第二讲向量与矩阵运算

第二讲向量与矩阵运算第1页，共39页，2023年，2月20日，星期一向量与矩阵的生成向量与矩阵运算

向量的生成

直接输入:规则：向量元素必须用[]括住行向量元素必须用逗号或空格分隔列向量元素必须用分号分隔矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j输入例：x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]a=[1,2,3,4]a=[1;2;3;4]第2页，共39页，2023年，2月20日，星期一

向量的生成

直接输入:

冒号运算符：形式x=x0:step:xna=[1:4]

==>a=[1,2,3,4]b=[0:pi/3:pi]

==>

b=[0,1.0472,2.0944,3.1416]c=[6:-2:0]

==>c=[6,4,2,0]例：注意:此时[]可不用。冒号的作用：用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。第3页，共39页，2023年，2月20日，星期一

向量的生成

直接输入:

冒号运算符

从矩阵中抽取行或列A=[123;456;789];B=A(1,:)B=123冒号的作用：用于用于选出矩阵指定行、列及元素。第4页，共39页，2023年，2月20日，星期一

向量的生成

直接输入:

冒号运算符

从矩阵中抽取行或列

用matlab函数A=linspace(1,5)%产生1~5的100个线性等间隔的数注意：与冒号运算符方法的区别A=logspace(1,5)%产生10^1~10^5的50个对数等间隔的数注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。

matlab函数名必须小写。第5页，共39页，2023年，2月20日，星期一

矩阵的生成

直接输入:A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

由向量生成

由函数生成

通过编写m文件生成例：>>x=[1,2,3];y=[2,3,4];>>A=[x,y],B=[x;y]例：>>loadA.mat

通过外部数据文件加载例：>>C=magic(3)第6页，共39页，2023年，2月20日，星期一常见矩阵生成函数zeros(m,n)生成一个m

行n

列的零矩阵，m=n

时可简写为zeros(n)ones(m,n)生成一个m行n列的元素全为1的矩阵,

m=n

时可写为ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为1的m

行n

列矩阵,

m=n

时可简写为eye(n)，即为n

维单位矩阵diag(X)若X是矩阵，则diag(X)为X的主对角线向量若X是向量，diag(X)产生以X为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)产生0～1间均匀分布的随机矩阵m=n

时简写为rand(n)randn(m,n)产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵

m=n

时简写为randn(n)第7页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵的修改直接修改

可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=来修改。第8页，共39页，2023年，2月20日，星期一例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=120305780第9页，共39页，2023年，2月20日，星期一把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。

save——将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。数据的保存与获取默认文件名第10页，共39页，2023年，2月20日，星期一savedata——将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。savedataab——将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。

下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。第11页，共39页，2023年，2月20日，星期一load——loaddata——loaddataab——mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。即可恢复保存过的所有变量第12页，共39页，2023年，2月20日，星期一向量的运算向量的点积：格式：c=dot(A,B)%返回向量A、B的标量积。A、B必须长度相等，与sum(a.*b)等效）c=dot(A,B,dim)向量的加减（数加减）：向量的数乘向量的叉积：格式：c=cross(A,B)%返回向量A、B的叉积向量。A、B必须3个元素的向量c=cross(A,B,dim)第13页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵操作提取矩阵的部分元素：冒号运算符

A(:)

A的所有元素

A(:,:)

二维矩阵A的所有元素

A(:,k)

A的第k列，A(k,:)

A的第k行

A(k:m)

A的第k到第m个元素

A(:,k:m)

A的第k到第m列组成的子矩阵A(:)与A(:,:)的区别?如何获得由A的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？自己动手b=[a(1,1:2);a(3,1:2)]第14页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵操作矩阵的旋转

fliplr(A)

左右旋转

flipud(A)

上下旋转

rot90(A)

逆时针旋转90度；

rot90(A,k)

逆时针旋转k×90度例：>>

A=[123;456]>>

B=fliplr(A)>>

C=flipud(A)>>

D=rot90(A),E=rot90(A,-1)第15页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵操作矩阵的转置与共轭转置

’

共轭转置

.’

