)=x,(x*a)+(x*b)=x＋e=x（2）x*(a+c)=x*b=e,(x*a)+(x*c)=x＋x=e（3）x*(b+c)=x*a=x,(x*b)+(x*c)=e+x=x第97页，共109页，2023年，2月20日，星期一◆对代数系统<A,﹡,o>,通常我们把运算“﹡”称为加法，把运算“o”称为乘法，因此环常被表示为<A,+,·>。◆为了今后叙述方便，将环中加法的幺元记，乘法的幺元记为1.（某些环中乘法不存在幺元）。◆对环中任意元素a,称a的加法逆元为负元，记为-a；若a的乘法逆元存在，则称它为逆元，记作a-1。◆类似地，针对环中的加法，用x-y表示x+(-y)，nx表示：第98页，共109页，2023年，2月20日，星期一

2、环的基本性质

(1)加法有结合律

(2)加法中有交换律a,bG,a+b=b+a

(3)

A中存在零元0，满足a+0=0+a