将军饮马问题讲义2

将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河

."诗中隐含着一个有趣的数学问题•如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，

名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的

B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传•将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓

轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。

而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段

ab这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。常见问题首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1.怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。

(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，

而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。2.对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个定点相连。

绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：

定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。3.所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。

实际就是我们所画直线和已知直线的交点。下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图，抛物线y=axbxc经过A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点

P,使得四边形PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.11CVL0【分析】(1)设交点式为y=a(x-1)(x-4),然后把C点坐标代入求出a亠，于是得到抛4物线解析式为y=—x2-——x3;4

4(2)先确定抛物线的对称轴为直线

x&，连结BC交直线x一于点P,如图，利用对称性得到PA=PB所以PAPC=PCPB=BC艮据两点之间线段最短得到PCPA最短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出

BC=5,再计算OCOAB即可.【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-4),把C(0,3)代入得a?(-1)?(-4)=3,解得a仝,所以抛物线解析式为氓(x-1)(x-4),即y弓x2-乎x3;(2)存在.因为A(1,0)、B(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x丄,2连结BC交直线x—于点P,如图，贝UPA=PBPAPC=PCPB=BQt匕时PCPA最短,2所以此时四边形PAOC勺周长最小，

因为BC=；

|、-=5,在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当x轴有两个交点时,已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与可选择设其解析式为交点式来求解•也考查了最短路径问题.

点C的左边)，与y轴交于点B.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)已知点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标;(3)若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且

PQ=—，求四边形ABQF周长的最小值.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；(2)分三种情况讨论：①当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可.(3)当APBQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答.【解答】解:(1)当x=0时,y=-|f」；当y=0时，x=-1或x=2；则A(-1,0),B(0，-術)，C(2,0)；(2)如图，Rt△ABO中，OA=1OB=_；,•AB=2MABO=30，/BAO=60,•△ABD是顶角为120°的等腰三角形.

D在AB下方，由/BADMDBA=30,AB=2得D2(-2®(2,-V3)；

(3)当APBQ最小时，四边形ABQP的周长最小，把点B向上平移二个单位后得到B1(0,3•/BB1//PQ且BB=PQ•四边形BBPQ是平行四边形，•BQ=BP,•APBQ=APiB),要在直线X#；上找一点P,使得APBP最小，作点B1关于直线X」的对称点，得B2(1,-''■'),2

3则AB就是APB