转置，矩阵元素不取共轭例：>>

A=[12;2i3i]>>

B=A’>>

C=A.’点与单引号之间不能有空格！第16页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵操作改变矩阵的形状：reshapereshape(A,m,n):

将矩阵元素按

列方向

重组成m*n的矩阵重组后得到的新矩阵的元素个数必须与原矩阵元素个数相等！

第17页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵操作查看矩阵的大小：size

size(A)

列出矩阵A的行数和列数

size(A,1)

返回矩阵A的行数

size(A,2)

返回矩阵A的列数例：>>

A=[123;456]>>

size(A)>>

size(A,1)>>

size(A,2)

length(x)

返回向量X的长度

length(A)

等价于

max(size(A))第18页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵基本运算

矩阵的加减：对应分量进行运算要求：1.参与加减运算的矩阵具有相同的维数2.允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。例：>>

A=[123;456];B=[321;654]>>

C=A+B;D=A-B;矩阵的普通乘法要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则，标量可与任何矩阵相乘例：>>

A=[123;456];B=[21;34];>>

C=A*BD=A*pi第19页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵基本运算

矩阵的除法：/、\右除和左除

若A可逆方阵，则A\B

<==>A的逆左乘B<==>inv(A)*BB/A

<==>A的逆右乘B<==>B*inv(A)X=A\B

<==>A*X=BX=B/A

<==>X*A=B

通常，矩阵除法可以理解为

当A和B行数相等时即可进行左除当A和B列数相等时即可进行右除第20页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵的乘方

A是方阵，p是正整数A^p

表示A

的p

次幂，即p

个A

相乘。

若A是方阵，p不是正整数

A^p的计算涉及到A的特征值分解，即若

A=V*D*V-1

则

A^p=V*(D.^p)/V第21页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵的乘方

若a是标量，A是方阵，且[V,D]=eig(A)，则

a^A＝V*(a^D)/V

若A,P均是矩阵，则A^P无定义

若a是标量，

则第22页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵的Kronecker乘积

矩阵Kronecker乘积的定义设A是n×m矩阵，B是p×q矩阵，则A与B的kronecker乘积为：Kronecker乘积的性质是np×mq矩阵；通常任何两个矩阵都有Kronecker乘积

Matlab中实现两个矩阵Kronecker相乘的函数为kron(A,B)Kronecker乘积有时也称张量积第23页，共39页，2023年，2月20日，星期一inv——矩阵求逆det——行列式的值eig——矩阵的特征值diag——对角矩阵’——矩阵转置sqrt——矩阵开方矩阵的其它运算

第24页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵的数组运算数组运算：对应元素进行运算点与算术运算符之间不能有空格！

数组运算包括：点加、点减（与矩阵加减运算等校）、点乘、点除、点幂

相应的数组运算符为：“.*”，

“./”，

“.\”和“

.^”参与运算的对象必须具有相同的形状！例：>>

A=[123;456];B=[321;654];>>

C=A.*B;D=A./B;E=A.\B;F=A.^B;第25页，共39页，2023年，2月20日，星期一a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290a*bans=253746558510985133172第26页，共39页，2023年，2月20日，星期一a./b=b.\a—都是a的元素被b的对应元素除a.\b=b./a—都是a的元素被b的对应元素除例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000第27页，共39页，2023年，2月20日，星期一a=[123];b=[456];z=a.^bz=1.0032.00729.00第28页，共39页，2023年，2月20日，星期一函数取值设x是变量，f

是一个函数

当x=a是标量时，f(x)=f(a)也是一个标量

当x=[a,b,…,c]是向量时，f(x)=[f(a),f(b),…,f(c)]函数作用在矩阵上的取值

若A是矩阵，则f(A)是一个与A同形状的矩阵

f作用在x的每个分量上第29页，共39页，2023年，2月20日，星期一函数取值例：>>

x=[0:pi/4:pi];A=[123;456];>>

y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);例：第30页，共39页，2023年，2月20日，星期一矩阵的超越函数

Matlab提供了三种矩阵函数：expm、sqrtm、logm详情参见联机帮助（helpexpm/sqrtm/logm）

更一般的矩阵函数：

funm

funm(A,@fun)参数fun的可以是

exp,，log，cos，sin，cosh，sinh

第31页，共39页，2023年，2月20日，星期一数与数组的点幂x.^y

=[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]

x.^2

=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9]

2.^x

=?

例：x=[123];y=[456];2.^[x;y]=?Matlab中的所有标点符号必须在英文状态下输入第32页，共39页，2023年，2月20日，星期一Matlab中常见数学函数sin、cos、tan、cot、sec、csc、…asin、acos、atan、acot、asec、acsc、…exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、fftnorm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd……log

是自然对数，即以

e

为底数mod(x,y)

结果与y

同号，rem(x,y)

则与

x

同号max

等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上第33页，共39页，2023年，2月20日，星期一符号的作用逗号和分号的作用

逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。

分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。第34页，共39页，2023年，2月20日，星期一注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行第35页，共39页，2023年，2月20日，星期一冒号的作用

用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句第36页，共39页，2023年，2月20日，星期一小结

本节介绍了matlab语言的向量与矩阵运算功能，通过学习应该掌握：如何创建矩阵、修改矩阵矩阵及数组运算符号的用法第37页，共39页，2023年，2月20日，星期一上机作业试分别生成5阶