高三数学导数单元考试题及答案

高三数学（导数）单元考试题及答案一、选择题：TOC\o"1-5"\h\z1、•与曲线y=x3-5x相切且过原点的直线的斜率为（B）A.2B.-5C.-1D.-2132•曲线y二2x2—2x在点（1,—-）处切线的倾斜角为（）A.—1B.45。C.—45。D.135。解答:D,y'二x—2，y'l=—1，即切线倾斜角135。x=13.f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+...+(1+x)n，则f'(0)等于()A.n解答:DA.n解答:DB.n一1C.n!1D.2n(n+1)++axnnf(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+...+(1+x)n=a+++axnn1又a1又ai=1+2+3+-+n=2n(n+1)()D.f(x)=x4+2f'(x)=a+2ax+3ax2+_+naxn—1,f'(0)=a123n14.若对任意的x£R,fCx)=4x3,f(1)=-1,则f(x)是f(x)=x4B.f(x)=x4-2C.f(x)=4x3-5解答:B【思路分析】：°.°fCX)=4x3，.:f(x)=x4+c,又f(1)=-1,.°.1+c=-1,.°.C=-2【命题分析】：考察导数的概念，导数的逆用5、（理）曲线y=x（x—1）（x—2）...（x—50）在原点外的切线，方程为（）A、y=1275xb、y=502xc、y=100xd、y=50!x解答分析：本题考查导数的运算，y=x51+…+(—1)•(―2)...(—50)xy'=51x50+…5。・•・y1|=50!a在原点外的切线方程为y=50!x，故选D项)x=x04、(文)曲线y=x3—x2，在M(x,y)(x>0)外切线斜率为8,则此切线方程是()00A、8x—y—20=0B、8x—y+12=0C、8x—y+24=0D、8x—y—12=0分析：本题考查导数的基本概念，y1=3x2—2x・•・曲线y=x3—x2在M(x,y)(x>0)处切线斜率为8A00048=3x2—2xA3x2—2x—8=0Ax=-一(舍)或x=2vm在曲线上Ay=400000300A切线方程为y—4=8(x—2)即8x—y—12=0故选(D)6.若函数f(x)=log(x3—ax)(a>0,a丰1)在区间(一2,0)内单调递增，则a的取值范围是(B)a21399(A)r,1)(B)r,1)(C)(,,+q(D)(1,)4444

ABCD解答：由开口向上得：a>0,ABCD解答：由开口向上得：a>0,由顶点在第二象限得：b>0选C评析：本题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用。8•已知函数y二f(x)，其导函数y二f'(x)的图象如右图，则y二f(x):在(-g，0)上为减函数在x=0处取得最大值在(4,+g)上为减函数在x=2处取得最小值解答：C［思路分析］：由导函数的性质知，f'(x)>0,f(x)递增,f(x)<0,f(x)减。从图像上知，当x>4时，f(x)<0,.・・f(x)在(4,+g)上递减。［命题分析］：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力9.设f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上可导，且f'(x).〉g'(x)，则当a〈x〈b时有(C)A、f(x)〉g(x)B、f(x)〈g(x)C、f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D、f(x)+g(b)>g(x)+f(b)D11•若函数y二f(x)在R上是奇函数且可导，若f'(x)>1恒成立，且常数a>0，则下列不等式一定成立的是(A)(A)f(a)>a(B)f(a)<a(C)f(a)>a(D)f(a)<a12•(理)若函数f(x)二2x2-Inx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围(D)31133(A)k>(B)k<--(C)--<k<-(D)l<k<-(文)若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围(D)(A)k<-3(B)-3<k<-1(C)-2<k<2(D)-3<k<-1或1<k<3二.填空题：13.(文做)曲线在点y=—x3+x在(1,2)处的切线方程是y二4x—2；TOC\o"1-5"\h\z1+X1(理做)为使函数f(x)二口在点X=-1处连续’则定义f(-1)=—厂14.(文做)当k_(-?,3］时，f(x)=X3+kx2在［0,2］上是减函数.2k2k、【思路分析】：f'(x)=3x2+kx2=x(3x+2k)，由题意知(0,-3)是函数的单调减区间，因此-3常2,即k-3.【命题分析】：考察利用导数来判断函数的单调性f3x+22小一x>21(理做)设函数f(x)=<x2-4x-2’在x=2处连续，则a=—,x<24a若函数f(x)=3ax-2a+1在区间［-1,1］上无实数根，则函数g(x)=(a-1)(x3-3x+4)的递减区间(-8,-1)U(1,+8)。116•设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(—q)=0则11不等式f(x)g(x)<0的解集是(-O-2)U(0,2)1(文)函数f(x)=3ax3+ax2+x+(文)函数f(x)=.解答题TOC\o"1-5"\h\z17.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d满足以下3个条件：(12‘)①在(一^，0］上为增函数②在［0,2］上为减函数③f(2)=0求c的值；求f(1)的范围。17.［思路分析］：①由条件①②知，x=0为y=f(x)的极值点2Z又f'(x)=3x2+2bx+c••・f'(0)=c=04Z②由于c=0则f(x)=x3+bx2+d从而f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0nd=-8-4b6’则f(1)=-3b-7由②知，f'(2)<0n12+4b<0nb<-310,.•・f(1)2(-3)X(-3)-7=2故f(1)2212’［命题分析］：本题考查导数、极值，不等式知识，以及思维能力。18(理)函数y=Inx-2的图象按向量a=(-1,2)平移得到函数y=f(x)的图象2x(1)若x>0，求证：f(x)>——；x+2(2)若不等式-x2<f(x2)+m2-2bm-3对be［—1,1］xe［—1,1］恒成立，求实数m的取值范围。(1)证明：函数y=Inx-2的图象按向量a=(-1,2)平移得到函数y=ln(x+1),所以f(x)=ln(x+1)令F(x)=f(x)-丄=ln(x+1)-则f'(x)=丄-2(x+2)一2x=x2当x>0时，x+2x+2x+1(x+2)2(x+1)(x+2)2

