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1第十节闭区间上连续函数的性质介值定理(intermediatevaluetheorem)小结思考题作业最大值(maximum)和最小值(minimum)定理

在闭区间上的连续函数有一些重要的性质,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据.这些性质的几何意义很明显.第一章函数与极限2定义例设f(x)在区间I上有定义,使得当恒有若存在点为函数f(x)在区间I上的最小值,记为则称(大)一、最大值和最小值定理闭区间上连续函数的性质3在闭区间上连续的注

(1)定理1中的条件“闭区间”和“连续性”定理1(最大值和最小值定理)函数一定有最大值和最小值.是不可少的.闭区间上连续函数的性质4在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内又如:在闭区间[0,2]上有函数f(x)在[0,2]上既没有最大值,如:函数没有最大值或最小值.也没有最小值.间断点函数闭区间上连续函数的性质5(2)“闭区间”和“连续性”在开区间取得最小值函数处取得最大值1.而不是必要条件.如函数内连续,但它在处取得最大值1;又如在闭区间上有间断点取得最小值但它在仅是定理的充分条件,闭区间上连续函数的性质6证由定理1(最值定理),定理2(有界性定理)有取则有闭区间上连续函数的性质7的零点.定理3(方程实根的存在定理)使得

零点定理几何意义:如图所示.二、介值定理闭区间上连续函数的性质8定理4(介值定理)使得证零点定理闭区间上连续函数的性质

辅助函数9几何意义:至少有一个交点.闭区间上连续函数的性质10几何意义:之间的任何值(不会有任何遗漏).推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值闭区间上连续函数的性质11注闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或不等式;判断某些方程根的存在性或实根的范围.闭区间上连续函数的性质12例证由零点定理,闭区间上连续函数的性质13闭区间上连续函数的性质例证明:任何实系数奇数次代数方程必有实根.证设实系数奇数次代数方程为设且不妨设由于故故由零点定理,即方程有实根.因为在闭区间上连续,使得14例证由零点定理,使

辅助函数闭区间上连续函数的性质15

证

例证明:令闭区间上连续函数的性质

介值定理使即得16练习证则零点定理且闭区间上连续函数的性质17注意条件

1.闭区间;2.连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．三、小结闭区间上连续函数的性质最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.四个定理18思考题(是非题)闭区间上连续函数的性质非例如:则至少存在一点19作业习题1-10(73页)

1.2.3.

4.5.闭区间上连续函数的性质

一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山峰,在下午7:00到达山顶,第二天早上7:0

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