等比数列及n项和含答案

高2011级数学定时训练之等比数列.（2008•海南、宁夏理，4）设等比数列｛an｝的公比q=2,前n项和为Sn,则一等于（ ）A.2答案CB.4A.2答案CB.4C.125-17D.一2.等比数列｛an｝中，a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为（ ）A.1 B.-』2答案CA.1 B.-』2答案C3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )A.b=3，ac=9C.b=3,ac=-9 '答案B4.在等比数列｛an｝中，已知a1a3ali=8,则a2a8等于( )A.16 B.6C.1或-1 D.-1或122B.b=-3,ac=9D.b=-3,ac=-9C.12D.4答案D例1已知｛an｝为等比数列，a3=2,a2+a4=20，求｛an｝的通项公式.解方法一设等比数列｛aj的公比为q,则qW0,a4=a3q=2q,203解得q1=3，q2=3.TOC\o"1-5"\h\z①当q=1时，a=18,3 1,1、 18..a=18x()n-1= =2X33-n.n3 3n1②当q=3时，a=2,19.,.an=2X3n-1=2X3n-3.n9.•.an=2X33-n或an=2X3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4=203a2a4为方程X2-2^a2a4解得f2a442一①当a=一时，q=3,an=a•qn-3=2X3n-3.23 n3②当a=6时，q=1,an=2X33-n2 3n.•.an=2X3n-3或an=2X33-n.例2(12分)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且对任意n^N*有an+Sn=n.(1)设bn=an-1,求证：数列｛bn｝是等比数列；(2)设ci=ai<cn=an-an-i(n»,求｛cn｝的通项公式.(1)证明由a+S=1及a=S得a=~.11 11 12又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1，，，2an+1=an+1.•••2(an+1T)=anT，即2bn+1=bn....数列｛bj是以b1=a1-1=-2为首项，i为公比的等比数列.(2)解方法一由(1)知2an+1i为公比的等比数列.(2)解方法一由(1)知2an+1=an+1..\2an=an1+1(n三2),-2an+1-2an=an-an-1，，2cn+1=cn(n三2).i 1 3又c=a=-,a+a+a=2,..a=一.1 1 2 2 1 2 2 4311..c2=-—&=4,即c=1c

22二.数列｛cn｝是首项为；,公比为；的等比数列.,(1)n-1=2(1)n.26分8分10分12分方法二由(1),(~)n-1=-(1)n.22.an=-(1)n+1.=-(1)n+1-n2(n三2).又c=a=1也适合上式，112Acn=10分12分例3在等比数列U{an}中，a+a+a+a+a=8且—+—+—+—+—=2,求a.1 2 3 4 5 a1a2a3a4a5 3解方法一设公比为q,显然qW1,也是等比数列，公比为1.qa41-q5)1-q由已知条件得，解得a2由已知条件得，解得a2q4=4,一(1--)aq51-1

qAa2=(a1q2)2=4,Aa3=±2.方法二由已知得:11111〃111111〃1a2a3 a4 a5a±aa±a1 5+2 4〃1a5 a2a4Aa2=4.Aa=±2.3 3例4某林场有荒山3250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩(全部成活)(1)问需要几年，可将此山全部绿化完？(2)已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%,设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？(精确到0.1)解(1)每年植树的亩数构成一个以a1=100,d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=an+n(n-1)d=100n+n(n-)X50=3250.n1 2 2解此方程，得n=10(年).(2)第一年种植的树在第10年后的木材量为2a(1+0.1)10,第二年种植的树在第10年后的木材量为12a(1+0.1)9,2 ,第10年种植的树在年底的木材量为2a1cl(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列｛bn｝，则其和为T=b+b+…+b1 2 10=200X1.110+300X1.19+…+1100X1.1

心1.0（万立方米）.答需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.——――知能迁移一^311.已知等比数列｛an｝中，a3=2，S3=4-，求a1.3.一一1解当q4时，a1=a2=a3=2，满足S3=4，23aiq2=2当qW1时，依题意有TOC\o"1-5"\h\za"1-q3) 当qW1时，依题意有1 =4\o"CurrentDocument"1-q 2 1 ,一一3..解得q2=4,aj6.综上可得：aj&或aj6..设数列伯/是等差数列，a「6.(1)当a=3(1)当a=3时(2)a3=2请在数列｛an｝中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；时，若自然数），3,…，品…3（（t£N*）满足5Vn1<n2<-<nt<…使得a3,a5a3,a5,，an2…，an，…是等比数列，求数列｛nJ的通项公式.t解（1）设｛an｝的公差为d,则由a5=a3+2d,, 6-33得d=V=2，由ama3=rr 3即rr 3即33+(m-3)X-=62,解得m=9.即即a.a。成等比数列.(2)Va3=2,a5=6,A(2)Va3=2,a5=6,Ad=a5=2，.•.当nN5时an=a5+(n-5)d=2n-4,，an2…，an，…成等比数列U,则U则Uq=a5=-=3,a

a3 2=a5•3t,t=1,2,3,….又a:nt=2n-4,A2n-4=a5•3t又a:ntA2n=2•3t+1+4.即n=3t+1+2,t=1，2,3，…..(1)在等比数列｛an｝中,a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值;(2)在等比数列｛an｝中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解(1)由等比数列的性质知,a/ra/ajas+M也成等比数列，则(a/a/^a/aj⑸+aj.Aa5+a6=4.(2)vaa=a2,Aaaa=a3=8,Aa=2,35 4 345 4 4