F'(x)>0所以F(x)在(0,+s)上是增函数。故F(x)>F(0)—0，即f(x)一二^>0x+2(2)(2)不等即—x2—f(x2)<m2—2bm—3,设^2—。令—。令g'(x)>0,得一1<x<0;令x—+1x—+1g⑷—2x2—f(x2)=2x2一ln(x2+D，则g'(x)-x一_1g'(x)<0得0<x<1，所以当x=0时，g(x)取极大值。g(0)二0又端点函数值g(±1)二-—ln2<0,•••当x=0时，g(x)取最大值0,原不等式对beL1,1］xeL1,1］恒成立即0<m2一2bm一3对be［—1,1］恒成立，令h(恒成立，令h(b)二m2—2bm—3则h(-i)>0h⑴>0解得m>3或m<—3,所以实数m的取值范围为Cg,-3]b,+8)。18.(文)设f(x)是定义在［-1,1］上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于x=1对称，且当xe［2,3］时,g(x)—6(x—2)—2(x—2)3.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间及最小值.(文)解：(1)当—1<x<0时,2—xe[2,3],且y二f(x)上任意的点P(x,y)关于直线x=1的对称点P'(2-x,y)都在y二g(x)图象上.f(x)—g(2—x)—6(2—x—2)—2(2—x—2)3—2x3—6x又f(x)是偶函数•••0<x<1时，f(x)—6x—2x3,〔2x3—6x—1<x<0f(x)-t［6x—2x30<x<1(2)单调递减区间为［—1,0］,单调递增区间为(0,1］；最小值为f(0)—0.19.(本题满分12分)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A,B,C三点，若点B的坐标为(2,0),且fC)在［—1,0］和［4,5］上有相同的单调性，在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性.求c的值；在函数fC)的图象上是否存在一点M(x°,y0),使得fC)在点M的切线斜率为3b?若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由；求|ac|的取值范围.【思路分析】(DTfC)在L1,0］和［0,2］上有相反单调性，x=0是f(x)的一个极值点，故f'C)-0,即3ax2+2bx+c—0有一个解为x=0,.°.c=03'⑵Jf(x)交x轴于点B(2,0)・•・8a+4b+d—0,即d——4(b+2a)令f'C)—0，贝93ax2+2bx—0,x—0,x—一丝123a•f(•f(x)在〔0,2］和〔4,5］上有相反的单调性5'7'・•・2<-一-<4,・•・-6<-<-33aa假设存在点M(x°,y0),使得fC)在点M的切线斜率为3b,则f'C0)=3b即3ax2+2bx-3b=0=4b2+36ab=4ab［-+9Ia丿00•/△==4b2+36ab=4ab［-+9Ia丿b又—6<<-3,•△VOa・••不存在点M(x°,y0),使得fC)在点M的切线斜率为3b.⑶依题意可令f(x)=a(x-a)(-2)(-B)=ab=—a(2d二—2aap+a+卩)L-(2+a+p)x2+(2a+2p+ap)x-2ap^x+B=_2—2aaB=-旦2a|ac|=h-卩|*Cx+-4aR=『---+如J--才(a丿aa丿-16•/-6<-<-3,・••当-=-6时,|AC=4空3；TOC\o"1-5"\h\zaamax当-=-3时，|ac|=3amin12'故3<|ac|<4侖12'20.(理)已知函数f(x)=—x2+lnx.2>(I)求函数f(x)在［1,e］上的最大、最小值;2(II)求证：在区间［1,+8)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=3x3的图象的下方;(III)求证：［f(x)］"—f'(x")22"—2(n^N*).解:(I)易知f(x)在［1,e］上是增函数.11..f(x)=f(e)=e2+1；f(x)=f(1)=.ax2mm2121(1—x)(1+x+2x2)设F(x)=x2+lnx—x3,则F(x)=x+—2x2=23x•・•x>1,・：F'(x)V0,故F(x)在(1,+8)上是减函数，1又F(1)=——<0,・•・在(1,+8)上，有f(x)V0,6TOC\o"1-5"\h\z122即一x2+lnxV—x3,故函数f(x)的图象在函数g(x)=—x3的图象的下方.233当n=1时，不等式显然成立；当n±2时，有：11［f'(x)］n—f'(xn)=(x+)n—(xn+)xxn111=C1xn—1•+C2xn—2•+…+Cn-1x•nxnx2nxn-1=C1xn—2+C2xn—4+…+Cn-1x•-nnnxn-21111=—[C1(xn-2+)+C2(xn-4+)+…+C"T(+xn-2)]2nxn_2nxn-4nxn_21三一(2C1+2C2+…+2Cn-1)=2n-2.2nnn20、(文)已知a为实数，f(x)二(x2-4)(x—a)(I)求导数f'(x)；(II)若f'(—1)二0，求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值;(III)若f(x)在(一R,—2］和［2,+r)上都是递增的，求a的取值范围.解：(I)由原式得f(x)二x3—ax2—4x+4a,:.f'(x)二3x2—2ax—4.11仃I)由f'(T)二0得a二-，此时有f(x)二(x2—4)(x—㊁),f(x)二3x2—x—4.44509由f'(-1)二0得x二3或x=-1,又f(3)二—厉，f(—1)二2,f(—2)二0,f(2)二0,950所以f(x)在[—2,2]上的最大值