大学高数公式终极整理

大学高数公式终极整理专业整理2023高等数学公式

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高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2

22212211cos12sinududxxtguuuxuux+==+-=+=，，，axxa

aactgx

xxtgx

xxx

ctgxx

tgxaxxln1

)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22='='?-='?='-='='2

22211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222Ca

xxadxC

xaxaaxadxC

axaxaaxdxCa

xarctgaxadxC

ctgxxxdxC

tgxxxdxC

xctgxdxC

xtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222??

?

??++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxIn

nxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222

222

020ππ

专业整理2023高等数学公式

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一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：·诱导公式：

·和差角公式：·和差化积公式：

2

sin

2sin2coscos2cos

2cos2coscos2sin

2cos2sinsin2cos

2sin

2sinsinβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx

xx

xx

x-+=-+±=++=+-=

=+=

-=

11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim1sinlim0==+=∞→→ex

x

xxxx

专业整理2023高等数学公式3/12

·倍角公式：

·半角公式：ααααααααααααααααααcos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sin

-=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：

RC

cBbAa2sinsinsin===·余弦定理：Cabbaccos2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=-=2arccos2arcsinπ

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

)

()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnn

kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuv

uCuv+++--++''-+'+===-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''='=-)(F)

()()()()()()

)(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(limMsMM:.,13

202a

KaKyydsdsKMMs

Ktgydxydss=='+''==??='?'???==''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：αααααα

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=-=-=α

ααα

ααα

ααααα

αα222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=-=-=-=-==

专业整理2023高等数学公式4/12

定积分的近似计算：

???+++++++++-≈

++++-≈+++-≈

ba

nnnbannb

a

nyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)](4)(2)[(3)(])(2

1[)()()(1312420230110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

a

badttfabdxxfabykr

mmk

FA

pFs

FW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,

,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(222222221212

1221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMMdzyx

zy

xzy

xz

yxzyx

zyxzyxzzyyxxzzyyxxuu??==??=?=?==?=++?++++=

++=?=?+=+?=-+-+-==

专业整理2023高等数学公式5/12（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：

113,,22211};,,{,130

2)

,,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++??

???+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-c

zbyaxc

zbyaxqpzq

ypxc

zbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBAD

CzByAxdc

zbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA

多元函数微分法及应用z

yzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdx

ydFFdxdyyxFdyy

vdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

vvzxuuzxzyxvyxufzt

vvztuuzdtdztvtufzy

yxfxyxfdzzdzz

udyyudxxududyyzdxxzdz-=??-=??=?-??-??=-==??+??=??+??===?????+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=，，隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，

，当：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

专业整理2023高等数学公式

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)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

F

vuGFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0),,(0

),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(0000

00000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy

xyxxzxzzyzy-=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。

方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxfl

f

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴

?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=--=====不确定时值

时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

专业整理2013高等数学公式7/12

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

?????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

xD

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其