又•.'aa=aa=a2,Aaaaaa=a5=32.26 35 4 23456 44.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%,从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数)..一 2 .. . ... 解设该地区总面积为L2006年底绿化面积为ai=2，经过n年后绿洲面积为九1,设2006年底沙漠面积为“，经过n年后沙漠面积为bn+i，则ai+bi=1,an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%・an的剩余面积92%・an，另一部分是新绿化的12%・bn，所以一 ， 、4— 3 34, 3、an+1=92%*an+12%(1-an)=5an+宝,即an+1-5=5(an-5)，J 乙J JJ Jn，4n，贝Uan+1=VanVan+1>50%,(5<2，n>lOgz2=专=3.541则当nN4时，不等式-n<1恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.(57 2一、选择题.(2008•福建理，3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16,则数列｛an｝的前7项的和为()A.63B.64C.127A.63B.64C.127D.128答案C.若数列｛an｝的前n项和Sn=3n-a，数列｛an｝为等比数列，则实数a的值是()A.3B.1C.0D.-1A.3B.1C.0D.-1答案B.设a,a,a,a成等比数列，其公比为2,则2%+a的值为234 2a3+a4()A.B1BA.2D.1答案A.等比数列｛an｝前n项的积为Tn，若a3a6al8是一个确定的常数，那么数列1°，］,，T%中也是常数的项

A.T10A.T10T25答案CB.T13C.T17D..已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn=x-3n-i-1,则x的值为6A.3B_1B.A.33d.-2答案C.(2008•安庆模拟)已知等比数列｛an｝中，ai+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6等于( )A.240 B.土240 C.480D.±480答案C二、填空题.（2009•广西河池市模拟）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的公比为 ，项数为 答案28.（2008•安庆模拟）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,则通项an= 答案15,2n-1或-1（-2）n-1三、解答题.数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=J9口-1）.(1)求a/a2；(2)证明：数列｛an｝是等比数列；(3)求an及Sn.(1)解*/a=S=1(a-1),「.a=-1.TOC\o"1-5"\h\z113 1 12又a+a=S=1(a-1),Aa=~.1 2 2 3 2 2 4(2)证明•••Sn=1(an-1),n3nASn=1(an-1)，两式相减，n+1a n+1得an=1an-1an,即an=-1an,n+1q n+1qn n+1nnA数列伯n｝是首项为-j公比为-g的等比数列.⑶解由⑵得an=-2…2"（一2）n，

10.数列｛an｝中，a：2,a2=3，且｛anan+110.数列｛an｝中，a：2,a2=3，且｛anan+1｝是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n(n&N*).⑴求a3,a4,a5,a6的值；(2)求证：｛bn｝是等比数列.(1)解•••｛anan+J是公比为3的等比数列，二•anan+1=aa•3n-i=2•3n,122=6,2-35 _,a= =27.6 a5(2)证明•••｛anan+1｝是公比为3的等比数列U,，九冬+F七一七，即an+1=3an-1，...a」a3,a5，…，a2nl，…与a.a“a6，…,.a2nl=2•3n-1,a2n=3,3n-1,.bn=a2n-1+a2n=5,3n工...2*= =3,故｛bn｝是以5为首项,bn 5-3n-1a?n，…都是公比为3的等比数列.3为公比的等比数列.11.设数列｛a。｝的前n项和为Sn，且(3-m)Sn+2ma0=m+3(n&N*),其中m为常数，且mW-3,mW0.(1)求证：｛an｝是等比数列；(2)若数列｛an｝的公比q=f(m),数列｛bn｝满足bja^bn=|f(bn-i)(n&N,n三2),求证:列，并求bn.证明(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得(3+m)an+1=2man,mW-3,...J=2m-wo(nN1).，｛an｝是等比数列U.an m+3(2)由(3-m)S+2ma=m+3,解出a=1,.b=1.1q=f(m)=2mm+3,n&N且nN2时,b=-f(b)=3n2 n-1 22b, n—1~,b++3n-1bnbn-1+3bn=3bn-1,推出-—=1bn bn-1 3.<—1是以1为首项、1为公差的等差数列.b 3.1 -n-1n+2.i3.一=1+ = ..bn= .b3 3nn+2n12.(2008•四川文,21)设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2n.(1)求a3,a4；(2)证明：｛an+1-2an｝是等比数列；(3)求｛an｝的通项公式.⑴解因为a=S,2a=S+2,所以a=2,S=2.111111由2a『Sn+2n知2an+=Sn++2n