空间图形的公理二课件北师大版必修

4．2空间图形的公理(二)学习导航学习目标重点难点重点：异面直线所成的角的概念及求解．难点：异面直线所成角的寻找．新知初探思维启动1.公理4文字语言图形语言符号语言平行于同一条直线的两条直线_______若a∥b，b∥c，则_______平行a∥c想一想公理4有何作用？提示：判断空间两条直线平行．空间中，平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．2.等角定理空间中，如果两个角的两条边分别____________，那么这两个角___________．对应平行相等或互补做一做1.判断下列说法是否正确．(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角相等；如果两边分别平行但一边同向另一边反向，那么这两角互补(

)(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等(

)(3)等角定理可以用来证明空间中两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供了理论依据(

)答案：(1)√

(2)√

(3)√3.异面直线所成的角定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的_______________就是异面直线a、b所成的角取值范围异面直线所成的角θ的取值范围：______________________特例当θ＝________时，a与b互相垂直，记作a⊥b锐角(或直角)0°<θ≤90°90°做一做2.下列正方体或三棱锥中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则其中直线PS与直线QR异面的一个图是(

)解析：选D.A图中，PS∥QR；B图中PS与QR相交；C图中，PS∥QR；D图中PS与QR异面．典题例证技法归纳

题型探究例1题型一公理4的应用(1)四边形EFGH为平行四边形？(2)四边形EFGH为菱形？【名师点评】

(1)由对应线段成比例推出EF∥AC，寻找HG∥AC且EF綊HG的条件是解决本题的关键．(2)在(1)的基础上，再寻找出EF＝EH的条件．互动探究例2题型二等角定理的应用

已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠BEC＝∠B1E1C1.【证明】法一：如图连接EE1.∵E1，E分别是A1D1，AD的中点，∴A1E1綊AE.∴四边形A1E1EA为平行四边形．∴A1A綊E1E.又∵A1A綊B1B，∴E1E綊B1B.∴四边形E1EBB1是平行四边形．∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.又∵∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB.法二：∵E1，E分别是A1D1，AD的中点，∴A1E1綊AE.又∵A1B1＝AB，∴Rt△B1A1E1≌Rt△BAE，∴B1E1＝BE.同理E1C1＝EC.又∵B1C1＝BC，∴△B1E1C1≌△BEC.∴∠B1E1C1＝∠BEC.【名师点评】空间等角定理实质上是由以下两个结论合成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．变式训练2.(2012·江西上高二中质检)空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β为(

)A．60°

B．120°C．30° D．60°或120°解析：选D.∵α与β两边对应平行，但方向不一定．∴α与β相等或互补．例3题型三异面直线所成的角的求解

(本题满分12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：(1)异面直线AB与A1D1所成的夹角；(2)AD1与DC1所成的夹角．【思路点拨】

(1)找AB的平行线A1B1或者找A1D1的平行线AD.(2)找AD1的平行线BC1或者找DC1的平行线AB1.【解】

(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，2分∴A1D1⊥AB，4分∴AB与A1D1所成的夹角为90°.6分（2）连接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，∴AB1与AD1所成的夹角即为DC1与AD1所成的夹角.8分名师微博平移是关键！又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1为正三角形．∴AD1与AB1所成的夹角为60°.∴AD1与DC1所成的夹角为60°.12分【名师点评】求异面直线所成角的步骤：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，成为相交直线，这里的点通常选择特殊点，如线段中点或端点等；(2)证明：证明所作的角为异面直线所成的角；(3)计算：寻找或作出含有此角的三角形，解三角形，求出此角；(4)检验：因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．变式训练3．在正四面体A－BCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE与BD所成角的余弦值．解：如图，取CD的中点F，连接EF，AF.因为E为BC的中点，所以EF为△CBD的中位线，所以EF∥BD，所以AE与EF所成的锐角或直角就是异面直线AE与BD所成的角．1.已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．备选例题答案：①②④2.如图所示，在三棱锥P­ABC中，D，E是PC上不重合的两点，F，H分别是PA，PB上的点，且与点P不重合．求证：EF与DH是异面直线．证明：∵PA∩PC＝P，∴PA，PC确定一个平面α.∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α，∴EFα.∵D∈PC，∴D∈α，且D∉EF.又PB∩α＝P，H∈PB，∴H∉α，DH∩α＝D，且DH与EF不相交，于是直线EF和DH是异面直线．方法技巧方法感悟1．平行公理表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节．2.要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件，要注意，等角定理反过来不成立．3.将两条异面直线所成的角转化为平面上的两相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建立了联系，促进了数学学科间的知识的渗透．4.判定两直线为异面直线的常用方法有：(1)定义法：证明两条直线不同在任何一个平面内．(2)排除法：排除两直线共面(平行或相