2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结 （解析版）

第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat14页第20讲指对数比较大小8种常考题型总结【题型目录】题型一：直接利用单调性比较大小题型二：比较与的大小关系题型三：取中间值比较大小题型四：利用换底公式比较大小题型五：分离常数再比较大小题型六：利用均值不等式比较大小题型七：乘倍数比较数的范围比较大小题型八：构造函数比大小【典型例题】题型一：直接利用单调性比较大小【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果.【详解】∵在定义域上单调递增，∴，即.故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【详解】，又，因为，单调递增，所以.故选：C【题型专练】1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（

）A． B．C． D．且【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，所以当时，，当时，，故D错误.故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为为单调递增函数，所以.因为，所以．故选:B．3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；【详解】解：，，即，又，所以，所以，，，即，又，所以，即，综上可得；故选：C4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可【详解】因为在上为增函数，且，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，即，所以故选：B.题型二：比较与的大小关系【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别根据、、的单调性，比较，，与0、1的大小，即可比较【详解】在上是减函数，；在上是增函数，；在上是减函数，，故，故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.【详解】因为为减函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；所以.故选：D【例3】（2022·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：C.【题型专练】1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c的范围，即可比较大小，可得答案.【详解】由函数为增函数可知，由为增函数可得，由由为增函数可得，，，故选:D2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分段法求得正确答案.【详解】，所以.故选：C3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于，故，故选：C题型三：取中间值比较大小【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，因此，.故选：D.【例2】（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【详解】解：，即，，即，，即，所以；故选：A【题型专练】1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可.【详解】依题意，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，综上所述，.故选：D.2.（2022·贵州黔西·高二期末（理））设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可【详解】因为，所以，因为在上为增函数，且，所以，因为在上为增函数，所以，所以，综上，故选：D3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案.【详解】解：由，则，，，所以.故选：B.题型四：利用换底公式比较大小【例1】（2021·全国·高一期末）设，，为正数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，用k表示出x，y，z，再借助对数函数的性质即可比较作答.【详解】因，，为正数，令，则，因此有：，，，又函数在上单调递增，而，则，于是得，所以.故选：D【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a､b､c三个数的大小关系是（

）A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∴log32ln2，∴a<b<1，∵c50=1，∴c>b>a，故选：D.【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a､b､c三个数的大小关系是（

）A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1，∴log32ln2，∴a<b<1，∵c50=1，∴c>b>a，故选：D.【题型专练】1.（2022河南·高三开学考试（文））设，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对数函数性质得，从而，由对数换底公式和对数运算法则计算得，再由不等式性质可得结论．【详解】因为，，所以，所以，，即，所以.故选：D．2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得，，由此可判断得选项.【详解】解：因为，，所以，所以，故排除A、B选项；又，且，所以，故选：D.3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由，因为，所以，由，因为，所以，因此，由，，于是有：，因为，所以，因为，所以，即，故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合两数的倒数和与之间的关系，进行判断是解题的关键.4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（

）A． B． C．D．【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数x，y，z满足，设，则，，．对于A，，故A正确；对于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B错误；对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；对于D，由，可得（），故D正确．故选：ACD题型五：分离常数再比较大小【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知，，，则（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【详解】由题意得，，，，因为函数在上单调递增，所以，则，所以.故选：D．【题型专练】1.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【详解】由题意得，，所以可得：故选：D．题型六：利用均值不等式比较大小【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末），，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【详解】，，，因为，所以，因为，，所以，所以，综上，故选：B【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由基本不等式可判断，由对数的性质可得，再作差可判断大小.【详解】，，，则.所以.故选：A．【题型专练】1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据换底公式可得，再根据换底公式与基本不等式可得，再根据可得，进而求得大小关系【详解】，，则，所以；，，所以，则.所以故选：C.题型七：乘倍数比较小【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【题型专练】1.已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（

）A．a<b<c B． C． D．【答案】B【详解】，，所以，所以又因，，所以，所以所以，故选B题型八：构造函数比大小【例1】（2022·全国·高一专题练习）设，，则下列叙述正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为和在上均为增函数，所以在上为增函数，所以时，得，反之也成立，即时，，反之也成立，所以时，，反之也成立，故选：A【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先构造函数，通过导函数得到单调性，从而得到，故可通过函数单调性判断出，而可能比1大，可能等于1，也可能，故CD均错误.【详解】令，则恒成立，故单调递增，由可得：，故，A错误，B正确；可能比1大，可能等于1，也可能，故不能确定与0的大小关系，CD错误.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为，即，故令，则上式等价于因为，都是上的单调增函数，故为上的单调增函数，则由，可得，即；则，故，则A正确；B错误；因为，故无法判断的正负，故C，D错误.故选：.【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已